宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析

绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
（银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0。

5毫米的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁,不折叠,不破损。

5．做选考题时,考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
{
}
1,21x
M x x N x =<=>，则M N =
A 。

∅
B. {}
01x x <<
C. {}
0x x <
D 。

{}
1x x <
【知识点】集合的运算 【试题解析】因为
,所以
所以故答案为:B
【答案】B 2．复数21i
Z i
=+的虚部是 A ．i
B ．—i
C ．1
D ．-1
【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为=
所以虚部是1 故答案为：C 【答案】C
3．在等比数列{}n a 中,若11
9a =,43a =,则该数列前五项的积为
A ．±3
B ．3
C ．±1
D ．1
【知识点】等比数列 【试题解析】因为
，
所以
故答案为：D 【答案】D
4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A ．43 B ．83 C ．123
D ．243
【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为底面积高
所以
故答案为:A 【答案】A
5．二项式10
2
2()x x -展开式中的常数项是 A ．360
B ．180
C ．90
D ．45
【知识点】二项式定理与性质 【试题解析】因为
,
令，得。

所以常数项是
故答案为：B 【答案】B
6．在ABC ∆中，1310
tan ,cos 210
A B ==
，则tan C = A ．—1
B ．1
C ．3
D ．-2
【知识点】两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式 【试题解析】因为
所以
故答案为：A
【答案】A
7．若对任意非零实数,a b ,若a b *的运算规则 如右图的程序框图所示，则(32)4**的值是
A ．12
13
B ．2
1
C ．
2
3
D ．9
【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数算法和程序框图
输入a ,b
开始 结束
输出
a
b 1
- a ≤b ?
输出
b
a 1
+ 是
否
【试题解析】因为 所以.
故答案为:C 【答案】C
8．函数()3sin(2),(0,)3
f x x π
φφπ=-
+∈满足)()(x f x f =，则φ的值为
A ．6π
B ．3π
C ．
56π D ．3
2π 【知识点】函数的奇偶性诱导公式 【试题解析】因为函数
满足
，所以
为偶函数,令
得
此时
为偶函数。

所以故答案为：C
【答案】C
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，
())1,0(,,∈c b a ，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则b
a 31
2+
的最小值为 A ．
3
32 B ．
3
28 C ．
314 D ．3
16 【知识点】随机变量的期望与方差均值定理 【试题解析】因为由已知得
所以
所以
故答案为：D 【答案】D
10．双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线2
1y x =+相切,则该双曲线的离心率为
A 3
B ．2
C 5
D 6
【知识点】导数的概念和几何意义双曲线
1 2
3
4 5 6
7
8
9
【试题解析】因为求导得，设切点为，
所以切线方程为
，过原点
，所以
得,.
所以得
故答案为：C 【答案】C
11．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数,当0<x 时，)1()(+=x e x f x ，给出下列命题:
①当0>x 时，)1()(x e x f x -= ②函数)(x f 有2个零点
③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞⋃- ④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f 其中正确命题个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【知识点】函数综合 【试题解析】因为①当时，可得
；②函数有-1，0，1三 个零点;
③
的解集为
；④
，都有
所以，①②均不正确，③④正确。

故答案为：B 【答案】B
12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个
小正方形,使得任意相邻（有公共边)的小正方形所涂 颜色都不相同,且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有（ ）种
A ．18
B ．36
C ．72
D ．108 【知识点】排列组合综合应用 【试题解析】因为
故答案为：D
【答案】D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线x
y 2
=
与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为 。

【知识点】积分 【试题解析】因为所求为
所以
故答案为：4-2ln2 【答案】4—2ln2
14．在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2224
1c b a +=，
则
=c
B
a cos _______________ 【知识点】余弦定理
【试题解析】因为
所以 故答案为:
【答案】
15．在区间[0，2］上任取两个实数a ,b ，则函数f （x )=x 3+ax —b 在区间［-1，1］上有且只有一个零
点的概率是 。

【知识点】线性规划利用导数研究函数的单调性零点与方程
【试题解析】因为所以为使函数f(x)=x3+ax —b 在区间[—
1,1]上有且只有一个零点，只需，
所以
故答案为：
【答案】
16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3，
2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于__________。

【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】因为
，
，取
中点，则球心为中点，
所以外接球半径
故答案为： 【答案】
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分)
在等差数列{}n a 中,13a =，其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数,11b =，公比为
q (1)q ≠，且2212b S +=，2
2
S q b =
． （1）求n a 与n b ； （2）证明：
12
1111233
n S S S ≤+++
<． 【知识点】数列综合应用
【试题解析】（1）设的公差为，因为所以解得或
(舍),．
故
，
．
（2)因为，所以．
故
理科数学试卷 第3页(共6页)
．
因为,所以，于是，
所以
．即．
【答案】详见解析
18.(本小题满分12分)
某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中 随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图 的频率分布直方图。

