2019届北京市101中学上学期高三月考(五)理科数学试卷(解析版)

北京市101中学2018-2019学年上学期高三月考（五）理
科数学试卷
一、选择题（本大题共8小题）
1.若复数为纯虚数，则实数a的值为
A. 1
B. 0
C.
D.
【答案】D
【解析】解：复数为纯虚数，
，，
解得．
故选：D．
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则
A. 17
B. 14
C. 13
D. 3
【答案】A
【解析】解：为等差数列，为其前n项和，，，
，
解得，
．
故选：A．
利用等差数列前n项和公式求出d，由此能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：由，得，是充分条件，
由，得：，
故”是“”的充要条件，
故选：C．
根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
4.将函数的图象向右平移个单位得到函数
的图象，则a的值可以为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：函数的图象向右平移个单位，
得到：，
函数的图象与函数的图象相同，
则：，
解得：．
当时，．
故选：C．
直接利用函数的平移变换和诱导公式求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和诱导公式的应用．
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》本不
同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有
A. 6种
B. 12种
C. 18种
D. 24种
【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，有种选法，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，有种情况，
则不同的分配方法共有种；
故选：C．
根据题意，分2步进行分析：、先《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选出2本，、将选出的2本与《红楼梦》全排列，对应分给三个同学，求出每一步的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的综合应用，注意《红楼梦》为必读，是受到限制的元素，要优先分析．
6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则
面积的最大值是
A. 1
B.
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】解：，
可得：，
，
由余弦定理可得，
由基本不等式可得，可得：，当且仅当时，“”成立，
从而面积，故面积的最大值为．
故选：B．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求的值，进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得：，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．
本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数
A. 有极小值，没有极大值
B. 有极大值，没有极小值
C. 至少有两个极小值和一个极大值
D. 至少有一个极小值和两个极大值
【答案】C
【解析】解：设与的
切点横坐标分别为，，
，
设的另一条斜率为k的切线
与图象的切点横坐标为，
如图所示：
而表示直
线的点与上的
点的的纵坐标的差，
显然，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，为的极小值点，为的极大值点．
，为的极小值，为的极大值．
故选：C．
表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结论．
本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题．
8.已知非空集合A，B满足以下两个条件．
2，3，4，5，，；
的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对
的个数为
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】A
【解析】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则，，即，，此时有，
若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则，，
即，，此时有，
若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则，，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则，，
即，，此时有，
若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则，，
即，，此时有，
故有序集合对的个数是，
故选：A．
分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．
本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.已知集合，，则______．
【答案】或
【解析】解：集合，
或，
或．
故答案为：或．
先求出集合M，N，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.在等比数列中，，且，则的值为______．
【答案】5
【解析】解：设等比数列的公比为q，，且，
，解得或．
当时，则；
当时，则．
故答案为：5．
利用等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为______．
【答案】0
【解析】解：当时，，不成立，
故答案为：0．
利用反例判断命题的真假即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
12.已知向量，的夹角为，，，则______．
【答案】
【解析】解：【解法一】向量，的夹角为，
且，，
，
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形；
在中，由余弦定理得
，
即．
故答案为：．
根据平面向量的数量积求出模长即可．
本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．
13.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并
延长到点F，使得设，则______；
______．
【答案】
【解析】解：
，
又，
，，
，
．
故答案为：，．
根据向量加法的三角形法则把用，表示为：，再根据平面向量基本定理得，，从而可得；
，再利用正三角形进行计算可得．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
14.设函数．
若有两个零点，则实数a的取值范围是______；
若，则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：若，则，
由，可得，，符合题意；
若，符合题意；
若符合题意，则，即为；
若，则和符合题意，可得，
综上可得，a的范围是；
若，则，
的导数为，
可得，，
即有，不符题意；
则，若，，
即为，解得；
若，，
即为，
化为，
由于，且，
可得的导数，
即在递增，取得最小值，且为，
且，
而在时，递增，且为负值，不符题意．
综上可得a的范围是．
故答案为：，．
讨论，，，结合零点定义，解方程即可得到所求范围；
若，讨论，，若；，结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到所求范围．
本题考查分段函数的运用：求零点和解不等式，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
15.已知函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
求w的值；
设函数，求在区间上的最大值和最小值．【答案】解：函数的图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
可得函数的最小正周期为，
则，解得，
函数
，
，
，
，
在区间上的最大值为1，最小值为．
【解析】根据题意可得周期，即可求出的值，
根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值
本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题．
16.如图所示，在中，D是BC边上的一点，且，，，
．
Ⅰ求；
Ⅱ求AD的长和的面积．
【答案】解：Ⅰ中，因为，，
所以；分
因为，，
所以；分
所以；分
Ⅱ在中，由余弦定理可得
，分
所以，
所以，
即，
解得或不合题意，舍去；
所以；分
中，由正弦定理得，
即，分
解得；分
所以，
即分
【解析】Ⅰ利用三角形的内角和定理与三角恒等变换，即可求得的正弦值；Ⅱ由余弦定理和正弦定理求得AD、CD的值，再求的面积．
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是综合题．
17.设数列的前n项和为，且，在正项等比数列中，，
．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
【答案】解：由，时，
，
时，．
．
设正项等比数列的公比为q，，．
．
．
由得：．
设数列的前n项和为．
时，；
时，，
，
，
．
时也成立．
．
【解析】由，时，，时，即可得出设正项等比数列的公比为q，由，可得q，利用通项
公式可得．
由得：设数列的前n项和为利用错位相减法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ当时，求函数在区间上的最大值．
【答案】本小题满分13分
解：Ⅰ由得，
令，得，，，的情况如下表：
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．
Ⅱ由可得．
当即时，由Ⅰ可得在和上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在区间上的最大值为，
又由Ⅰ可知，
所以；
当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在
上的最大值为．
当，，即时，由Ⅰ可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在区间上的最大值为，
法1：因为，
所以．
法2：因为，
所以由Ⅰ可知，，
所以，
所以．
法3：设，则，，的在上的情况如下表：
所以，当
时，，
所以，即
所以．
综上讨论，可知：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
【解析】Ⅰ由，得，令
，得，，，的情况列表讨论，能求出函数的单调区间．
Ⅱ由，得求出函数在区间上的最大值为，由，知；再求出函数在区间上的最大值为，
由此能求出函数在区间上的最大值．
本题考查函数的单调性、函数的最值、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
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