直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0.
曲线的位置关系．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2
＝1＋1
k 2|y 1－y 2|
＝
1＋
1
k
2
（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2
＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2
－y 2
＝1一定相交．( )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 2
4＋y 2
＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
双曲线C ：x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线
l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )
A ．k ＞－b a
B ．k ＜b a
C ．k ＞b a 或k ＜－b a
D ．－b a ＜k ＜b a
解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知 －b a ＜k ＜b a
.
过点
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2
交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值
为( ) A ．－1
2
B ．－14
C ．－4
D ．无法确定
解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12
，代入抛物线方程得2x 2
＋
2kx －1＝0，由此得⎩
⎪⎨⎪
⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－1
2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－12＝(k 2
＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋
1)－12k ·(－k )＋14＝－1
4
.故选B.
已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2
相切，则a 等于____________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2
，消去y 得ax 2
－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，
解得a ＝1
4.
答案：1
4
斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____________．
解析：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋4y 2
＝4，y ＝x ＋t
消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.
则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2
－1）
5.
所以|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2 ＝2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85t 2
－4×4（t 2
－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝410
5.
答案：4105
直线与圆锥曲线的位置关系
[典例引领]
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，
且点P (0，1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)， 所以c ＝1.
将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
得1b
2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2
＝2.
所以椭圆C 1的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，
消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，
所以Δ1＝16k 2m 2
－4(1＋2k 2
)(2m 2
－2)＝0. 整理得2k 2
－m 2＋1＝0.①
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝4x ，y ＝kx ＋m ，
消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2
＝0， 整理得km ＝1.②
综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－22，
m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2.
直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
直线与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，设其判别式为Δ，
(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； (3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．
[提醒] 注意讨论二次项系数是否为零．
[通关练习]
1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案：3
2．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．
解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 2
2
＝1，②将①代入②，
整理得9x 2
＋8mx ＋2m 2
－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m )2
－4×9×(2m 2
－4) ＝－8m 2
＋144.
(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数
解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．
弦长问题
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
4上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 22
4，x 1＋x 2＝4，
于是直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
4
＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x
2.
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3
2＝1，
解得x 3＝2，于是M (2，1)．
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4
得x 2
－4x －4m ＝0.
当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.
由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.
弦长的计算方法
求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． [提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
[通关练习]
1．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB
的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 2
4
＝1，消去y ，整理得3x 2
－5x ＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝53
，x 1x 2＝0.
则|AB |＝（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝
（1＋22
）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝55
3
.
答案：55
3
2．(2018·太原市模拟)已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为____________．
解析：因为抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2
＝4x 联立，消去x 得ky 2
－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4
k
，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝
16
k
2＋16，
因为|AB |＝
1＋1k
2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝
16
k 2
＋16＝26，
所以△AOB 的面积为1
2×1×26＝ 6.
答案： 6
中点弦问题
[典例引领]
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2
，点(2，2)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2
b
2＝1，
解得a 2
＝8，b 2
＝4.所以C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．
将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 2
4＝1，得
(2k 2
＋1)x 2
＋4kb 1x ＋2b 2
1－8＝0. 故x M ＝
x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 1
2k 2＋1
. 于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－1
2
.
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)， 则x 218＋y 21
4
＝1，①
x 228
＋y 22
4
＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
4＝0，
即
y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
. 又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.
即k OM ·k AB ＝－1
2
.
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－1
2
.
处理中点弦问题常用的求解方法
[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
[通关练习]
1．若点(3，1)是抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则
p 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y 2
＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
1＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②， 由①－②得y 21－y 2
2＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2p
y 1＋y 2
，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2p
y 1＋y 2
＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2. 2．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx 2＋ny 2
＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则m
n
的值为( ) A.22
B.23
3
C ．1
D ．2
解析：选A.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 所以k OM ＝y 0x 0＝
22，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1
＝－1， 由AB 的中点为M 可得x 1＋x 2＝2x 0，
y 1＋y 2＝2y 0.
由A ，B 在椭圆上，可得⎩⎪⎨⎪
⎧mx 2
1＋ny 2
1＝1，mx 22
＋ny 2
2＝1， 两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 则m (x 1－x 2)·2x 0－n (x 1－x 2)·2y 0＝0， 整理可得m
n ＝
2
2
，故选A. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx 2
＋ny 2
＝1
x ＋y －1＝0
，
可得(m ＋n )x 2
－2nx ＋n －1＝0， 所以x 1＋x 2＝
2n
m ＋n
， y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝2m
m ＋n .
由中点坐标公式可得，
x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝y 1＋y 22＝m m ＋n
.
因为M 与坐标原点的直线的斜率为
2
2
，
所以y 0x 0＝
m
m ＋n n m ＋n
＝m n ＝2
2
.故选
A.
求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定 点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要
考虑判别式Δ是否为正数． 易错防范
判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于
一点．
1．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为
( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a
x ， 则由题意得b a
>2，
所以e ＝c
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
>1＋4＝ 5. 2．过抛物线y 2
＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k
2
＋2)x ＋14k 2
＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条．
3．(2018·安徽皖南八校联考)若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 2
3＝1的公共点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为
3
a 2＋b
2
＞3，所以a 2
＋
b 2＜3.
又a ，b 不同时为零，所以0＜a 2
＋b 2
＜3.
由0＜a 2
＋b 2
＜3，可知|a |＜3，|b |＜3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3， 所以P (a ，b )在椭圆内部，
所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 2
3
＝1的公共点有2个，故选C.
4．(2018·江西九江模拟)过抛物线y 2
＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →
，则λ的值为( ) A.34 B.32 C. 3
D ．3
解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程
⎩⎨
⎧y 2
＝8x ，
y ＝22（x －2），
解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3. 5．(2018·江西五市八校模拟)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2
＋by 2
＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则a
b
的值为( ) A ．－
32
B ．－233
C ．－932
D ．－2327
解析：选A.由双曲线ax 2
＋by 2
＝1知其渐近线方程为ax 2
＋by 2
＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，。