【创新设计】北京体育大学附中2014版高考数学一轮复习推理与证明单元突破训练新人教A版

北京体育大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共6
0分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．下列
表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到
特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
【答案】D
2．用数学归纳法证明
，从
到
，左边需要增乘
的代数式为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】Ｂ
3．如果有穷数列
（
为正整数）满足
．即
，我们称其为“对称数列”例如，数列，
，
，
，
与数列
，
，
，
，
，
都是“对称数列”．设
是项数为
的“对称数列”，并使得
，
，
，
，…，
依次为该数列中连续的前
项，则数
列
的前
项和
可以是
⑴
⑵
(3）
其中正确命题的个数为(
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
4．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

那么，当小
圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
【答案】A
5．已知
，以下命题真命题的个数为( )
①
，②
，③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
6．已知整数的数对列如下：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，
(1,4)
，(
2，3），( 3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…
则根
据上述规律，第60个数对可能是( )
A． (3,8) B． (4,7) C． (4,8) D． (5,7) 【答案】D
7．下面是按一
定规律排列的一列数
第1个数：
；
第2个数：
；
第3个数：
……
第
个数：
．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是( )
A．第13个数 B．第12个数 C．第11个数 D．第10个数【答案】D
8．现给出如下命题：
(1)若直线
与平面
内无穷多条直线都垂直，则直线
；
(2)已知
，则
；
(3)某种乐器发出的声波可用函数
来描述，则该声波的频率是200赫兹；
(4)样本数据
的标准差是1．
则其中正确命题的序号是( )
A．(1)、(4)． B．(1)、(3)． C．(2)、(3)、(4)． D．(3)、(4
)．
【答案】D
9．观察式子:
,
,
,
,则可归纳出式子为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
10．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于( )
A
．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理
【答案】A
11．定义
的运算分别对应下图中的（1）（2）（3）（4），那么（5）（6）可能是下列运算结果中的( )
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
12．已知
，把数列
的各项排列成如下的三角形状，
记
表示第
行的第
个数，则
=( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．对于各数互不相等的整数数组
(
是不小于2的正整数)，对于任意
，当
时有
，则称
，
是该数组的一个“逆序”，
一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 .
【答案】4
14．下表给出了一个“三角形数阵”：Ks**5u
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是。

【答案】
15．已知不等式
对于
恒成立,则
的取值范是 .
【答案】[－1,+∞)
16．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：
……，则可以猜
想：当
时，有____________．
【答案】1＋
＋
＋…＋
<
(n≥2)
三、解答题 (本大题共6个小题
，共70分，解答应
写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．将正整数
（
）任意排成
行
列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意
两个数
（
）的比值
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
(Ⅰ）当
时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
(Ⅱ）若
表示某个
行
列数表中第
行第
列的数（
，
），且满足
请分别写出
时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
(Ⅲ）对于由正整数
排成的
行
列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合
，记其“特征值”为
，求
证：
【答案】（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设
在第一行第一列，考虑与
同行或同列的两个数只有三种可能，或
或
.
得到数表的不同特征值是
或
(Ⅱ）当
时，数表为
此时，数表的“特征值”为
当
时,数表为
此时，数表的“特征值”为
.
当
时，数表为
此时，数表的“特征
值”为
.
猜想“特征值”为
.
(Ⅲ）设
（
）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以
，从而
18．如图，已知矩形
所在平面，
分别是
的中点．
求证：（1）
平面
；（2）
．
【答案】（1）取的中点
．
分别为
的中点．
为
的中位线，
，
，而
为矩形，
，且
．
，且
．
为平行四边形，，而
平面
，
，
平面
．
(2）
矩形
所在平
面，
，而
，
与
是平面
内的两条直交直线，平面
，而
平面
，
．
又
，
．
19．求证：
> 2
【答案】要证：
>2
只需：
>2
成立，
即证：
>
只需证：13+2
> 13+2
即证： 42>40
∵42>40显然成立，∴ >2
证毕。

2
0．设
图像的一条对称轴是
.
(1）求
的值；
(2）求
的增区间；
(3）证明直线
与函数
的图象不相切。

【答案】（1）由对称轴是，得
，
而
，所以
(2）
，增区间为
(3）
，即曲线的切线的斜率不大于，
而直线
的斜率
，即直线
不是函数
的切线。

21．
是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.
【答案】由
得
,所以
,
由此得到
.
又因为
,故
.
又
因为
, 令
则
.
当
时，
关于t单调递增，所以
，
.
因此
可以取1，2，3.
22．设函数中，
均为整数，且
均为奇数。

求证：
无整数根。

【答案】假设有整数根
，则
而
均为奇数，即
为奇数，
为偶数，则
同时为奇数‘
或
同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。

无整数根。