人教全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．
()1求y 与x 的函数关系式；
()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】
()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数
关系式；
()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，
也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】
解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠， 函数图象经过点()40,200和点()60,160，
{
40200
60160k b k b +=∴+=，解得：{
2
280k b =-=，
y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．
()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．
试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，
∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．
20-<，
∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，
80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，
答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．
2．如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =
3
4
AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（16，74）． 【解析】 【分析】
已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴− 221
b b
a -
⨯＝＝1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）
设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，
则033k m m ＝＝+⎧⎨-⎩，
∴13k m ⎧⎨-⎩
＝＝
∴直线BC 的函数表达式为y=x-3； （3）①∵AB=4，PQ=3
4
AB ， ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴，
则由抛物线的对称性可得PM=32
， ∵对称轴是直线x=1， ∴P 到y 轴的距离是12， ∴点P 的横坐标为−12
， ∴P （−
1
2，−74
） ∴F （0，−
7
4
）， ∴FC=3-OF=3-74=5
4
∵PQ 垂直平分CE 于点F ， ∴CE=2FC=
52
∵点D 在直线BC 上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=5
2
-1=
3
2
．
在Rt△EGD中，tan∠CED=
2
3 GD
EG
＝．
②P1（2，-2），P2（6
-
5
2
）．
设OE=a，则GE=2-a，
当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：2或2∵点P在第三象限．
∴P1（2-2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F的纵坐标为：-5
2
，
把y=-5
2
，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-
6
2
1+
6
2
∵点P在第三象限．
∴P2（6-5
2
）．
综上所述：满足条件为P 1（-2），P 2（-52）． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
3．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；
（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,
0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2
1
4
y x x =-++；（Ⅲ）3b = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2
y x bx c =-++，
有10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩。

解得2,3b c ==
2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴
（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∵点E 在直线y x =上，2
424
b c b
+∴=
221111
(1)4244c b b b ∴=-+=--+
2110,(1)44A b ⎛
⎫∴--+ ⎪⎝
⎭
当1b =时，点A 是最高点此时，2
14
y x x =-++
（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭
∴E 关于x 轴的对称点E '为2
(2)
,24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),24b b E '
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
代入(1)(1)y b x =-+-.
得
2(2)(1)142b b b +⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
，即2680b b --=
解得，3b =
0,3b b >∴=.
3b ∴=+【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
4．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点
C .
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标； （Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =
-;抛物线的对称轴为直线x =
;
（Ⅱ）P 点坐标为9
(0,)4
-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析
【解析】【分析】
（Ⅰ
）将3)
A-点代入二次函数的解析式，即可求出a，再根据对称轴的公式即可求
解.
（Ⅱ）先求出B点胡坐标，要求PA PB
+胡最小值，只需找到B关于轴的对称点1B，则直线A1B与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.
（Ⅲ）设点Q的坐标，并求出△AOQ面积，从而得到△AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）
∵2(0) y ax x a
=≠
经过点3)
A-，
∴2
3
2
a
-=⨯-
1
2
a=，
∴
抛物线的解析式为2
1
22
y x x
=-，
∵2
1
22
2
b
x
a
=-=-=
⨯
∴
抛物线的对称轴为直线
2
x=.
（Ⅱ）∵点(0,0)
O
，对称轴为x=，
∴点O关于对称轴的对称点B
点坐标为.
作点B关于轴的对称点1B
，得
1
(
B-，
设直线AB1的解析式为y kx b
=+，
把点3)
A-
，点
1
(
B-
代入得
3
b
b
⎧-=+
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，
解得
4
9
4
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴
9
44
y x
=--.
∴
直线9
4
y x
=-与y轴的交点即为P点.
令0x =得9y 4
=-， ∵P 点坐标为9(0,)4
-.
（Ⅲ）∵(3,3)A -，//AC x 轴，∴3AC =，3OC =，
∴1133
3322AOC S OC AC ∆=
⋅=⋅⋅=
， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=
，∴93
32
AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q 点坐标为2133
(,
)22
m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵93
AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=
梯形， ∴()
2113311
3333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.
如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93
AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形 ∴
2211331133(3m)3()222222m m m ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
393(3)2m m --+=，
化简整理得23180m m -=， 解得133m =223m =-
∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1
3
AOC AOQ S S ∆∆=
.
【点睛】
主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.
