关于Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代程序
广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近
广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近张树义;李丹【摘要】在一致光滑Banach空间中研究用带混合型误差的修改的Ishikawa迭代序列,逼近广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的不动点问题.在去掉D有界之下,使用新的分析方法,建立了强收敛定理,从而推广和改进了已知的结果.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】5页(P294-297,304)【关键词】一致光滑Banach空间;广义一致Lipschitz;渐近伪压缩型映象;混合误差【作者】张树义;李丹【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.91设E是实Banach空间，E*为E的对偶空间，〈·，·〉表示E与E*之间的广义对偶对.正规对偶映象J:E→2E*定义为J(x)={f∈E*:〈x，f〉=‖x‖2=‖f‖2}.定义1 设D是E的非空凸子集，T:D→D是一个映象. (i)T称为渐近伪压缩的，若存在实数列{kn}⊂，且对∀x,y∈D，存在j(x-y)∈J(x-y)，使〈Tn-Tny,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2. (ii)T称为渐近伪压缩型的，若存在实数列{kn}⊂，且∀x∈D ，存在非负序列{rn(x)}，使∀y∈D，及某个j(x-y)∈J(x-y)，有〈Tnx-Tny,j(x-y)〉≤kn‖称为一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1，有‖Tn-Tny‖≤L‖x-y‖.(iv)T称为广义一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).显然若T:D→D是一致L-Lipschitz的或∀x∈D,{Tnx}n≥1，有界，则T是广义一致L-Lipschitz的，但反之一般不成立,反例见文献〔5〕.关于几类非线性映象不动点的迭代逼近问题，已被许多学者做过广泛研究,如文献〔1-6〕. 本文的目的是进一步研究渐近伪压缩型映象不动点的迭代逼近问题,在去掉E有界之下，把文献〔1〕中的定理2.1推广到广义一致L-Lipschitz渐近伪压缩型映象带混合型误差的修改的Ishikawa迭代程序的情形.由于没有使用D有界条件，以及将一致L-Lipschitz条件减弱为广义一致L-Lipschitz条件，因此本文结果改进与推广了文献〔1〕中的定理，并且本文充分性证明的方法也不同于文献〔1〕中的方法.定义2 设T：D→D是一个映象，∀x0∈D，由下式定义的序列{xn}n≥0⊂D，其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0，{μn}n≥0和{δn}n≥0为[0，1]中五个满足某些条件的实数列，{un}n≥0 ，{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，则称{xn}n≥0为T的带混合型误差的修改的 Ishikawa迭代序列.引理1〔7〕设E是实一致光滑Banach空间, 则存在一个非减连续函数b:[0,+∞)→[0,+∞),b(0)=0,满足b(ct)≤cb(t),∀c≥1且‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,jx〉+max{‖x‖,1}‖y‖b(‖y‖),其中∀x,y∈E,∀jx∈Jx.引理2〔8〕设{an}n≥0和{bn}n≥0是两个非负实数列，满足条件，存在正整数n0，当n≥n0时，有an+1≤(1-tn)an+bn，其中,则an→0(n→∞).定理1 设E是一致光滑Banach空间，D是E的一非空闭凸子集，D+D⊂D，T：D→D是广义一致L-Lipschitz的渐近伪压缩型映象,具有实数列{kn}⊂，且∀x∈D，存在非负序列{rn(x)}n≥0使得,(x)=0，又设F(T)≠φ，{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0,及{μn}n≥0是[0，1]中的五个实数列，满足条件(i)αn+γn+μn≤1，δn+βn≤1;(ii)αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)；(iii),设x0∈D是给定一点，{xn}n≥0，{yn}n≥0是由(1)所定义的带混合型误差的修改的Ishikawa 迭代序列，则有下列结论1)若{xn}n≥0强收敛到T在D中的不动点q，则存在不减函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0使得‖yn-q‖2+φ(‖yn-q‖)}≤02)反之，若存在严格增加函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,满足条件(2)，则{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).证明先证充分性. 因D是E的一非空闭凸子集，且D+D⊂D，所以{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D，又因为μn=o(αn),{un}n≥0,{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，所以存在εn≥0，εn→0(n→∞),使μn=εnαn(n≥0),并且{‖wn‖+‖un‖+‖vn‖}+‖q‖<∞.由于T:D→D是广义一致L-Lipschitz的，因此存在L≥1，使∀x,y ∈D，‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).于是因E是一致光滑Banach空间，正规对偶映象J:E→2E*是单值的，利用J(·)在E的有界子集上一致连续性有en=‖‖→0(n→∞).记An+1=(1-αn-γn-μn)xn+αnTnyn+μnwn,应用引理1并化简得‖‖注意到式(2)，存在n0，当∀n>n0时，式(5)可写成其中σ(yn,q)=((φ(‖yn-q‖)/(1+‖yn-q‖2+φ(‖yn-q)‖))∈[0,1).