青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析

则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
X (z) 3 z 1 j2 z 1 j2 z 2 z 1 4 z j2 4 z j2
x(n)
3 2
(n)
(1)n u(n)
1 j2 4
2e
j 2
n
1 j2 4
2e
j 2
n
u(n)
3 (n) (1)n u(n) 2n[1 cos( n ) sin( n )]u(n)
u(n 1) 1 , z 1 z 1
（2）单边 z变换的位移特性
若 Z [x(n)u(n)] X (z)
则 Z [x(n m)u(n)] ? Z [x(n m)u(n)] ?
x(n)
x(n)u(n)
0
n
x(n 1)
0
n
x(n 1)
0
n
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
(z
)2
2
z
cos 0
1
z2
z(z cos0 ) 2 z cos0 2
,z
（五）初值定理
若 x(n为) 因果序列，则 x(0) lim X (z) z
X
(z)
x(0)
x(1)
1 z
x(2)
1 z2
（六）终值定理
若 x(n为) 因果序列，则
条件：x(存) 在，即：
lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
za zb
ab
Re z
由于 X (z)在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含
任何极点。
通常，X (z)的收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右 边序列之收敛域是从 X (z)最外面有限极点延伸至 z （可能包 含 ）；左边序列之收敛域是从 X (z)最里面非零极点延伸至 z 0 （可能包含 0）。
x(n)zn z Re z j Im z z变换的收敛域 n
序列 x(n的) 单边 变z换:
X (z) Z [x(n)u(n)] x(0) x(1)z1 x(2)z2
x(n)zn n0
（二） 典型序列的 变z 换
（1） Z [ (n)] 1
(n) 1
收敛域：整个 z平面
（2） Z
例： Z [u(n)] z z 1
, z 1
Z
[u(n)]
z1 z1 1
1 1 z
, z 1
Z
[(1)n u(n)] Z 2
[2n u(n)]
z 1 z1 2
1 1 2z
Z [2n u(n)] z z2
, z 2
,z 1 2
§8.6 变z 换与拉氏变换的关系
（一） z平面和 平s 面的映射关系
部分分式展开法：仅适用于X (z)为有理分式的情况
部分分式展开法
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z [anu(n 1)] z , z a
za
X (z)
Am
z
m z zm
X (z) Am z m z zm
例1：讨论
X
(z)
z2
z2 1.5z
可能的收敛域，并求对应的序列。
0.5
2 2
6
1,0, 1,0,1,0,
0
4
8n
1
sin
2
n
u(n)
z z2 1
, z 1 1
sin( n)u(n) 2
0,1,0, 1,0,1,
3
7
01
5
n
1
§8.3 变z换的收敛域
Z [anu(n)] z
,z a
za
Z [anu(n 1)] z , z a
za
Z [anu(n 1)] an zn an zn (a1z)n
例2： X
(z)
(z
z3 6 1)(z2
4)
, z 2 ，求 x(n) 。
j Im z
j2
解： 极点 p1 1, p2,3 j2
X (z) z
z(z
z3 6 1)( z 2
4)
1
Re z
j2
3 1 1 1 j2 1 1 j2 1 2 z z 1 4 z j2 4 z j2
（a） n1 0 时 X (z) 收敛域：z Rx1
（b） n1 0 时 X (z) 收敛域：Rx1 z
n
j Im z
Rx1
Re z
（3）左边序列
x(n)
x(n) x(n)u(n2 n)
n2
X (z) x(n)zn n
（a） n2 0 时 X (z) 收敛域：z Rx2
[u(n)]
n0
z
n
1
1 z
1
z z 1
, z 1
••
••
-2 -1 0 1 2 n
u(n)
1
...