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列， 试估计全年级视力在5。

0以下的人数; （2)学习小组成员发现，学习成绩突出的 学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和 951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据, 根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3)在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望。

附:
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 【知识点】概率综合
【试题解析】（1）设各组的频率为，
由图可知，第一组有3人,第二组7人,第三组27人,
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为
所以视力在5．0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5．0以下的人数约为
（2）
因此在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系．
（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3
, ,
，
的分布列为
的数学期望
【答案】详见解析
19．（本小题满分12分）
如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝错误!，AB＝BC＝1，AD＝2,E是AD 的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2）所示．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
【知识点】立体几何综合
【试题解析】（1）证明:在图（1)中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2,E是AD的中点,
∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD．
即在图(2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC,
又OA1∩OC＝O，OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，
从而BE⊥平面A1OC．
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC．
（2)
由已知,平面A1BE⊥平面BCDE，
又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1BE C的平面角，
所以∠A1OC＝．
如图,以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
所以B(,0，0）E(－,0,0）,A1(0，0，)，C(0,，0）
得＝（－，，0)，＝（0,，－）
＝＝(－,0，0)．
设平面A 1BC 的法向量n1＝(x1，y1，z1），平面A 1CD 的法向量n2＝（x2，y2，z2），平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ, 则
得
取n1＝(1，1，1）；
得取n2＝（0，1，1)，
从而cos θ＝｜cos 〈n1，n2〉|＝＝,
即平面A 1BC 与平面A1CD 所成锐二面角的余弦值为．
【答案】详见解析
20．(本小题满分12分）
以椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的中心O 为圆心，2
2b a +为半径的圆称为该椭圆的“准
圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ,且满足2=PQ ，OFQ OPQ S S ∆∆=
2
6
. （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当0=⋅ON OM 时，试问弦ED 的长是否为定值,若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

【知识点】椭圆
【试题解析】(1）设椭圆
的左焦点
,由
得
，又
，即且，所以，
则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．
（2）设直线的方程为,且与椭圆的交点，
联列方程组 代入消元得：
由
可得 由得即
， 所以
此时成立,
则原点到弦的距离，
得原点到弦的距离为,则,
故弦的长为定值． 【答案】详见解析 21．（本小题满分12分）
已知函数)0.()1ln()(2
≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值,求a 的值； (2)讨论)(x f 的单调性；
(3)证明：e N n e n ,()3
1
1)...(8111)(911(*2∈<++
+为自然对数的底数）. 【知识点】导数的综合运用 【试题解析】（1)是
的一个极值点，则
,验证知=0符合条件
(2）
1)若=0时，
单调递增,在单调递减；
2）若
上单调递减
3）若
再令
在
综上所述，若上单调递减，
若。

若
(3）由（2）知，当
当
、
【答案】详见解析
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-1；几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径,C、F是⊙O上的两点，
OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于
点D．连接CF交AB于点E．
（1)求证:DE2=DB•DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
【知识点】几何选讲
【试题解析】（1)证明：连接OF．
B A
C
E
O
F
因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．
因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF2=DB •DA ．
所以DE2=DB •DA ． （2）解：DF2=DB •DA ，DB=2，DF=4． DA= 8， 从而AB=6， 则． 又由（1）可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1． 从而 在
中，
．
【答案】详见解析
23。

（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5232x t
y t
⎧=-⎪⎨=+⎪⎩,(t 为参数），在以原点O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()24
π
ρθ+=-A ,B
两点的极坐标分别为(2,
),(2,)2
A B π
π.
（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值。

【知识点】参数方程
【试题解析】（1)由
得
消去参数t,得，
所以圆C 的普通方程为．
由，
得
，
即， 换成直角坐标系为， 所以直线l 的直角坐标方程为．
(2）化为直角坐标为
在直线l 上，
并且
，
设P 点的坐标为，
则P 点到直线l 的距离为，
,
所以
面积的最小值是
【答案】详见解析
24．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲．
已知函数()|2|f x x =-。

（1)解不等式：(1)(2)4f x f x +++<;
（2)已知2a >,求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.
【知识点】绝对值不等式
【试题解析】（1）解：，即，
①当时，不等式为,即，
是不等式的解；
②当时,不等式为,即恒成立，
是不等式的解；
③当时，不等式为，即，
是不等式的解．
综上所述,不等式的解集为．
（2）证明：，
，
恒成立．
【答案】详见解析。