因T是渐近伪压缩型映象，故对q∈F(T)及∀xn∈D有〈Tnxn-q,j(xn-q)〉≤kn‖xn-q‖2+rn(q),∀n≥0,从而由(1)，引理1和广义Lipschitz条件并整理可得将式(7)代入式(6)整理化简可得‖An+1-q‖2≤(1-αn)2‖‖xn-q‖2+‖xn-q‖)2注意到(1+‖xn-q‖)2≤2+2‖xn-q‖2, 由式(8), 当∀n>n0时，有‖xn+1-q‖其中:.令下面考虑两种可能的情形:(I)若r>0,则可取，且∃n1∈N，n1>n0,∀n≥ n1，有σ(yn,q)>τ,下面证,假设,因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞)故∃n2≥n1,∀n≥n2,有‖xn-q‖≥(1+‖xn-q‖)‖xn-q‖,‖.由式(9)∀n≥ n2有‖xn-1-q‖‖xn-q‖+Mγn令‖xn-q‖和bn=Mγn,则，于是∀n≥n2，由式(10)有an+1≤(1-tn)an+bn.由引理2有xn→q(n→∞)这与δ>0矛盾，故δ=0.于是存在子列{xnj}⊂{xn}，使xnj→q(j→∞),即∀ε>0,∃n3∈N,∀nj>n3,有‖xnj-q‖.下面证明m≥1,有‖xnj-q‖<2ε.当m=1时，(i)若‖xnj+1-q‖<ε,则结论成立；(ii)若‖xnj+1-q‖≥ε,由αn→0,γn→0,μn→(n→∞) 及式(3)易知‖xnj-q‖.因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞),故∃n4≥n3,∀n≥n4,有,从而∀nj≥n4,由式(9)有‖xnj+1-q‖因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖，即xn→q(n→∞).(II)若r=0, 则存在子列{ynj}⊂{yn}强收敛于q(j→∞). 注意到我们断定{xnj-q}有界，若无界，则必存在子列{xnjk-q}⊂{xnjk-q},使‖‖→+∞(k→∞). 因此((‖xnjk-q‖)/(1+‖xnjk-q‖))→1，这与式(11)矛盾,故{xnj-q}有界，从而‖xnj-q‖‖xnj-q‖)→0(j→∞),于是∀ε>0,∃n5∈N,∀nj>n5,有‖xnj-q‖<ε及‖ynj-q‖<ε.下面证明m≥1,有‖xnj+m-q‖<2ε.当m=1时, 若‖xnj+1-q‖<ε，则结论成立;若‖xnj+1-q‖≥ε，则由式(4)有‖ynj-q‖,‖xnj-q‖,由φ的严格增加性有,其中，则(0，1).因λn→0,fn→0,gn→0(n→∞),故∃n6≥n5,∀n≥n6,有.从而∀nj≥n6,由式(9)有‖xnj-q‖ε.因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖ε.再证必要性. 设{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).由T是广义Lipschitz条件及αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)有‖yn-q‖≤(1-βn-δn)‖xn-q‖+βnL(1+‖xn-q‖)+δn‖vn-q‖→0(n→∞).令{‖yn-q‖}<∞，余下证明与文〔1〕相同，故省略.定理1证毕.〔1〕曾六川. 关于渐近伪压缩型映象的不动点的迭代构造〔J〕. 系统科学与数学，2004， 24(2)： 261-270.〔2〕张树义, 宋晓光, 有限族广义一致拟Lipschitz映象公共不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(1): 17-21.〔3〕张树义, 宋晓光. 广义Lipschitz-φ半压缩算子的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(5): 520-525.〔4〕张树义, 宋晓光, 万美玲. 非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2014, 15(5): 581-587.〔5〕张树义, 万美玲, 李丹. 渐近伪压缩型映象迭代序列的强收敛定理〔J〕. 江南大学学报: 自然科学版, 2014, 13(6): 726-730〔6〕张树义, 赵美娜, 李丹. 渐近半压缩映象具混合型误差的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2015, 16(3): 165-169.〔7〕Reich S. An iterative procedure for constructing zeros of accretivesets in Banach spaces〔J〕. Nonlinear Anal., 1978, 2(1): 85-92.〔8〕Liu L S. Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach space〔J〕. J. Math. Anal. Appl.，1995，194(1)： 114-125.〔9〕张树义. 多值φ-伪压缩映象带混合型误差的Ishikawa和Mann迭代程序的收敛性问题〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2005,26(1):45-48.〔10〕张树义, 刘平. Φ-强增生算子方程的迭代解〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2008,29(3)：228-233.。
带误差的Ishikawa迭代程序的收敛性及其应用
＝（ １一口 ） ＋ｎ Ｄ ＋ ， ｎ≥ ０ ，
式 中 ｛ 。 ｝ ｝ 。 ［ ，） ｎ ｝ 和 为 ０ １中满足 某些条 件 的实
数列 ； ｛
。 ｛ ｝：为 中满足某些条件 的实 与 ｕ 。 Ｉ ＿：。 ） （ ，
序列 ， 通常 为两可 和序列 。或 ｛
ｌ ｛ｕ Ｉ 【” ． ｉ ｍ ＿０ ｓ
１ 定 义 和 引 理
设 为 一 实赋 范 线性 空 间 ， 是 的对 偶 空
显然 ，ｉ ） （ Ｅ 含熟知的 ｌ ｉ ｗ 迭代程序和 ｍ ｍ Ｓ ｓｋ ａ ｈａ 迭代程序 的特例 ．
关键词 ： 强曲 压缩算子 ； 强增生 算子 ； 带误 差的 Ｉ ｉａ ａ ｓ ｋｗ 迭代程 序 ； 定性 ｈ 稳 分类号 ： 中图） ７ １ （９１ＭＲ ４ Ｈ ９４ Ｈ ０ ４Ｈ１ （ Ｏ１７９ ； １９ ）７ ０ ，７ １ ，７ ７ 文献标识码 ： Ａ
非线性算子迭代程 序的收敛性是非线性 分析 中研
间， 正规对 偶 映射 Ｊ： ２ 定 义 为 一
究的热点之一， 中关于用 ｌ ｉ ｗ 迭代程序 逼近 其 ｓｋ ａ ｈａ Ｌｐｃｉ 强 增 生算 子 的方 程 解 和 Ｌｐｃｉ ｉｓ ｔ ｈｚ ｉ ｈｔ ｓ ｚ强伪 压 缩 算子 的不动点的方法 已为许多学者所研究 “ 由于迭 “
代过程往往是 非精确 的， 时 常存 在误差 ， 故 因而 ， 研究
