5第五讲 二项式定理及其概率的综合运用

第五讲 二项式定理及其概率的综合运用
一、知识概要
1、二项式定理
二项式系数的性质：
（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即n n 0n C C =，r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；
（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中
间一项2
n n C 最大；当n
是奇数时，中间两项21
n n C -，2
1n n C +相等，且为最大值；
（3） +++=+++=++++5
n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C
2、概率
（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念
（2
（3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式特例：A B =，即对立事件的概率和为1
（4）相互独立事件A ，B
（5）事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n
展开的第k+1项
（6）涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化 （7）主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维
3、随机变量.（文科考纲不要求）
1). 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.
2). 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x
ξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5
之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3). ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n·p ），其中n ，p 为
参数，并记p)n b(k;q
p C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4). 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那
根据相互独立事件的概率乘法分式：
ξ的概率分布列.
我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q
二、题型展示
例1、求(4+2x+x 2)(2-x)7的展开式中x 5的系数。

解：(4+2x+x 2
)(2-x)7
=(8-x 3
)(x-2)6
=(8-x 3
)[(x 6
-2C 61x 5
+(-2)2
C 62x 4
+(-2)3
C 63x 3
+(-2)4
C 64x 2
+…]
∴ 含x 5
的项为-2×8×C 61
·x 5
-(-2)4
C 64x 5
=-336x 5
∴ x 5
的系数为-336
例2、已知n 4
)x
21x (+
的展开式前三项中的x 的系数成等差数列。

（1）求展开式里所有的x 的有理项； （2）求展开式里系数最大的项。

解：（1）∵ )1n (n 81)21(C ,2n 21C ,1C 22n 1
n 0n -==⋅
=由题设可知08n 9n ),1n (n 8
1
12n 22=+--+=⋅ 解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项r 434r
r
8
r
4
r
8r
81r x 2
C )
x 2()
x (
C T ----+⋅⋅=⋅=
据题意，4
r
34-
必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r ≤8 ∴ r=0，4，8，故x 的有理项为41x T =，x 835
T 5=
，2
9x
2561T = （3）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有
r
1
r t t +≥1且1r 2r t t ++≤1
∵ r 2r 92C 2C t t 1r 1r 8r r 8r 1t -=⋅⋅=+---+ 由r 2r 9-≥1得r ≤3 又∵ )1r (2r 82C 2C t t r
r
8)1r (1
r 81r 2r +-=⋅⋅=-+-+++ 由)
1r (2r 8+-≤1得：r ≥2 ∴ r=2或r=3所求项为253x 7T =和47
4x 7T =
例3、设a>1，n ∈N ，且n ≥2，求证：n
1
a 1a n
-<
- 证明：设x 1a n
=-，则(x+1)n
=a 欲证原不等式，即证nx<(x+1)n
-1，其中x>0
∵ 1x C 1x C x C x C )1x (1
n n 1n n 1n 1n n 0n n +>++++=+--- 即(x+1)n
>nx+1，原不等式成立。

评注：由于(a+b)n
的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的
例4、(2005年浙江卷 理)袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3
1
，从B
中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．
(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2
5
，求p 的值．
解 (Ⅰ)（i ）22
24
1218
33381
C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-，得
()5
0513*******P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭；()4
1511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭;()2
3
2511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3
2
3
5
11173133243
P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是 0123243243243
24381
E ξ=
⨯+⨯+⨯+=
(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球
由1
22335
m mp m +=，得1330p =
例5、如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统
N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作 已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2
解 记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0.80, P (B )=0.90,P (C )=0.90
(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648
(N 2)A B C (N 1)
C
B A
(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］=P (A )·［1－P (B )P (C )］
=0 80×［1－(1－0 90)(1－0 90)］=0 792 故系统N 2正常工作的概率为0 792
三、题型训练
1.（2002京皖春理，10）对于二项式31
()n
x x
+（n ∈N *），四位同学作出了四种判断：
①存在n ∈N *，展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项 ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项上述判断中正确的是（ ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
2.（2002京皖春文，10）在261()x x
+的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ） A.20，20
B.15，20
C.20，15
D.15，15
3.（1999全国理，8）若（2x ＋
3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ）
A.1
B.－1
C.0
D.2
4.（2002上海春，5）若在（
x
x 15
-
）n
的展开式中，第4项是常数项，则n = . 5.（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 .
6.（2005全国卷Ⅱ）10()x 的展开式中64x y 项的系数是 ( )
(A) 840 (B) 840- (C) 210 (D) 210- 7.（2005全国卷Ⅲ）在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是 ( ) （A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）28
8. (2005重庆卷) 若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为-5，则n 等于( )
(A) 4； (B) 5；
(C) 6； (D) 10。

9.（2005天津卷）设*
∈N n ,则=++++-1
2321666n n n n n n C C C C ___________
10. （2006年湖北卷）在24
3
1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 （ ） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 11．（2006年江苏卷）10)31
(x
x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6
12．（2006年江西卷）在（x 2006
的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x S 等于（B ）
A.23008
B.-23008
C.2
D.-23009
13. ( 2006年湖南卷）若5(1)ax -的展开式中3
x 的系数是-80,则实数a 的值是 . 14. ( 2006年浙江卷）若多项式=+++++++=+91010291010
2
,)1()1()1(a x a x a x a a x
x 则 （ ）
(A)9 (B)10 (C )－9 (D )－10
15.（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
四、真题演练
1.(05全国高考文科卷)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。

（精确到01.0）
2.(05吉林、黑龙江、广西文科卷)甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响． （Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以３：２取胜的概率．（精确到0.001）
3.(05四川，陕西，云南文科卷)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
4.(05湖南文科卷)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
5.(05福建文科卷)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
5
221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
6.(05浙江文科卷)袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是
3
1
，从B 中摸出一个红球的概率为p ．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i )恰好有3次摸到红球的概率；(ii )第一次、第三次、第五次摸到红球的概率． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1：2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2
5
，求p 的值．
7.(05江西文科卷)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
8.(05重庆文科卷)加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
109、98、8
7
，且各道工序互不影响.
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.
附:(参考答案)
题型训练: 1. D 2．C 3. A 4. 18 5. 1008 6．A 7. B 8. B 9.
()
176
1-n
10. C 11. B 12. B 13. – 2 14. D 15.略
真题演练:略。