2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析

2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理
测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 分类变量和的列联表如下，则
(A)越小，说明与的关系越弱
(B)越大，说明与的关系越强
(C)越大，说明与的关系越强
(D)越接近，说明与关系越强
参考答案：
C
2. 不等式log(–x ) < 2的解集是（）
（A）[ - 1，) （B）( - 1，) （C）(，) （D）[ - 1，)
参考答案：
A
2.下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
4. 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
A
5. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
参考答案：
C
【分析】
根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．
【详解】根据题意，正数a，b满足，
则，
当且仅当时等号成立.
即的最小值是25．
本题选择C选项.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
6. 直线,当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为（▲）A．(－2,1) B．(1,2) C．(1,－2) D．(2,1)
参考答案：
A
7. 已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 摆动数列
D. 不确定
参考答案：
B
由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.
8. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
【考点】茎叶图．
【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．
【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则
第1组为，第2组为，
第3组为，第4组为，
第5组为，第6组为，
故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．
故选：C．
9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有________
参考答案：
576种
略
12. 在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足
,则的最小值为_____________.
参考答案：
略
13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________
参考答案：
45
14. 坐标原点到直线4x+3y﹣15=0的距离为_________．
参考答案：
3
略
15. 已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则
参考答案：
3
略
16. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则
= .
参考答案：
4
略
17. 设的夹角为;则等于______________.
参考答案：
2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2，可作A外壳3个B 外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张，才能使总的用料面积最小？
参考答案：
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式．
【分析】根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个，B种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．
【解答】解：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，总的用料面积为zm2
由题意得：z=2x+3y且
作出可行域如图：…（4分）
解方程组，得A点坐标为（，），
z=2x+3y=24非整数．
调整，可得最优整数解是（5，5）和（8，3）），此时z min=25．
答：用甲种钢板5张，乙种钢板5张或用甲种钢板8张，乙种钢板3张才能使总的用料面积最少．…（10分）
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．
19. （2015?商丘三模）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值三角不等式．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f （x）＞0的解集．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，
故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3?﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，
求得﹣＜a＜．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．
20. 已知双曲线的焦点在x轴上，|F1F2|=2，渐近线方程为，问：过点B （1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点？若存
在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出a，b，可得双曲线方程；先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在两张千克设出直线l的方程，当k存在时，结合双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则根据△＞0及其P是线段AB的中点，找出矛盾，然后判断当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在．
【解答】解：根据题意，c=， =，
∴a=1，b=，∴双曲线的方程是： =1．
过点P（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1或x=1
①当k存在时，联立方程可得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0
当直线与双曲线相交于两个不同点，可得
△=（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＞0，k＜，
又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x1+x2=，
又∵P（1，1）是线段AB的中点，
∴=2，解得k=2．
∴k=2，使2﹣k2≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0 无实数解
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．
②当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上所述，符合条件的直线l不存在．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线的性质的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．
21. （1）设a，b，c都是正数，求证：；
（2）证明：求证.
参考答案：
（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用综合法，由基本不等式，即可作出证明，得到结论；
（2）利用分析法，即可作差证明．
【详解】（1）由题意，因为
，
所以，当且仅当时，等号成立.
（2）证明：要证，
只需证明，
即证明，
也就是证明，
上式显然成立，故原不等式成立.
【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中利用基本不等式和合理使用综合法与分析法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
22. 已知椭圆:的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
参考答案：
(Ⅰ), ,,,
…………………4分
(Ⅱ)设 , ,由…6分
, ………7分
①②…………8分
, ………9分
设为点到直线BD:的距离,…………10分
当且仅当时等号成立……………11分
∴当时,的面积最大,最大值为……………12分
略。