高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课件 理

B．3.75 分钟
C．4.00 分钟
D．4.25 分钟
12/11/2021
(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底部一 个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt (cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 ________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年
销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是
多少？
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解析答案
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万 元， 依题意得，当 0＜x＜8 时， L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋1x00.
答案
3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数 学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
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(4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
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输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐 增大，故选 B.]
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3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙 述中正确的是( )
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用函数图象刻画变化过程 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线 段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分成两部分，设 AE＝ x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )
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应用所给函数模型解决实际问题
【例 1】 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，
生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流
动成本为 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量
不小于 8 万件时，W(x)＝6x＋10x0－38(万元)．每件产品售价为 5 元．通过市场
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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答案
2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表，
则 x，y 最适合的函数是( )
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
A.y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2 x
解析答案
y＝00..54xx， ＋01＜ 0，xx≤＞110000
[由题意可知，当 0＜x≤100 时，y＝
0.5x.
当 x＞100 时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4
＝0.4x＋10.
∴y＝00..54xx＋ ，01＜ 0，xx≤＞110000. ]
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课堂题 型 全突破
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解析答案
(1)B (2)16 [(1)根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)， (5,0.5)分别代入函数关系式，
0.7＝9a＋3b＋c，
联立方程组得0.8＝16a＋4b＋c， 0.5＝25a＋5b＋c，
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消去 c 化简得79aa＋ ＋bb＝ ＝0－.10，.3， a＝－0.2，
所以 L(x)＝－ 353－1x2x＋＋41xx0－03，，x0≥＜8x.＜8，
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(2)当 0＜x＜8 时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元， 当 x≥8 时，L(x)＝35－x＋10x0≤35－2 x·1x00＝35－20＝15，此 时，当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元．因为 9＜15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获 利润最大，最大利润为 15 万元．
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[规律方法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的 两种方法 1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模 型，再结合模型选图象. 2验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两 变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除 不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
x∈N)，若每台产品的售价为 25 万元，生产的产品全部卖出，则该
工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是( )
A．70 台
B．75 台
C．80 台
D．85 台
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解析答案
B [由题意可知，利润 f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜ x≤240，x∈N) ∴当 x＝75 时，f(x)取到最大，故选 B.]
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解析答案
D [当 x＝0.50 时，y＝－0.99，从而排除选项 A、C，又当 x＝2.01 时，y＝0.98，从而排除选项 B，故选 D.]
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3．(教材改编)一个工厂生产一种产品的总成本 y(单位：万元)与产
量 x(单位：台)之间的函数关系是 y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，
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[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)函数 y＝2x 与函数 y＝x2 的图象有且只有两个公共点．( )
(2)幂函数增长比直线增长更快．( )
(3)不存在 x0，使 ax0＜xn0＜logax0.( ) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x) ＜f(x)＜g(x)．( )
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4．某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四
年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少 7.84%
B．增加 7.84%
C．减少 9.5%
D．不增不减
A [设某商品原来价格为 a，四年后价格为： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.]
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A
B
C
D
解析答案
D [因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得 快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有 D 选项适合．]
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2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实 现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在 规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时 间的运输量)逐步提高的是( )
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[常用结论] 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)内单调递增，在[－ a，0]和 (0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
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01 课前·知识全通关
栏
目 导
02 课堂·题型全突破
航
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课前知识 全通关
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1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝ kx＋b(k≠0) ．
k (2)反比例函数模型：y＝ x ＋b(k，b 为常数且 k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c 为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
解得b＝1.5， c＝－2.
所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2 ＝－15t2－125t＋21265＋4156－2
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＝－15t－1452＋1136， 所以当 t＝145＝3.75 时，p 取得最大值， 即最佳加工时间为 3.75 分钟． (2)当 t＝0 时，y＝a，当 t＝8 时，y＝ae－8b＝12a， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 y＝ae－b t＝18 a，e－b t＝18＝(e－8 b)3＝e－24b，则 t＝24，所以再经过 16 min.]
第2章 函数、导数及其应用
第九节 函数模型及其应用
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[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结 合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙 车比用乙车更省油
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解析答案
D [根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故 选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速 度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程 为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时， 丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙 车更省油，故选项 D 对．]
12/11/2021
构建函数模型解决实际问题 【例 2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有 50 辆自 行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根据经验，若每 辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超 出 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用 后的所得)． (1)求函数 y＝f(x)的解析式及其定义域； (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
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(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分
比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单
位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，如图记录
了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳
加工时间为( )
A．3.50 分钟
__单__调__递__增__
__单__调__递__增__
增长速度
越来越快
越来越慢
因 n 而异
随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各有 图象的变化
现为与__y_轴___平行 现为与__x_轴___平行 不同
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
12/11/2021
12/11/2021
解析答案
5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.5 元/km，如果超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0.4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行驶千米数 x(km)之间的函数 关系式是________．
12/11/2021
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
12/11/2021
答案
2．三种函数模型之间增长速度的比较
性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的 增减性
__单_调__递__增___
12/11/2021
[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3利用该模型求解实际问题. 易错警示：1解决实际问题时要注意自变量的取值范围. 2利用模型fx＝ax＋xb求解最值时，注意取得最值时等号成立的条 件.