高中数学必修二单元测试：圆的方程word版含答案

圆的方程单元测试
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1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )
A ．x 2＋y 2＝2
B ．x 2＋y 2＝ 2
C ．x 2＋y 2＝1
D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A ∵AB 的中点坐标为(0,0)，
|AB |＝[1－ －1 ]2＋ －1－1 2
＝22，
∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.
2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D 由圆的定义知，若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，
即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23
. 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2
＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，
PQ 的中点为M (x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋x 02，
y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，
所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2
＝4，
化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
4．已知圆C ：x 2＋y 2＋ x ＋2y ＝－ 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．
解析：圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34 2＋1. 所以，当 ＝0时圆C 的面积最大，即圆心C 的坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M (m ，6)在
圆C 内，则m 的取值范围为________．
解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，
得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2.
半径r ＝|CA |＝ 2＋1 2＋12＝10.
故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.
答案：(x －2)2＋y 2＝10 (0,4)
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1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )
A ．上半圆
B ．下半圆
C ．圆
D ．抛物线
解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．
2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1
解析：选A 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，
∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.
3．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是(
) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8
C ．(x －1)2＋y 2＝2
D ．(x －1)2＋y 2＝8
解析：选A 因为直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)，
所以圆C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，
所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|
12＋12＝2，
则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.
4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，
故曲线C 是圆心为(－a,2a )，半径为2的圆，
要使圆C 的所有的点均在第二象限内，
则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，
并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，
易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，
则有|－a |>2，得a >2.
5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2
＋4x ＋3＝0
B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0)
C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0
D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)
解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，
因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ，
所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，
化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.
因为A ，B ，C 三点不共线，
所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．
6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．
解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，
那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝ 2－3 2＋ －3－4 2＝5 2.
而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，
∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.
故|PM |＋|PN |的最小值为52－4.
答案：52－4
7．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．
解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，
∵ CM ＝1－02－1
＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，
此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.
答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝0
8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________；其面积为____________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
∵△OPQ 为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，
所以其面积为S ＝5π.
答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 5π
9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．
(1)求m ＋2n 的最大值；
(2)求n －3m ＋2
的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，
设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋2
2≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，
所以所求的最大值为16＋210.
(2)记点Q (－2,3)，
因为n －3m ＋2
表示直线MQ 的斜率 ， 所以直线MQ 的方程为y －3＝ (x ＋2)，
即 x －y ＋2 ＋3＝0.
由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|
1＋k 2≤2 2.
可得2－3≤ ≤2＋3，
所以n －3m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .
(1)求圆C 1的圆心坐标．
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．
解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．
(2)设M (x ，y )，
∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，
∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，
∴MC 1―→·MO ―→＝0.
又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，
∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.
易知直线l 的斜率存在，
∴设直线l 的方程为y ＝mx ，
当直线l 与圆C 1相切时，d ＝
|3m －0|m 2＋1＝2，
解得m ＝±255
. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53
. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．
又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，
∴53
<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53
<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．
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1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋
AQ ―→＝0，则m 的取值范围为________．
解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，
存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，
则A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，
∴m ＝6＋x P 2
∈[2,3]． 答案：[2,3]
2．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则 x＋3 2＋y2＝2 x－3 2＋y2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|
2
＝42，
故|QM|的最小值为32－16＝4.。