２
宁夏大 学学 报 （ 自然科学 版 ） ｘ ｊ‰ 一ｑ【 ｊ ｊ＋Ｌｊ ｊ ＋２ Ｌ
的 ｌ ｉａａ迭 代程 序逼 近 Ｌｐｃｉ强 伪 压 缩 算 子 的 ｓ ｋｗ ｈ ｉ ｈｚ ｓ ｔ
广义Lipschitz Φ-伪压缩映像不动点的迭代逼近
Ｘ—Ｙ 。其中 忌 ０ ， ０ ＞ 是一个常数． 不失一般性 ， 可设 忌∈ （ ，） ｏ １．
（ ）称 Ｔ是 一 ２ 强伪压 缩 的 ， 如果 ＶＸ， Ｙ∈ Ｋ， 在 Ｊ ｚ— ）∈ ． ｚ— ） 严格 增 函数 ：ｏ ＋ ｏ ） 存 （ ， （ 及 ｒ ， ｏ 一 －
［ ， ｏ ， ｏ 一 ０满足 （ｘ— ，（ ） ＞ Ｉ —Ｙ 。 （Ｘ—Ｙ ） Ｘ—Ｙ ． ｏ ＋ｏ） （） ， Ｔ ｚ一． ≤ Ｘ ， ） Ｉ一 Ｉ Ｉｌ ｌ １
关键词 ； 广义 Ｌ ｐｃｉ ； 一 ｉｓｈｔ 伪压缩映像 ； ａａｈ空间 ； 代逼 近 ｚ Ｂ ｎｃ 迭
中 图 分 类 号 ： ７ ． １ Ｏ １ ７ ９ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：ｌＯ 一 ７ ５ ２Ｏ ） ３ Ｏ ３一 ５ Ｏ ｌ ８ ３ （Ｏ ８ Ｏ 一 ３ ２ Ｏ
Ｖｏ ． ７ ＮＯ ３ 】３ ． Ｍ ａ ０ ８ ｙ２ ０
广 义 Ｌ ｐ ｃ ｉ 一 压 缩 映 像 不 动 点 的迭 代 逼 近 ｉｓｈｔ ｚ 伪
冉 凯 ，高 淑 萍
（． 安 文 理 学 院 数 学 系． １西 陕西 西 安 ７ ０ ６ ；２ 西 安 电 子 科 技 大 学 数 学 系 ． 西 西 安 ７０ ６ ） １０ ５ ． 陕 １０ ５
（ ）称 Ｔ是 一 生 的， 果 ＶＸ Ｙ ∈ Ｋ， 在 （ ４ 增 如 ， 存 ｚ— ）∈ ． ｚ— ）及 严 格 增 函数 ： Ｏ ＋ ｏ ， ｏ 一 ０满足（ ｘ一 ｏ ＋ｃ） （） ， Ｔ ，（ — ＞ ｚ ） ≥ （Ｘ—Ｙ１ １ ｌ． ）
．ｚ 一 ｛ 厂 ） ｆ∈ Ｅ ： 厂 一 ０ ｌ １ ，ｘ — ｌ ｌ ， （ ’ （ ＞ １ １ ｌ ｌ １ １ Ｘ∈ Ｅ ， ｚ ． １ 厂） ．
不具Lipschiz条件的一般变分不等式解的带误差Ishikawa迭代逼近
（ｘ— ｘｇ ｙ ｇ ）≥ Ｔ Ａ ，（）一 （ ）
ｂ ，）一ｂ ，） Ｖ 一 （ （ Ｙ ， ，Ｅ （）ｂ ，） 于第一变 量是线性 的 ； ｉ （ Ｙ关
功地 建立 了各 种不 同的迭 代 算法 ． 是 ， 些 算 法 但 这 中 ， 求非线性 算子具有 Ｌｐｅｉ 连续条 件 ． 要 ｉｓｈｚ ｔ
本文 引入辅 助 次微分 原 理 ， Ｂ ｎ ｅ 在 ａａｈ空 间 中 ， 证 明了一类一般 变分不 等式解 的存 在性 定理 ， 在非
（ ， Ｙ ｕ一 — ）≤０ ． 问题 １３ 设 ， ： 一日 ｇ Ｂ ． Ａ Ｂ ，： —Ｂ都是单值
法 和结果改进 和推广了许多 已知的结果．
关键词 ： ｓｈｔ条件 ； Ｈｐｅ ｉ ｚ 一般 变分不等式 ； 强单调 ； 反单调 ； 辅助次微分原理
中图 分 类 号 ： １７ ９ ０ ７ ． 文 献 标 志 码 ： Ａ 文 章编 号 ：０ １— ３ ５ ２ １ ）２— ２ ６— ６ １０ ８９ （０ ０ ０ ０ ０ ０
不 具 Ｌｐｃｉ条 件 的一般 变分 不 等 式解 的 ｉ ｈ ｓ ｚ 带误 差 Ｉ ｉ ｗ 迭代逼近 ｓｋ ａ ｈａ
罗春 林
（ 四川民族学 院 数学 系，四川 康定 ６ ６０ ） ２ ０ １
摘要 ： 通过引入辅助次微分原理 ， Ｂ ｎｃ 在 ａ ａｈ空间 中证 明了一类 一般变分不 等式解的存在 性定 理 ， 在非 线性算子不具 Ｌｐｃ ｔ条件下 ， ｉｓ￣ ｚ 建立和分析了这类 一般 变分不等式解 的带误差 Ｉ ｉａ ａ ｓ ｋｗ 迭代逼近 ． ｈ 这些算
Lipschitz渐近伪压缩映象不动点带误差的迭代序列逼近
（ ） Ｔ是 一 致 Ｌｐｃ ｉ １称 ｉｓｈｚ 存 在 Ｌ＞ ０ Ｖｚ， ｎ若 ， ｙＥＤ， ∈Ｎ ， ｚ— Ｊ Ｊ
Ｊ（ — ） 使 得 ＜ ｚ— ｚ ， ， ｚ— ） ≤ 走 ｌ （ ＞ ｌ ｚ—Ｙ ｌ ｌ
引 言 与 预备 知 识 ：
设 Ｘ是 一实 Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 ， Ｘ 是 Ｘ 的 对 偶 空 间 ， ． ． 表 示 Ｘ 与 Ｘ 的 配对 ， Ｘ一 ２ ＜ ，＞ Ｊ：
定义为 ：（ 一｛ Ｊ ｚ） ｆＥＸ ：ｚ， ＞ ｌ ＜ － 一 ｌ ｌ ｌ ｌ，ｌ ｌ— ｌ ） Ｖｚ∈Ｘ 厂 ｌ・ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ， ｚ 厂 厂 １ ｚ
ｙ ｐｔ ｔｃ ｌｙ ｐｓ ｕｄ — ｏｎｔａ ｔｖ ａ ｉ ｎ ｇ ｎｅ ａ ｎａ ｈ ｓ ｃ ｓ，ｔｉ ｐ ｏ ｅｓａ ｘｔ ｎｄ ｅｅ ａ ｅ ｕｌｓｏｆｒ ｆ ｍ ｏ ｉａ ｌ ｅ ｏ ｃ ｒ ｃ ｉ ｅ ｍ ｐｐｎｇｓ ｉ ｅ ｒ ｌＢａ ｃ ｐａ ｅ Ｉ ｍ ｒ ｖ ｎｄ ｅ ｅ ｓ ｒ ｌ ｖ ｎｔｒ ｓ ｔ ｅ — ｅ ｅ ｃ ｉｅ ａ ｕｒ ｓ ｒ ｎ ｅ ｌｔ ｒ ｔ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ｓ Ａｓ ｍｐ ｏ ｉａ ｌ ｓ ｕ ｏ ｃ ｎ ｒ ｃ ｉ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｙ ｔ ｔ ｌ ｐ ｅ ｄ — ｏ ｔａ ｔ ；Ｕｎ ｆ ｒ ｙ ｌ ｓ ｈ ｔ ；Ｉ ｈ ｋ ｗａ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｑ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｃ ｙ ｖ ｉ ｍｌ ｉ ｃ ｉ ｏ ｐ ｚ ｓ ｉ ａ ｔ ｒ ｔ ｅ ｕ ｎ ｅ ｗｉｈ ｅ ｒ ｒ ｖ
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第 ２ ４卷 第 ３期 ２ ０ 年 ５月 ０８
非Lipschitz Φ- 强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定性
非Lipschitz Φ- 强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定
性
薛志群;王志军;李向红
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(27)6
【摘要】在一致光滑Banach空间中,研究一类非LipschitzΦ强伪压缩算子的Ishikawa迭代程度的稳定性;并使用分析技巧,证明了Ishikawa迭代程序是几乎T 稳定的.为进一步讨论T稳定提供了理论依据,该结果改进和扩展了近期许多相关的结果.
