2020年3月济南市高三统一考试

xx 年3月济南市高三统一考试
数学（理工类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，共150分。

测试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。

一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合{}1x 0,x 2y |y B ,1x 1,x y |y A 31
≤<-==⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==，则B A I 等于（ ）
A. ]1,(--∞
B. [－1，1]
C. Φ
D. {}1 2. 如果R a ∈且0a a 2<+，那么22
a a a a --、、
、的大小关系是（ ） A. a a a a 2
2->->> B. a a a a 2
2>->>- C. 2
2a a a a ->>>-
D. 2
2a a a a ->>->
3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=60°，24b ,34a ==，则角B=（ ）
A. 45°或135°
B. 135°
C. 45°
D. 以上答案都不对
4. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3
a 23
S n n -=，则数列{}n a 的通项公式是（ ）
A. )1n n (2a 2
n ++= B. 3n 3a n +=
C. n n 23a ⋅=
D. n
n 32a ⋅=
5. 以0y 4x 3=±为渐近线的双曲线过点（3，－4），则此双曲线的离心率e 等于（ ）
A. 45
B. 35
C. 34
D. 35
45或
6. 已知向量(2,1)b (1,3),a ==，若)b (3a )b 2a (λ++与平行，则实数λ的值等于（ ）
A. 6-
B. 6
C. 2
D. 2-
7. 由1x 3y 2
+=、1x =、3x =及x 轴围成的图形的面积为（ ）
A. 28
B. 26
C. 30
D. 332
8. 关于函数)
43
x 3sin(2)x (f π-=，有下列四个命题：（ ）
①其最小正周期为π
32； ②其图象由x 3sin 2y =向左平移4π个单位而得到；
③其表达式可写成
)43x 3cos(2)x (f π+=； ④在]
125
,12[x ππ∈上为单调递增函数。

则其中真命题为（ ）
A. ①③④
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③
9. 已知函数x log y 2=，其反函数为)x (f y 1
-=，则函数)1x (f 1--的图象是（ ）
10. 已知正三棱锥V —ABC 的主视图、俯视图如下图所示，其中32AC ,4VA ==，则该三棱锥的左视图的面积为（ ）
A. 9
B. 6
C. 33
D.
39
11. 已知直线01by ax :l =-+与圆
50y x 22=+有公共点，且公共点的横、纵坐标都是整数，那么这样的直线l 共有（ ）
A. 66条
B. 72条
C. 78条
D. 84条
12. 定义在实数集R 上的奇函数f （x ）的最小正周期为20，在区间（0，10）内仅有f （3）
=0，则函数在
3)4x
f(+[－100，400]上零点的个数为（ ）
A. 20
B. 26
C. 27
D. 25
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 第II 卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中。

2. 答卷前将密封线内的项目填写完整。

二. 填空题：本大题共4个小题。

每小题4分；共16分，把答案填在题中横线上。

13. 定义一种运算如下：bc ad d c b a -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，则复数
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+i 321i 1的共轭复数是_________________。

14. 已知n
3x 21x ⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为________。

15. 已知命题p ：1|3x 2|>-，命题q ：0
)5x x (log 221<-+，则q p ⌝⌝是的_______条件。

16. 已知一个半球内有一个内接正六棱锥P —ABCDEF ，该正六棱锥的底面多边形的顶点在半球的底面圆周上，且底面边长为2，则此六棱锥的侧面积是_______________。

三. 解答题：本大题共6个小题。

共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
已知：
)
2
(,
2
1
)
4
tan(π
α
π
π
α<
<
-
=
+。

（1）求α
tan的值；
（2）求
)
4
sin(
cos
2
2
sin2
π
α
α
α
-
-
的值。

18. （本小题满分12分）
在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为“良好”并停止投篮。

已知甲每次投篮投中的概率是3
2。

（1）求甲投了3次而不及格的概率；
（2）设甲投篮投中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

19. （本小题满分12分）
已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使3
2
DB=，如图，O、H分别为AE、AB的中点。

（1）求证：直线OH//面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE；
（3）求二面角O—DH—E的大小。

20. （本小题满分12分）
已知函数cx
bx
g(x)
ax
2x
f(x)2
2+
=
+
=与的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线。

求：
（1）g(x)
)x(f和的表达式及公切线方程；
（2）设
)1
x
ln(
x8
)x(
mg
)x(F-
+
=
，其中0
m<，求F（x）的单调区间。