5．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；
（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标； （3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （3
7
-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【解析】
试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x 的一元二次方程即可得出点A 、B 的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y 值即可得出点C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配
方即可找出顶点D 的坐标；
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，由点C 的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式，令其y=0求出x 值，即可得出点E 的坐标；
（3）根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式，假设存在，设点F （m ，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．
试题解析：（1）当2
23y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，
2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A （﹣3，0），B （1，0）．
当2
23y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．
（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．
∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{
4
b k b =--+=，解得：7
{
3
k b =-=-，∴直线C′D 的解析
式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=3
7
-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（3
7
-
，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3
a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）
∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，
∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．
考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．
6．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1（113
2
+
，0）、N1131）；M2（
113
2
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3
（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
20
3
a a c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
3
a
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴33，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
240
43
m k
k m
⎧-+-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
解得：1
1
4
m
k
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍），2
2
3
1
m
k
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ ≌△PQN ，
∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，
∴∠MOQ=∠HQN ，
∴△OQM ≌△QNH （AAS ），
∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，
解得：x=113±（负值舍去）， 当x=113
2+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （113
2+，0），
∴点N 坐标为（113++131
-，﹣1），即（13，﹣1）；
或（113
+﹣131
-，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M 1（1132+，0）、N 1（13，﹣1）；M 2（1132
+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
7．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．
（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；
（2）如图2，直线12:5
l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，
2DE EM =，求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点
P 的横坐标为：773+-
737-． 【解析】
【分析】 （1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125
y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴
交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得
13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；
（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得
1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取1
3
OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
【详解】
（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403
a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线C 解析式为：24y x x =--， 配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -；
（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．
∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =
∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-
将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35
k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--， ∵2(,4)D m m m --，
∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，
由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称，
∴2(,4)E m m m -+
如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --， ∴2231217124()5555
DH m m m m m =-----
=--+，2231217124()5555
EK m m m m m =+--=++， ∵2DE EM =
∴
13
ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK
∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13
EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555
m m m m --+=++ 解得：13m =-，225
m =-， ∵2m <-
∴m 的值为：﹣3；
（3）由（2）知：3m =-，
∴(3,3)D -，(3,3)E -
，OE =
如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222
(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =
∴222AB BG AG +=
∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，
∴1tan 3
BG GAB AB ∠===， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH
上截取13OH OE =
= 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -，
∴45EOT ∠=
∵90EOH ∠=
∴45HOT ∠=
∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，
则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线EH 解析式为1322y x =--，
解方程组
2
13224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得117737358x y ⎧--=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩，227737358x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
， ∴点P 的横坐标为：773+-或
737-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
8．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．
（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．
试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，
∴，解得：，∴二次函数的解析式．
（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的
两个根，则MN===；
（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则
CD===，由，消去y得到
，设两个根为，，则
EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．
考点：二次函数综合题．
9．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使
∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；
（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，
△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．
试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），
把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；
（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，
S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，
，解得：，
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），
∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，
﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，
（m+4）（m﹣5）=0，
m1=﹣4，m2=5（舍），
∴E（﹣4，5）；
（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，
∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，
连接EP，则EP⊥OG，
∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，
∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，
∴，∴m=﹣4，
∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；
如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，
则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，
∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，
∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，
综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．
考点：二次函数的综合题.
10．如图1,抛物线2112y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点()1,0B ,与y 轴交于点30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,抛物线1y 的顶点为,G GM x ⊥轴于点M ．将抛物线1y 平移后得到顶点为B 且对称轴为直l 的抛物线2y ．
(1)求抛物线2y 的解析式；
(2)如图2,在直线l 上是否存在点T ,使TAC ∆是等腰三角形?若存在,请求出所有点T 的坐标:若不存在,请说明理由；
(3)点P 为抛物线1y 上一动点,过点P 作y 轴的平行线交抛物线2y 于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以,,P Q R 为顶点的三角形与AMC ∆全等,求直线PR 的解析式．
【答案】（1）抛物线2y 的解析式为2111424
y x x =-+-；（2）T 点的坐标为13137(1,4T +,23137(1,4
T -,377(1,)8T -；（3）PR 的解析式为13y x 24=-+或1124
y x =--. 【解析】
分析：（1）把()1,0B 和30,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入2112y ax x c =-+求出a 、c 的值，进而求出y 1，再根据平移得出y 2即可；
（2）抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点T 作TE y ⊥
轴于E ,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t 的方程，解方程即可； （3）设2113,424P m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝
⎭,根据对称性得21112,424R m m m ⎛⎫--+- ⎪⎝
⎭,分点P 在直线的左侧或右侧时,结合以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等求解即可.
详解:(1)由题意知，
34102c a c ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
， 解得14
a =-， 所以,抛物线y 的解析式为21113424
y x x =--+； 因为抛物线1y 平移后得到抛物线2y ,且顶点为()1,0B ， 所以抛物线2y 的解析式为()22114y x =-
-， 即： 22111424
y x x =-+-； (2)抛物线2y 的对称轴l 为1x =,设()1,T t ,已知()33,0,0,4A C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 过点T 作TE y ⊥轴于E ,
则22221TC TE CE =+=+ 2
233254216t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭
， 222TA TB AB =+= ()2221316t t ++=+，
215316AC =， 当TC AC =时， 即232515321616t t -+=， 解得131374t +=或231374
t -=； 当TC AC =时,得21531616t +=
，无解； 当TC AC =时,得2232516216t t t -+=+,解得3778
t =-; 综上可知,在抛物线2y 的对称轴l 上存在点T 使TAC ∆是等腰三角形,此时T 点的坐标为131371,4T ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,231371,4T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,3771,8T ⎛⎫- ⎪⎝
⎭. (3)设2113,424P m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭,则2111,424Q m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝
⎭, 因为,Q R 关于1x =对称,
所以21112,424R m m m ⎛
⎫--+- ⎪⎝⎭
, 情况一:当点P 在直线的左侧时,
2113424PQ m m =--+- 211114
24m m m ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭, 22QR m =-,
又因为以,,P Q R 构成的三角形与AMG ∆全等,
当PQ GM =且QR AM =时,0m =,
可求得30,4P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,即点P 与点C 重合 所以12,4R ⎛⎫- ⎪⎝
⎭, 设PR 的解析式y kx b =+,
则有3,412.4b k b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩
解得12
k =-, 即PR 的解析式为1324
y x =-
+, 当PQ AM =且QR GM =时,无解, 情况二:当点P 在直线l 右侧时,
2111424P Q m m '=-+-'- 211314
24m m m ⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭, 22Q R m ='-', 同理可得512,,0,44P R ⎛
⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭
' P R ''的解析式为1124
y x =--, 综上所述, PR 的解析式为1324y x =-+或1124
y x =--. 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a 、c 的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度．。