【总页数】4页(P563-566)
【关键词】非LipschitzФ-强伪压缩算子;Ishikawa迭代程序;稳定性;一致光滑Banach空间;几乎T-稳定
【作者】薛志群;王志军;李向红
【作者单位】石家庄铁道学院数理系;河北经贸大学基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.φ-半伪压缩算子对的Ishikawa型迭代程序的收敛性和稳定性 [J], 王学武
2.局部强伪压缩算子的Ishikawa迭代的收敛性和稳定性 [J], 李红梅
3.强伪压缩算子带误差的Ishikawa迭代的强稳定性 [J], 金茂明;邓磊
4.关于强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定性 [J], 魏改然;张健
5.任意Banach空间强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定性 [J], 薛志群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近?
一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近？王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【摘要】本文在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的强收敛性问题。
在去掉有关文献的较强条件的情况下，证明了相关结果仍然成立。
所得结果不但改进和推广了一些文献的相关结果，而且也改进了定理的证明方法；也使定理的应用范围更为广泛。
【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】7页(P852-858)【关键词】一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象;Ishikawa迭代序列;不动点【作者】王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【作者单位】大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言文中处处设E是一实的Banach空间，其对偶空间记为E∗,(·,·)表示E与E∗之间的配对，F(T)表示T的不动点集．映象是由下式定义的正规对偶映象定义1 设D是E的非空集．T:D−→D是一映象．1) T称为一致L-Lipschitz的，如果存在L>0，使得2) T称为渐近非扩张的，如果存在一数列使得3) T称为渐近伪压缩的，如果存在一数列使得对任意的x,y∈D，存在j(x−y)∈J(x−y)，有由定义不难看出：若T是具数列的渐近非扩张映象，则T是一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象，其中渐近非扩张映象必是渐近伪压缩映象；而渐近伪压缩映象不一定是渐近非扩张映象．定义2 设D是E的非空闭凸集，是一映象，是任一给定的点，是D中的有界序列；都是[0,1]中的数列，则：1) 由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Ishikawa迭代序列特别地，当=0,∀n≥0．由(1)式定义的序列{xn}称为T的修正的Ishikawa迭代序列;2) 当=0,∀n≥0．由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Mann迭代序列曾六川在文献[1]中，在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象的不动点的强收敛性问题，其结果在许多方面改进和拓展了文献[2–6]中的相应结果．本文在去掉文献[1]中定理1.1至定理1.3中的条件(iii)：和条件(iv)：以及较强且较难验证的条件“T的值域D(T)有界”的情况下，得到了相同的结果．所得结果不但改进和推广了文献[1–6]的结果，而且也改进了定理的证明方法，使定理的证明更简洁和严谨．以下引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用．引理1[7]设E是一实的Banach空间，则有其中是正规对偶映象．2 主要结果定理1 设D是E的非空闭凸集，T:D−→D是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足下列条件：(iii) 若存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中，由xn+1和q所确定的元，则{xn}有界．证明已知都有界，设由(1)式及T的一致LLipschitz性有由于当时，故存在正整数n0，对任意的n ≥ n0，有从而，对任意的n ≥ n0，由(4)式有由(3)式有从而据ϕ的单调增加性有其中下面我们用数学归纳法证明，对任意的n≥n0，有事实上，n=n0时已经成立；假设对任意的有只需证对任意的n≥也成立．用反证法，设据ϕ的单调增加性有其中由(5)式，对任意的n≥n0，有由引理1及(1)式，有现在估计(9)式右边各项，由于设其中据(8)式，右边第四项对任意的n≥n0，应有其中右边第三项，由(3)式，有对于右边第二项，对任意的n≥n0，有而由(1)式及∥xn−q∥≤ 2ϕ−1(a0),∀ n ≥ n0，有将(13)代入(12)，对任意的n≥n0，有其中将(10),(11)及(14)式代入(9)式，则对任意的n≥n0，有由上式及可得，对任意的n≥n0，应有其中由于故不妨设由(7)式有从而由(15)式，对任意的n≥n0，有因为故存在使得于是，从(16)可得故从而有与条件相矛盾．故{xn−q}有界，从而{xn}有界．定理2[8]设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．由定理2立即可得：定理3 设D是E的非空闭凸集，是具数列1的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．定理4 设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(2)式定义的具误差的修正的Mann迭代序列，且满足下列条件：(iii) 存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中由xn+1和q所确定的元，则{xn}强收敛于q．