2012-2013高二数学期中考试试题及答案解析(高二必修5)2012-2013高二数学期中考试试题

2012—2013学年度上学期期中联考
高二数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，写在其他地方无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（ ）
A 、21n a n =-
B 、 12n n a -=
C 、2n n a =
D 、1
2n n a +=
2、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =,则ABC ∆一定是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰三角形或直角三角形
3、若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数2z x y =+的取值范围为（ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、[3,5]4、由11,3a d ==确定的等差数列{}n a 中，当298n a =是，序号n 等于（ ） A 、99 C 、96 C 、100 D 、101
5、关于x 的不等式2
8210mx nx ++<的解集为{}
71x x -<<-，则m n +的值是（ ） A 、6 B 、4 C 、1 D 、-16、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，其中,2,45a x b B ︒
===，若该三角形有两解，则（ ）A 、2x > B 、2x < C
、2x << D
、2x <<
7、在各项均不为零的等差数列{}n a 中，n s 为其前n 项和，若2
110n
n n a a a -+--=，
*(2,)n n N ≥∈，则2010s 等于（ ）A 、0 B 、2 C 、2010 D 、40208、如图所示，C 、D 、A 三点在同一水平线上，AB 是塔的中轴线，在C 、D 两处测得塔顶部B 处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）A.
cos cos cos()
a b αβ
βα+- B .
sin sin sin()
a b αβ
βα+- C. cos cos cos()
a αββα- D. sin sin sin()a αβ
βα-
9、已知0,0x y >>，,,,x a b y 成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，则2
()a b cd
+
的最小值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
10、已知等比数列{}n a 的公比q<0,其前n 项和为n S ，则89s a 与98s a 的大小关系为（ ）A 、8998s a s a > B 、8998s a s a = C 、8998s a s a < D 、大小不确定
11、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，设向量(,)p a c b =+，
(,)q b a c a =--，若p q ∥，则角C 的大小为（ ）Ａ、
6π Ｂ、3
π Ｃ、56π Ｄ、23π
12.有下列数组排成一排:121321432154321(
),(,),(,,),(,,,),(,,,,),11212312341234
5
如果把上述数组中的括号都去掉，会形成一个数列:121321432154321
,
,,,,,,,,,,,,,,112123123412345
,则此数列中的第2012项是（ ） A. 757 B. 658 C. 559
D.
4
60
C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。

13、在数列{}n a 中，113
a =，1(1)2,n n n a a -=-*
(2,)n n N ≥∈则5a =
14、已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅，则实数a 取值范围： 15、已知数列
{}n a 中，1
12,21n n a
a a n +==+-，*()n N ∈则该数列的通项公式n a =
16、在ABC ∆中, 角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=,则下列结论正确的是 教案值得大力推广试卷试题但目前也有些游学掺杂了一些别的因素试卷试题比如有些融入了过多的商业因素化学教案游学
逐渐变
(1) ABC ∆一定是钝角三角形； (2)ABC ∆被唯一确定； (3)sinA:sinB:sinC=7:5:3 ； (4)若b+c=8，则ABC ∆。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17、(本小题共10分)
设,x y 满足的约束条件为3602000x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，
求
23
a b
+的取值范围。

18、(本小题共12分)
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小； （2
）若4b a c =
+=，求ABC ∆的面积S.
19、(本小题共12分)
解关于x 的不等式：1
0()1
ax a R x ->∈+
20、(本小题共12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，且*111
1,,()2
n n a a S n N +==∈， （1）求数列
{}n a 的通项公式n
a
；
（2）当312
1log (3)n n b a +=+时，1
1
n n n c b b +=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
21、(本小题共12分)
设A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n /mile h 的速度向B 岛方向行驶，而乙船同时以6n /mile h 的速度离开B 岛向南偏东
60︒方向行驶，问：行驶多长时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离。

22、(本小题共12分)
已知数列{}n a 中, 14a =, , 144n n
a a +=-
*()n N ∈
（1）求证：数列12n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列；
（2）求数列的{}n a 通项公式n a ；
（3）记11
()2
n n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
2012—2013学年度期中联考
高二数学试题答案
一、选择题： BDACA CDBDA BC
填空： 13：
163 14：625
a -≤< 15：2
23n n -+ 16：（1），（3）三、解答题： 17
…………2分 由3620
x y x y --=⎧⎨
-+=⎩ …………4分作出直线z ax by =+（0,0a b >>），经平移可知，直线经过
点A （4,6）时，z 取得最大值12，
即4612a b +=，得236a b +=， …………6分
从而
23123()(23)6a b a b a b +=++= 131325
2666
a b b a ++≥+=
，…………8分 当且仅当6
5
a b ==时取“=”号。

故2325
[,+)6
a b +∈∞ …………10分18、解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==
可得： (2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， …………2分
展开整理得：
2sin cos sin()A B B C =+， …………3分又在ABC ∆中，A B C π++=
所以有：sin()sin B C A +=，即得：2sin cos sin A B A = ，…………4分 又sin 0A > ，故得：1cos 2
B =
， 得 3
B π
=。

…………6分（2）由余弦定理22
2
2cos b a c ac B =+-得：
2222cos
3
b a
c ac π
=+-= 222()3a c ac a c ac +-=+- …………8分
1637ac =-=，
所以得：3ac =， …………10分
从而1
sin 2
ABC S ac B ∆=
13sin 234π==
…………12分 19、解：原不等式可等价转化为：(1)(1)0ax x -+> …………1分（1）0,a =当时原不等式化为(1)0,1,x x -+><-解得： …………3分
（2）0,a >当时原不等式化为1()(1)0x x a -+>，解得：1
1,x x a <->
或…………5分
（3）0a <当时，原不等式化为1
()(1)0x x a
-+< …………6分
11,10a a
<--<<若时，解得：1
1x a <<- …………7分1
1,1a a
=-=-若
即时，解得：∈∅x …………8分11,1a a
>-<-若即时，解得：1
1x a -<<； …………9分综上可知：不等式的解集如下：
1a <-时，解集为1
(1,)a
-；
1a =-时，解集为： ∅ ；
10a -<<时 ，解集为1(,1)a
-
0a =时，解集为：∞(-,-1)
0a >时 ，解集为1
()(,+)a
-∞,-1∞ …………12分 20、解：（1）由已知得：11121(2)2
n n n n a S a S n +-⎧=⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩ ， …………1分作差得：112n n n a a a +-=
， 即13
(2)2n n a a n +=≥， …………3分 又1211,2
a a ==，得213
2a a ≠，
所以数列{}n a 是从第二项起，以3
2
为公比的等比数列， …………4分1,1n n a ==当时；
213
2()22
n n n a -≥=当时， …………6分
（2）由（1）知：312
13n n b log a +=+32
31()12
n
log n =+=+ …………8分
所以：11111
(1)(2)12
n n n c b b n n n n +=
==-++++ …………10分
则123+n n T c c c c =+++…
111111=(-)+(-)++(-)233412
n n ++ (11)
22n =-
+ …………12分
21、解：如图，设行驶th 后，甲船行驶了9t n mile 到达C
乙船行驶了6t n mile 到达D 处， ……… 2分（1） 当921t ≤时，即7
3
t ≤
时，C 在线段AB 上， 在BCD ∆中，219,6,BC t BD t =-=
18060120CBD ︒︒︒∠=-=，
由余弦定理知：2
2
2
2cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠
22(219)(6)2(219)(6)(cos120)t t t t ︒=-+--226325244163(2)189t t t =-+=-+
所以，当t=2时，min ()CD == ………7分（2）当921t =时，即73t =
时，C 与B 重合，7
()6143CD =⋅=> ………9分 （2） 当921t >时，即7
3
t >时，C 点在AB 的延长线上，
且921BC t =-，
由余弦定理知：2
2
2
2cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠
22(921)(6)2(921)(6)(cos 60)t t t t ︒=-+--
226325244163(2)189189t t t =-+=-+>
综上可知：当t=2时，min ()CD ==。

故，行驶2h 后，甲乙两船相距最近，且最近距离为当t=2时，
min ()CD ==n mile ………12分
22、解：（1）因为：14
4n n
a a +=-
，则
11111
4222(4)2n n n n a a a a +-=------ ………2分
21
2(2)2
n n a a -=
=-， ………3分又
1111
2422
a ==-- 所以数列12n a ⎧⎫⎨
⎬
-⎩⎭
是以12为首项，以1
2为公差的等差数列。

………5分（2）由（1）可知
111(1)2222
n n n a =+-=- 所以2
2n a n
=+
………7分（3）由（2）可知: 1
11
()
(1)()2
2
n n n n b na n +==+ ………8分1231111112()3()4()()(1)()22222
n n n S n n -=+++⋅⋅⋅+++
12n S = 234111111
2()3()4()()(1)()22222
n n n n ++++⋅⋅⋅+++ 所以2341
1111111()()()()(1)()222222
n n n S n +=++++⋅⋅⋅+-+
1111(1)1131122(1)()(1)()12222212n n n n
n n ++-=+-+=--+- ………10分 3
32
n n n S +=- ………12分。