•• -2 -1 0 1 2 3 n
（3）Z
[nu(n)] z
d dz
z z 1
z (z 1)2
, z 1
nu(n) 2
z变换的 z域微分特性：
1
若 x(n) X (z)
•0 1 2
则 nx(n) z dX (z) dz
§8.4 逆 变z换
X (z) Z [x(n)] x(n)zn n
x(n) Z 1[ X (z)]
j Imz
C
Re z
1
X (z)zn1dz
2 j C
C是位于 X (z)收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合
积分路线。
逆 z变
换方法
围线积分法（留数法）：P433 例8-2 幂级数展开法： P434 例8-3、8-4
y(n) [0.45 (0.9)n 0.5]u(n)
（三）序列线性加权（ z 域微分）
若[nx(n)] z d X (z) dz
例：x(n) n(n ，1)求u(n) 。 X (z) 2
解：x(n) n(n 1) u(n) 1 [nu(n) n2u(n)]
x(t)
xs (t) x(t) T (t) x(nT ) (t nT )
n
0
t
X s (s) L [xs (t)]
xs (t)
[
x(nT ) (t nT )]estdt
n
x(nT )[ (t nT )estdt] n
2T 0 T
x(nT )
3T t
x(nT )esnT n
nu(n 1)
§8.5 变z换的基本性质
（一）线性
Z [ax(n) by(n)] aZ [x(n)] bZ [ y(n)]
（二）位移性
（1）双边 z变换的位移特性
若 Z [x(n)] X (z)
则 Z [x(n m)] zm X (z)
Z [x(n m)] zm X (z)
例： u(n) z z 1
例：x(n) [1, 2,3, 2,3] X (z) z2 2z 3 2 3
z z2
（b） n2 0 时 X (z) 收敛域： z
（c） n1 0 时 X (z) 收敛域： z 0
（2）右边序列
x(n)
x(n) x(n)u(n n1)
X (z) x(n)zn
n1
nn1
§8.1 引言
z变换将差分方程转化为代数方程。 z变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间
系统中的拉氏变换；
§8.2 变z 换定义、典型序列的 变z换
（一） z变换的定义
序列 x(n的) 双边 变z换:
X (z) Z [x(n)]
以x(n)为系数的 z的1 幂级数
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
解：
X (z) z
z z2 1.5z 0.5
2 1 z 1 z 0.5
X (z) 2z z z 1 z 0.5
(1) z 1
x(n) (2 0.5n )u(n)
j Im z
0 0.5 1 Re z
(2) 0.5 z 1 x(n) 2u(n 1) 0.5nu(n)
(3) z 0.5 x(n) (2 0.5n )u(n 1)
z
z e j0
, e j0nu(n)
z
z e j0
, z 1
Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[sin(0n)u(n)]
z sin 0 z2 2z cos0 1
, z 1
cos( n)u(n)
cos
2
n
u(n)
z2
1
z2 1 , z 1
例：
y(n) 0.9 y(1) 1
y(n
1)
0.05u(n)
，求 y(n) 。
解：对差分方程两边同时取单边 z 变换，得
Y (z) 0.9[z1Y (z) y(1)] 0.05z z 1
Y (z) 0.05z2 0.9 y(1)z 0.45z 0.5z (z 1)(z 0.9) z 0.9 z 0.9 z 1
Rx2
n2 n
j Im z
（b） n2 0 时 X (z) 收敛域：0 z Rx2
Re z j Im z
Rx2
Re z
（4）双边序列
X (z) x(n)zn
n
1
x(n)zn x(n)zn
n
n0
z Rx2
z Rx1
若 Rx2 Rx1, X (z) 收敛域：Rx1 z Rx2
n
z1
X (z)的极点全部在单位圆内，允许在 z 处1有一阶极点。
（七）时域卷积定理
Z [x(n) h(n)] X (z)H (z)
（八）序列反褶
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
则
Z [x(n)] X (1) z
, Rx1
1 z
Rx2
Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
anu(n) 1
（4）Z [anu(n)] an zn
az 1 n
n0
n0
1 z 1 az1 z a
,z a
0 1234
3
...
3n
5n
（5）Z
[cos(0n)u(n)]
1z 2 [ z e j0
z z e j0
]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
e j0nu(n)
2
22
2
常用 z 变换对：
X (z)
z
za z2 (z a)2 z (z a)2 z
z 1 z
(z 1)2
z a ,右序列 anu(n) (n 1)anu(n) nan1u(n)
z a ,左序列 anu(n 1) (n 1)anu(n 1) nan1u(n 1)
u(n)
u(n 1)
nu(n)
若 Z [x(n)u(n)] X (z) 则 Z [x(n 1)u(n)] z1X (z) x(1)
Z [x(n 1)u(n)] zX (z) zx(0)
Z [x(n 2)u(n)] z2 X (z) x(2) z1x(1)
Z [x(n 2)u(n)] z2 X (z) z2x(0) zx(1)
n1
n 1
n1
a1z 1 a1z
z za
,z a
x(n) X (z) ,收敛域 下面讨论各种类型序列的 z变换的收敛域。
（1）有限长序列
序列仅在有限的区间 (n1 n具 有n2非) 零的有限值
n2
X (z) x(n)zn
x(n)
nn1
（a） n1 0, n2 0 时
n1
n2 n
X (z) 收敛域：0 z
若 Rx2 Rx1, X (z) 不收敛。
x(n)
0
n
j Im z
Rx2
Rx1
Re z
例： x(n) anu(n) bnu(n 1)
求 X (z)并确定收敛域，其中 (b a 0) 。
j Im z
解：X (z) Z [x(n)]
Z [anu(n)] Z [bnu(n 1)] z z ,a z b