参考文献：[1]Chang S S.Iterative approximation problem of f i xed points for asymptotically non-expansive mappings in Banach spaces[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2001,24(2):236-241[2]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2001,129(3):845-853[3]Zeng L C.On the strong convergence of iterative method for non-Lipschitzian asymptotically pseudocontractive mappings[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2004,27(3):230-239[4]Goebel K,Kirk W A.A f i xed point theorem for asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1972,35(1):171-174[5]Kirk W A.A f i xed point theorem for mappings which do not increase distance[J].The American Mathematical Monthly,1965,72(5):1004-1006 [6]Schu J.Iterative construction of f i xed points of asymptotically non-expansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991,158(2):407-413[7]Chang S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].Nonlinear Analysis-Theory,Methods&Applications,1997,30(7):4197-4208[8]王绍荣，等.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近问题[J].系统科学与数学，2010,30(9):1206-1213 Wang S R,et al.The Ishikawa iterative approximation problem of f i xed points for uniformly L-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2010,30(9):1206-1213。
强伪压缩算子带误差的Ishikawa迭代的强稳定性
强 伪 压 缩 算 子 带误 差 的 Ｉｈｋ ｗａ迭 代 的 强 稳 定 性 ｓ ｉａ
金茂 明 ， 邓 磊
（ ． 陵 师 范 学 院数 学 系 ，重 庆 １涪 ４８０ ） ０ ０ ３
（ ．西 南 师 范 大 学 数 学 系 ，重 庆 ２
４０１） ０ ７ ５
摘 要 ： 设 Ｘ 是 任意实 Ｂｎｃ ａ ａ ｈ空 间 ， ： 丁 Ｘ— Ｘ 是 一 Ｌ ｐ ｃ ｉ ｉｓｈ ｔ 伪 压 缩 算 子 ．本 文 给 出 丁 带 误 差 的 ｚ强 Ｉｈｋ ｗ ｓ ｉａ ａ迭 代 过 程 的强 稳 定 性 ．并 给 出 一 个 涉 及 Ｌ ｐ ｃ ｉ ｉｓｈ ｔ ｚ强增 生 算 子 丁 的非 线 性 方 程 Ｔ ｘ＝ｆ迭 代 解
对 一 切 ， Ｙ∈Ｘ 成立 ．不 失一 般 性 ， 我们 不 妨设 ｋ （ ，） ∈ ｏ １．文献 Ｅ ｏ证 明 了 ７ 为 强 伪 压缩 的充 ａ］ １
分 必 要 条件 是 一 １ 强增 生 的．其 中 是 的恒 等算 子 ． 一７ 是
设 ７ 是 上 的 自 映 象 ， ∈Ｘ ， 计 。 ｆ （１ ） 一 个 迭 代 过 程 ， ７） ｛ １ 。 ： ｏ７， 是 Ｆ（１ ＝ ｚ∈Ｘ ： ｘ Ｔ ）
１ ５ ６
其中｛ 和｛ 是ｘ中的可和序列， ∑ Ｉ ｌ 乱） ｝ 即 ｌ ＜＋。， ｌ ｌ 。∑ ｌ ｌ ＜＋。， ） Ｊ） ０ 。 ｛ 和｛ 是［， ９
ｎ＝ ０ ＝ ０
１ ］中满 足一 定 条 件 的数 列 ． 特 别地 ， 若 三 ０ ＇三 ０ 三 ０ 则 由上 式 所 定 义 的序 列 称 为 带 误 差 的 Ｍａ ｎ迭 代 过 程 ； ，Ｕ ｎ ， 三 ， ＝ ｎ 若 ； ０ 三 ０ 三 ０ 则 由上 式所 定 义 的 序列 称 为 Ｉｈｋ ｗａ迭 代 过 程ｎ 若 三 ０ 三 ０ 兰 ０ ， ， 三 ， ＝ ｓ ｉａ ； ， ， ， 三 ０ 则 由上 式 所定 义 的序 列称 为 Ｍａ ｎ迭 代 过程 ｎ 三 ， ＝ ｎ ． 引理 １７ 设 ｛ ，ｂ｝ ｛ 是 非 负实 数列 且 满足 ： ［ ａ ｝ ｛ 和 Ｃ｝
Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｅ． ．Ｏｆ ｅ ｓｒ ｃ ： Ｕ ｏ ｄｕ’ ｅ ｕｌ ｓ Ｍ ａ ｎ Ｉ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｑｕ ｎ ｅ ａ ｒ ｘ ｍ ａ ｉ ｎ ｐｒ ｂｌｍ ｆ ｆｘｅ Ｓ ｒ ｓ ｔ ｉ ｎ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｅ ｃ ｐｐ ｏ ｉ ｔｏ ｏ ｅ ｏ ｉ ｄ ｐ ｎｔ ｆ ｒ Ｌ— ｐ ｃ ｉｚａ ａ ｙ ｐ ｏ ｉａ ｌ ｐ ｅ ｄｏ ｏｎ ｒ ｃ ｉ ｅ ｏｉ ｓ ｏ Ｌｉ ｓ ｈ ｔ ｉ ｎ ｓ ｍ ｔ ｔｃ ｌｙ ｓ ｕ ｃ ｔ ａ ｔｖ ｍａｐ ｉ ． Ｔｈ ｐｕ ｐ ｓ ｏ ｔ ｉ ｐ ｎｇ ｅ ｒ ｏ ｅ ｆ ｈｓ ｓ ｕｄ ｓ ｔ ｎｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｔ ｓ ｒ ｎｇ ｏ ｖｅ ｇ ｎ ｅ ｐｒ ｂｌｍ ｏ ｔ ｔ ｙ ｉ ｏ ｉ ｅ ｔｇ ｔ ｈｅ ｔ ｏ ｃ ｎ ｒ ｅ ｃ ｏ ｅ ｆ ｈｅ ｍｏｄ ｆｅ ｓ ｉ ｗ ａ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｉｉ ｄ Ｉ ｈ ｋａ ｔ ｒ ｔｖ ｐ ｏｃ ｓ ｅ ｔ ｒ ｏ ｓ ｆ ｒａ ｒ ｉ ｔｎ ｉ ｅ ｏ ｎｔ － ｐｓ ｈ ｚａ ｓ ｍ ｐ ｏ ｉａ ｌ ｓ ｕｄ — ｒ ｅ ｓ ｓ ｗｉｈ ｅ ｒ ｒ ｏ ｐｐ ｏｘ ｍａ ｉ ｇ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｓｏｆＬ＿ Ｌｉ ｃ ｔ ｉｎ ａ ｙ ｔ ｔｃ ｌｙ ｐ ｅ ｏ— ｃ ｎｔ ａ ｔｖｅｍ ａ ｐｉ ｇ ｉ ｅ ｌＢａ ａ ｈ ｓ ｃ ｎ Ｅ． ． ｏｅ Ｓ ｒ ｓ ｔ Ｔｈ ｅ ｕ ｔｅ ｔ ｎ Ｕ ． ｏ ｒ ｃ ｉ ｐ ｎ ｎ ｒ ａ ｎ ｃ ｐａ ｅ ｉ Ｕ Ｏｆ ｄｕ’ ｅ ｕｌ． ｅ ｒ ｓ ｌ ｘ ｅ ｄｓ Ｅ． ０ｆ ｅ ｕ’ ｅ ｕｌ． ｏ ｄ Ｓｒ ｓ ｔ Ｋｅ ｒ ｓ： ｙ ｗｏ ｄ ｕｎｉｏ ｍ ｌ Ｌｉ ｓ ｈ ｔ ｉ ｎ ｍａ ｉ ｇ； ｓ ｆ ｒ ｙ Ｌ— ｐ ｃ ｉｚａ ｐｐ ｎ ａ ｙｍｐｔ ｉ ａ ｌ ｐ ｅ ｄ ｏ ｒ ｃ ｉ ｅ ｍ ａ ｉ ｏｔｃ ｌｙ ｓ ｕ ｏｃ ｎｔ ａ ｔｖ ｐｐ ｎｇ； ｍｏｄ ｆｅ ｓ ｋ ｗａ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｑ ｎｃ ｔ ｒ ｏｒ ｉｉｄ Ｉ ｈｉ ａ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｕｅ ｅ ｗｉｈ ｅ ｒ ｓ
严格伪压缩映像不动点和均衡问题的公共元的迭代算法
多问题 可 归结为 寻找 平衡 问题 的 解 。有 关 非 线性 算 子 不 动 点 的 迭代 构 造 问题及 混合 均 衡 问题
的 求解 方法 ， 多学者进 行 了研 究 。利 用 杂 交投 影 算 法 ， 以逼 近 Ｈ ｌｅｔ 间 中严格 伪 压 缩 映 许 用 ｉ ｒ空 ｂ 像 不动点 集 与混合 均衡 问题 解 集的公 共元 ， 证 明其 强 收敛 性 。此 算 法 的最 终投 影 具有 显 示表 并
０ 引言
设 为一 实 Ｈｉ ｅ ｌ ａ空 间 ， ｂ Ｃ是 的 非空 闭 凸子集 ， （ ）＝｛ ∈Ｈｌｘ＝ 表示 映像 的不 动 点集 。 Ｆ Ｔ ｝ Ｔ 设 ：ｃ 为一 实值 函数 — Ｃ×ｃ Ｒ为二 元 均衡 函数 ， — 即八 ／ ｕ ０对任 意 ∈Ｃ成立 。混合 均衡 问 Ｚ ）＝ ，
Ｙ （ ）一 ） ０ Ｖｙ∈Ｃ ）＋ ｙ （ ＞ ｉ ， 。 （ Ｐ ＭＥ ）
题 指 的是 ： 寻找 ∈Ｃ使得
，
特 殊地 ， 若 ： ， ０ 问题 即简化 为古 典平 衡 问题 ， 即寻 找 ∈Ｃ使 得
＿ ， ） ０ Ｖｙ∈Ｃ。 厂 （ ＹＩ ， ＞ （ Ｐ Ｅ）
设 （ Ｐ 的解集 为 ｒ， ＭＥ ） Ｅ） （ Ｐ 的解集 为 ｎ。 近年来 ， ｏ ｅ ｅ ｎ ｒｔ ｇ １ Ｍｏ ｄ ｆ 分 别 在 Ｈｉ ｅｔ 间 中研 究 寻 找 非扩 张 映像 或 严格 伪 Ｃ ｍｂｔ ｓ ｄＨｉ ｏ ａ１和 ｔ ａ ｓａ ｕａ ｉ ｌ ｒ空 ｂ
压 缩 映像 与混 合均衡 问题解 集 的公共 元 素 。受 此研 究成 果 的 启发 ， 中引入 具 有显 示 格式 的杂交 投影 算 文
法 ， 以逼 近严 格伪 压缩 映像 的不 动点 与 混合均 衡 问题解 集 的公共 元 ， 用 并证 明 了一个 强收 敛定理 。
关于带误差的Ishikawa迭代过程
第 ２ 卷 第 ２ 期 １
２ ０ 年 ６月 ０７
湖 北 汽 车 工 业 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ｅ Ａｕｏ ｔ ｅ Ｉｄ ｓｒ ｓＩ ｓｉ ｔ ｏ ｒａ ｂ ｉ ｔｍｏｉ ｎ ｕ ｔ ｅ ｎ ｔ ｕｅ ｏ ｖ ｉ ｔ
近期 的结 果 。
关键 词 ：带 误 差 的 Ｉ ｉａ ａ迭 代 过 程 ； 扩 张 映 射 序 列 ； 致 凸 Ｂ ｎ ｃ ｓ ｋｗ ｈ 非 一 ａ ａ ｈ空 间 中图 分 类 号 ： ２ １ Ｏ ４ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ — ４ ３ ２ ０ ）２ ０ ７ — ２ ０ ８ ５ ８ （０ ７ ０ — ０ ６ ０
ｖ ｘＢａ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ｅ ｎ ｃ ｐ ｃ
代 过程 的一 种特 殊情 形 。
１ 预 备 知 识
设 是 一 个 Ｂｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ． Ｃ是 的 一 个 凸 子
在 文 献 ［ ］ 得 到 如 下 结 果 ： Ｃ是 一 致 凸 １中 设
Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 的 闭凸 子集 ． Ｃ Ｃ上具 有 不动 点 ： — 的非扩 张 映射 。 如果
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第 ２ １卷 第 ２期
王学勤 ： 关于带误差的 Ｉ ｉ ｗ 迭代过程 ｓｋ ａ ｈａ
一 ７ ７一
这 里 ｛ ，Ｖ｝ ｛ ， ｝ ｛ ｝ ｛ ， ｝ ｛ ｝ ‰｝ ｛ ， Ｏ ｝ ｛ ， ｔ ，＆ ｝ ｛ 和 同式 （ ） １。
序列 ： 对任 意给 定 的 ∈Ｃ
Ｉ ｏｘ ＝ Ｇ ＋
＝
ｌ ｓ ｐ ＜ｌ ｉ ｕ ｍ ，
ｙ ＜∞ 和
ｎ＝ ０
， ｌ ＝∞
ｒ Ｉ＝ ０
则对 。 ∈Ｃ， 由式 （ ） １ 定义 的序 列 ｝有 ，
φ-强伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近
φ-强伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近
谷峰
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2001(018)001
【摘要】在一般的Banach空间中,研究了φ-强伪压缩映象和φ-强增生映象的I shikawa迭代序列的收敛问题,去掉了通常文献中关于空间X的一致光滑或q-一致光滑的严格要求,改进了近年来文献中的一系列相应结果.