21. （本小题满分12分）
已知过抛物线y4
x2=的对称轴上一点P（0，m）（m>0）作直线l，l与抛物线交于A、B两点。

（1）若角∠AOB为锐角（O为坐标原点），求实数m的取值范围；
（2）若l的方程为0
12
y2
x=
+
-，且过A、B两点的圆C与抛物线在点A（A在第一象限）处有共同的切线，求圆C的方程。

22. （本小题满分14分）
已知数列
{}
n
a、{}n b满足：2n
n
1
n
n
n
1
a
1
b
b,1
b
a,
4
1
a
-
=
=
+
=
+。

（1）求4
3
2
1
b,
b,
b,
b；
（2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）设1n n 433221n a a a a a a a a S +++++=Λ，求实数a 为何值时n n b aS 4<恒成立。

【试题答案】
一. 选择题： 1. D 2. B 3. C 4. D
5. B
6. B
7. A
8. A
9. C
10. B 11. B 12. B
二. 填空题： 13. －1－3i
14. 321
15. 充分不必要
16. 76
三. 解答题： 17. 解：（1）由
21
tan 1tan 1,21)4tan(-=-+-=+
ααπ
α得，解之得3tan -=α 4分
（2）
α
αααααπ
αααcos 22)cos (sin 2
2
cos 2cos sin 2)
4
sin(cos 22sin 22=--=
-
-
8分
1010cos 3
tan 2
-
=-=<<ααπαπ
且Θ
55
2-
=∴原式 12分
18. 解：（1）甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率
为27732)31
(C )31(P 2133=
⋅+= 4分
（2）依题意，ξ可以取0.1.2.3.
当0=ξ时，表示连续5次都没投中，其概率为：
2431
)31()0(P 5=
==ξ 当1=ξ时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：
24310)31()32(C )1(P 41
5=
⋅⋅==ξ 当2=ξ时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：
24340)31()32(C )2(P 322
5=
⋅⋅==ξ 当3=ξ时，表示①连续3次都投中，其概率为：278)32(3=
，或②前3次中有2次投中，
且第四次投中，其概率为：2783231)32
(C 223=
⋅⋅，或③前4次中有2次投中，且第五次投中，
其概率为：
811632)31()32(C 222
4=
⋅⋅， 即8164
8116278278)3(P =
++==ξ 9分
ξ
数学期望
27742436668164324340224310124310E ==⨯-⨯-⋅+⋅
=ξ 11分
答：（1）甲恰好投篮3次就通过的概率是277
；
（2）甲投篮投中的次数的数学期望是2774
12分
19. （1）证明H O 、Θ分别为AE 、AB 的中点
//BE OH ∴，又OH 不在面BDE 内 BDE OH//面直线∴
4分
（2）O 为AE 的中点AD=DE OB
DO BO DO DB 1013BO ,32DB ,2DO AE
DO 2
22222⊥∴+=∴=+===⊥∴Θ
又因为AE 和BO 是相交直线 所以ABCE DO 面⊥
又OD 在面ADE 内 ABCE ADE 面面⊥∴ 6分 （3）由（1）（2）知OA 、OH 、OD 两两垂直，分别以OA 、OH 、OD 为x 、y 、z 轴建立空间坐标系，则)2D(0,0,,0,0),2E(,0),2H(0,,0,0),2(A
9
分
向量)0,2,2(),2,2,0(--=-= 设平面DHE 的法向量为)z .y .x (n = 则0HE n 0DH n ==⋅=⋅
10分
z x z,y 0y 2x 20z 2y 2-==⎪⎩⎪⎨⎧=--=-即
0z z),z,(z,n DHE >-=∴不妨设的法向量为平面
11分
又的法向量是平面DOH )0,0,2(=
3
3z
32z 2,cos =
⋅=
<
由图二面角O —DH —E 为锐角，所以，二面角O —DH —E 的大小
33
arccos
12分
20. 解：（1）
ax x 2)x (f 3
+=Θ过点P （2，0）
分分解得的图像过点分
切线的斜率分5x 168x g(x)416
c 8,b :16,c 4b (2)g'(2)f'c,2bx (x)g'0
2c 4b (2,0)P cx bx g(x)316(2)f'k 8
x 8)x ('f 2x 8x 2)x (f 8a 2
223-=∴-===+==+==+∴+===∴-=-=-=∴ΘΘ
切线方程为)2x (16y -=，即032y x 16=-- 6分
（2）)1x ()1x ln()2x (m )x (F >-+-=Θ
分
的单调增区间是的单调减区间是时当时当又分
时当分
11)
m
1
(1,1F(x))
,m 1
(1F(x)0(x)F'),m
1
(1x 0(x)F')m
1
(1,1x 1
x 91m 110m 1
x )]
m 1
(1m[x (x)F',0m 8)1x (1
x 1
m mx 1x 1m )x ('F -∴+∞-∴<+∞-
∈>-∈>>-∴<---=
<>-+-=-+=∴Θ
即m<0时，F(x)的单调增区间是
)m 1(1,1-
，单调减区间是),m 11(+∞-
12分
21. 解：（1）设l:y=kx+m ，代入抛物线y 4x 2
=的方程化简得
0m 4ky 4x 2=--，
1分
m 4x x ,k 4x x ),y ,B(x ),y ,A(x 0m 16k 160
m 212122112-==+>+=∆∴>则设恒成立
Θ
又角∠AOB 为锐角，所以0>⋅
3分
因为
2
2121221212121m )x x (km x x )k 1()m kx )(m kx (x x y y x x ++++=+++=+=⋅ 则0m 4m ,0m k 4km )m 4)(k 1(2
22>->+⋅+-+即
又因为0m >，解得m>4；
6分
（2）解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩
⎨
⎧=+-=4y 4
x 9y 6x ,012y 2x y 4x 2或得，
由题意得A （6，9）、B （－4，4）
又函数
2x 41y =
的导数为x 21
'y =，所以过点A 的公共切线斜率k=3，由题意知圆C 的圆心C 是线段AB 的垂直平分线1l 和过点A 与公共切线垂直的直线2l 的交点， 9分
分
即即1011
x 31
y :l ),6x (319y :l 2
17x 2y :l ,)1x (2213y :l 2211+-=--=-+-=--=-
联立
2
1l l 和的方程解得圆心坐标
)
2
23
,23(C -，圆半径210
5)2239()236(CA r 22=
-++==
11分
故所求圆方程为2125)223y ()23(x 22=
-++ 12分
22. 解：（1）
n n n n n n n 1n b 21
)b 2(b b )a 1)(a 1(b b -=
-=+-=+ 分
47
6
b ,65b ,54b 43
b ,41a 43211=
==∴=
=Θ
（2）1
b 21
1b n 1n --=-+Θ 分
为公差的等差数列
为首项是以数列103
n 2
n 3n 11b 3n )1n (41b 11, 41b 11
b 1
11b b 21b 1n n n n n n 1n ++=
+-
=∴--=---=-∴--⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴-+-=--=-∴+
（3）3n 1
b 1a n n +=
-= )
4n )(3n (8
n )6a 3(n )1a (3n 2n 4n an b aS 4)
4n (4n
4n 141)4n )(3n (1651541a a a a a a S 2n n 1n n 3221n ++--+-=
++-+=-∴+=+-=++++⨯+⨯=
+++=∴+ΛΛ 由条件可知
08n )6a 3(n )1a (2
<--+-恒成立即可满足条件设8n )2a (3n )1a ()n (f 2--+-=
083n f(n),1a <--==时恒成立
时1a >，由二次函数的性质知不可能成立
1a <时，对称轴
0)1a 11(231a 2a 23<---=--⋅-
f(n)在]1,(-∞为单调递减函数。