【总页数】5页(P63-67)
【作者】谷峰
【作者单位】齐齐哈尔大学数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值次伪压缩映象不动点和多值次增生映象零点的Ishikawa迭代逼近 [J], 高兴慧;崔艳兰
2.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近[J], 张石生;谷峰
4.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵
5.Lipschitz强伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 胡洪萍;王琳琳;马巧云
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Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代程序
Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代程序
关于Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代程序设K是任意实Banach空间X中的闭凸子集,T ∶ K→K是Lipschitz 严格伪压缩映象,在没有假设∑∞n=0αnβn＜∞之下,本文证明了由xn+1=(1-αn) xn+αnTyn+un与yn＝(1-βn) xn+βnTxn+vn,?n∈N,生成的带误差的Ishikawa迭代序列强收敛到T的唯一不动点,并给出了更为一般的收敛率估计:若un=vn=0,?n∈N,则有‖xn+1-x*‖≤(1-γn) ‖xn-x*‖≤…≤∏nj=0(1-γj) ‖x0-x*‖,其中{γn}是(0,1)中的序列,满足γn≥11+kmin(ε,η-ε) αn.所得结果改进和推广了最新的一些结果.
作者：龙宪军彭再云敖军 LONG Xian-jun PENG Zai-yun AO Jun 作者单位：龙宪军,LONG Xian-jun(重庆工商大学,数学与统计学院,重庆,400067)
彭再云,PENG Zai-yun(重庆交通大学,理学院,重庆,400074)
敖军,AO Jun(重庆师范大学,数学与计算机科学学院,重庆,400047)
刊名：重庆师范大学学报（自然科学版）ISTIC英文刊名：JOURNAL OF CHONGQING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2009 26(2) 分类号：O177.91 关键词：任意实Banach空间 Lipschitz严格伪压缩映象带误差的Ishikawa迭代序列收敛率估计不动点。
关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代序列
关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象的带误差的
Ishikawa型迭代序列
曾六川
【期刊名称】《《数学年刊A辑》》
【年(卷),期】2001(022)005
【摘要】设Ｘ是任意实Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ的闭子空间；Ｔ：Ｘ→ Ｘ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ强伪压缩映象，使得Ｔｘ＊＝ｘ＊，对某ｘ＊∈Ｘ．在没有条件
之下，本文证明了带误差的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列强收敛到ｘ＊．另外，相关结果又证明了，当Ｔ：Ｅ→Ｅ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ强增生算子时，带误差的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列强收敛到方程Ｔｘ＝ｆ的唯一解．
【总页数】6页(P639-644)
【作者】曾六川
【作者单位】海师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中Lipschitz局部严格伪压缩映象带误差的Ishikawa迭代过程 [J], 杨永琴
2.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代逼近 [J], 王黎明;崔艳兰
3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
4.带误差的非扩张映象及强伪压缩映象的Ishikawa迭代序列的收敛性 [J], 尤翠莲;何震
5.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa迭代序列的收敛性 [J], 龙宪军;彭建文
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L_P空间中非线性Lipschitzian强单调映象的Ishikawa迭代程序
L_P空间中非线性Lipschitzian强单调映象的Ishikawa迭
代程序
舒斯会
【期刊名称】《南昌职业技术师范学院学报》
【年(卷),期】1996(0)3
【摘要】本文得到一个 L_P 空间中非线性 Lipschitzian 强单调映象的 lshikawa 迭代程序的一个定理,给出了[1]中问题2的回答。
【总页数】3页(P70-72)
【关键词】强单调映象;巴拿赫空间;Lp空间;Ishikawa迭代
【作者】舒斯会
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.凸度量空间中非线性映象不动点迭代程序的稳定性 [J], 黄南京
2.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射的Ishikawa迭代过程 [J], 范瑞琴;薛志群
3.Lp空间中非线性Lipschitzian强单调映象的Ishikawa迭代… [J], 舒斯会
4.凸度量空间中非线性映象不动点迭代程序的稳定性 [J], 黄南京
5.Φ-强单调半连续映象的Browder变分不等式解的Ishikawa迭代算法 [J], 罗春林;姚益民
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多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近
多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近冉凯;惠存阳;赵凤群
【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(26)2
【摘要】在一致光滑的实Banach空间中,研究两个多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近问题.得到了多值Ф-强伪压缩映像的Ishikawa迭代序列逼近T1与T2公共不动点的强收敛定理.改进并推广了一些文献的相关结论.
【总页数】4页(P22-25)
【作者】冉凯;惠存阳;赵凤群
【作者单位】西安文理学院,数学系,陕西,西安,710065;西安文理学院,数学系,陕西,西安,710065;西安理工大学,数学系,陕西,西安,710048
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近[J], 张石生;谷峰
2.多值Ф-伪压缩映射公共不动点的具误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 王林
3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群
5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群
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迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点
迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点
张云艳
【期刊名称】《毕节学院学报》
【年(卷),期】2007(025)004
【摘要】引入和研究了Banach空间中强伪压缩映象的不动点的具随机混合型误差的Ishikawa和Mann迭代序列的逼近问题,统一、改进和推广了有关文献中的相应结果.
【总页数】5页(P12-16)
【作者】张云艳
【作者单位】毕节学院数学系,贵州,毕节,551700
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳
2.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.Banach空间中非线性Φ-伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 王绍荣;杨泽恒;熊明
4.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近[J], 张石生;谷峰
5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵
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之下， 本文证明了由 ’ $ (G %（ G ) ! $ ）’ $ ( ! $ #* $ ( + $ 与 * $ %（ G ) " $ ）’ $ ( " $ #’ $ ( , $ ， 生成的带误差的 $ $ % !， D<36E/F/ 迭代序列强收敛到 # 的唯一不动点， 并给出了更为一般的收敛率估计： 若 +$ % ,$ % #， 则有 $ $ % !， （ G ) # $ ）&’ $ ) ’ ! & ’ … ’ ( - %（ G ) # - ）&’# ) ’ ! &， 其中｛# $ ｝ 是 （#， G） 中的序列， 满足 # $ ) &’ $ (G ) ’ ! & ’ # G 86. （ $， 所得结果改进和推广了最新的一些结果。 % ) $）! $ 。 G (. 关键词： 任意实 /0$012 空间； 345612478 严格伪压缩映象； 带误差的 9624.0:0 迭代序列； 收敛率估计； 不动点 ;GII < $G 中图分类号： 文献标识码： =! ! ! 文章编号： G*I" > **$H （ "##$ ） #" > ###I > #M
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并未考虑误差的影响， 而在不动点逼近理论中， 误差项是一个不 就定理 ! 中的 4-(+5%6% 迭代程序而言， 容忽视的因素。 本文受文献 ［ !!7!1 ］的启发， 对 $%&%’( 空间中 *+,-’(+./ 严格伪压缩映象引入具有误差 4-(+5%6% 迭代序列， 然后， 在对参数 ! & ， " & 更为宽松的限制条件下研究此迭代序列的收敛性。 如下引理在证明本文的主要结果中将发挥重要作用。
观察到， $ ! )（ " ’ ! # ） $ ! ’ !（ $ ! !（ " ! "） 故可见 !# $! ， # * ! % ! "* ） $ # ! $ ! )（ " ’ ! # ） （ $ # ’" ! $ ! ）’ !［ $ # ’" !（ * ! % ! "*） $ ! ］! # （ * ! % ! "* ）
［ !2 ］ 引理 ! # 0
பைடு நூலகம்
设｛% & ｝ ， ｛& & ｝ ， ｛’ & ｝与｛/ & ｝是非负实数列， 满足下列条件 ! ）/ & % ［"， !］ ， 且# & % " / & % 0 ；
0 &" 0
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1 ）# & % " & & ’ 0 ， 且# & % " ’ & ’ 0 。 若 % & +! ’ （! ) /& ） 则 8+3 % & % " 。 %& + && %& + ’& ， $& ) " ，
［ $ ］更好的收敛率估计， 其主要结果如下。
收稿日期： "##PU G#U GH 资助项目： 国家自然科学基金 （ 7,) G#*IGGHM ） 作者简介： 龙宪军， 男， 博士研究生， 研究方向为最优化理论及应用。
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1
重庆师范大学学报 （ 自然科学版） # (..,： < < 666= ’>&?@= ’&# # # # # # # # # # 第 1A 卷
［ H >GG ］ 映象类， 许多学者做了大量深入的研究工作 。 熟知， #是 （ 严格）伪压缩映象当且仅当， （ 9 ) #）是 （ 强）增 ［ G， H］ 。 生算子 ［ P］ ［ %］ 本文假设正整数集为 !。 G$$I 年， B6把 Q/. 和 R的结果从 5 一致光滑 J/./@3 空间推广到任意 ［ $］ ［ P］ J/./@3 空间。 "### 年， ?/<=(> 和 J/S去掉了 B6的定理 G 与定理 " 中 ! 的有界性假设， 并提供了收敛率 ［ G# ］ 估计。 曾 又把文献 ［P， $ ］中的迭代程序由 T/.. 迭代程序推广到了 D<36E/F/ 迭代程序， 并提供了比文献
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第 ! 期- - - - - - - - - 龙宪军， 等： 关于 .*/012*34 严格伪压缩映象的带误差的 502*6(7( 型迭代程序
! （ ! ! "） ［ （ ! ! "） (# !（ !# ’ " ］ # $ # ! %& # ）’ !（ # %$ # ’ " ! %& # ）!
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G 预备知识
本文假设 " 是一实 J/./@3 空间， 其范数和对偶空间分别记成 &・& 和 " ! ， 记 " 与 " ! 之间的对偶对为 〈・ ， ・ 〉 ， 且记 " 的正规对偶映象为 （ ?・ ） ， 即 （ ? ’） % ｛’ ! % " ! 〈 K ’， ’ ! 〉 % & ’ &" % & ’ ! &" ｝ ， $’ % " （ #）与值域 A （ #）的算子 # 称为增生的， 若对任意 ’， *%@ （ #） ， 存在 （ - ’ ) *）% " 中具有定义域 @ （ ? ’ ) *） ， 使得 〈 #’ ) #*， （ - ’ ) *） 〉) # 。 # 称为强增生的， 若对任意 ’， *%@ （ #） ， 存在（ - ’ ) *）% （ ? ’ ) *） ， 使得 〈 #’ ) #*， （ - ’ ) *） 〉) .&’ ) *&" ， 对某个 . B # ， 其中， . 称为 # 的强增生常数。 不失一般性， 假设 . %
［ !" ］ 定理 ! # 设 ! 是任意实 $%&%’( 空间 " 中的闭凸子集， # ) ! " ! 是 *+,-’(+./ 严格伪压缩映象， 使得 #$! %
对某个$ ! % " 。 又设｛! & ｝ 与｛" & ｝是 ［"， ! ］中的实序列， 满足下列条件 $! ， ! ）# & % " ! & % 0 且# & % " ! & " & ’ 0 ； ( )# 1 ）" ’ ! & ’ ， 对某个 # % （"， (） ； $& % !， （ * + !） （ * + 1 ) (）+（ * ) ! ） ( 2 ）" ’ " & ’ 3+& ( # $& % !。 ， (* )， （ * + 1 ) (） * （ * + !）
1 主要结果
定理 1# 设 ! 是任意实 $%&%’( 空间 " 中的闭凸子集， # )! " ! 是 *+,-’(+./ 严格伪压缩映象， 使得 #$ ! % 对某个 $ ! % " 。 又设｛0 & ｝与｛1 & ｝是 " 中的序列， ｛! & ｝与｛" & ｝是 ［"， ! ］中的实序列， 且满足下列条件 $! ， ! ）# & % " &0 & & ’ 0 ， 且 &1 & & " " （& " 0 ） ；
［ " ’ , ’（ ,! ! ,） &$ # ! %& # & ’ &$ # ! $ ! & ’ ,&& # ! $ ! & ’ "# ］ &$ # ! $ ! & ’ , &+ # & （ # ） （" ! !# ） $# ’ !# %&# ’ (# ! &# & ) ,&$# ! &# ’ !（ ’ (# & ’ &%$#’" ! %&# & ’ ,&$#’" ! &# & ) ,& # %&# ! $# ） ,&"（ # %$ # ! $ # ）’ + # & ’ , ! # & %& # ! $ # & ’ , & ( # & ’ , （ , ’ "） （ ,! ! , ） " # &$ # ! $ ! & ’ ,&+ # & ’ ,&( # & ’ ,!［ "# ） &$ # ! $ ! & ’ ,&+ # &］’ # （" ’ , ’
0 0
其中， (% （"， ! ）和 * （ ) ! ）分别是 , ) # 的强增生常数与 # 的 *+,-’(+./ 常数， 则对任意 $" % " ， 由下式生成 的 4-(+5%6% 迭代序列｛$ & ｝ $ & +! %（ ! ) ! & ） $ & + ! & #- & ； - & %（ ! ) " & ） $ & + " & #$ & ， $& % ! （ * + !） # )* "& 强收敛到 # 的唯一不动点 $ ! ， 而且存在 （"， ! ）中的序列｛$ & ｝满足 $ & ) 使得对一切 & % !& ， ! +(