恒成立时n n 2b 4aS 1a 4
15a 0
15a 48)6a 3()1a (8n )6a 3(n )1a ()1(f <<∴<
∴<-=--+-=--+-= 综上知：n n b ,4aS 1a <≤时恒成立
14分
【励志故事】
宽恕等在桥的另一边
海明威在他的短篇故事《世界之都》里，描写一对住在西班牙的父子。

经过一连串的事情后，他们的关系变得异常紧张。

男孩选择离家而去。

父亲心急如焚地寻找他。

遍寻不着之际，父亲在马德里的报纸上刊登寻人启事。

儿子名叫帕科，在西班牙是个很普通的名字。

寻人启事上写着：“亲爱的帕科，爸爸明天在马德里日报社前等你。

一切既往不咎。

我爱你。

”
海明威接着给读者展示了一幅惊人的景象。

隔天中午，报社门口来了八百多个等待宽恕的“帕科”们。

世上有无数的人在等待别人的宽恕。

宽恕的受益人不只是被宽恕者，还有和他们一样多的人可以得到好处——就是那些宽恕他们的人。

宽恕是一座让我们远离痛苦、心碎、绝望、愤怒和伤害的桥。

在桥的那一端，平静、喜悦、祥和正等着迎接我们。

欢迎访问 。