湖北省黄冈市黄梅县第二中学2017届高三上学期期中考试

黄梅二中2017年秋季高三年级期中考试
理科数学试题
一、选择题
1．已知全集U=R ，集合A={x|x ≥﹣1}，集合B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A ∩（∁U B ）=（ ） A ．[﹣1，2） B ．[﹣1，2] C ．[2，+∞）
D ．[﹣1，+∞）
2 .已知31
sin()23
πα+
=，则cos 2α= ( ) A ．79- B ．79 C ． 1
3
-
D ．1
3
3．设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是 ( ) A ． 若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C ．若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ 4等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3
30
4S xdx =⎰
，则公比q 的值为 ( )
A.1
B.12
-
C.1或12
-
D.1-或12
-
5、下列四个命题中真命题的个数是（ ） ①2lg y x =与2lg y x =是同一函数
②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >” ③函数21
1
y x =
+的值域是(],1-∞ ④命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题
A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})
(1
{
n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 ( )
A.
2013
2012
B.
20142013 C. 2015
2014
D.
2016
2015
7、将函数()cos2f x x =的图象向右平移
4
π
个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质
（ ）
A ．最大值为1，图象关于直线2
x π
=对称
B ．在0,4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，为奇函数
C ．在3,88ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B ．
C ．24﹣π
D ．24+π
9.已知数列{}n a 的通项公式是221
sin(
)2
n n a n π+=, 1232014a a a a ++++=则( )
A ．
20132013
2
⨯ B ．20131007⨯
C ．20141007⨯
D ．20151007⨯
10.已知函数()21
sin 21
x x
f x x x -=+++，若正实数a 、b 满足()()490f a f b +-=，则11
a b
+的最小值为（ ） A.1 B.4．5 C.9 D.18 11.对二次函数()2f x ax bx c =++ （ a 为非零整数）四位同学分别给出下列结论其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A.—1是f （x ）的零点 B.1是f （x ）的极值点
C.3是f （x ）的极值
D.点（2，8）在曲线 y=f （x ）上 12.定义在R 上的函数)(x f 满足：x e x x f x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)
()(x f x f '的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
1
C ．1 D.2 二、填空题
13.设复数z 的共轭复数为z ，若i z -=1（i 为虚数单位），则
2z z
z
+的虚部为__________ 14.设实数x,y 满足约束条件3602000
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值
为10，则22a b + 的最小值为
15.设{}n a {}n b 都是正项等比数列，n S 、n T 分别为数列{}lg n a 与{}
lg n b 的前n 项和,且
21
n n S n T n =
+，则55log a
b = 16
定义域为R 的函数()()()1
1111x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程()()()2215
28
h x f x bf x b =++-⎡⎤⎣⎦有五个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，设12345x x x x x <<<<且1x ，2x ，3x ，4x ，5x 构成一个等差数列的前五项，则该数
列的前10项和为 三、解答题
17.（本小题满分12
(1)当x f(x)的最小值和最大值. (2)设△ABC 的内角A,B,C 的对应边分别为
a,b,c ，且，若向量m=(1,sin
A)与向量n=(2,sin B)共线，求a,b 的值．
18．（本小题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，
AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，
AB AF BC ==（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由
19. （本小题满分12分）设数列{}n a 满足*132(2,)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =，
3log (1)n n b a =+.
（1）证明：数列{1}n a +为等比数列； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；
（3）设13n
n n n c a a +=，证明：1
14n
i i c =<∑.
20.（本小题满分12分）
如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB=y 千米,并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在公路GH 上）若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1且60ABC ∠=︒
（1）求y 关于x 的函数解析式
（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问取x 何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？ 21.（本小题满分12分）） 已知函数f （x ）=lnx （x ＞0）． （Ⅰ）求证：f （x ）≥1
﹣；
（Ⅱ）设g （x ）=x 2f （x ），且关于x 的方程x 2f （x ）=m 有两个不等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）．
（i ）求实数m 的取值范围； （ii ）求证：x 1x 22
＜．
（参考数据：e=2.718，
≈0.960，
≈1.124，
≈0.769，ln2≈
0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度
单位．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐
标方程为2sin 4cos ρθθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当α变化时，求AB 的最小值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()121f x m x x =---+． （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若二次函数223y x x =++与函数
()
y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值
范围．黄梅二中
2017年秋季高三年级期中考试
理科数学答案
1B 2A 3D 4C 5C 6C 7B 8A 9D 10A 11A 12D 13 -1 14
15
16 35
17.（1）f(x)=sin(2x-)-1.
则f(x)的最小值是最大值是0．
（2）f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,
∵0<C<π,∴0<2C<2π, ∴-<2C-<, ∴2C- =,C=,
∵向量m =(1,sin A)与向量n =(2,sin B)共线,
由正弦定理得 ① 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos ，
即a2+b2-ab=3 ②由①②,解得a=1,b=2．
18.解：（Ⅰ）取中点，连接，…………… 1分
又，所以. 因为，所以,
四边形是平行四边形，…………… 2分
所以因为平面，平面
所以平面. ……………4分
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，
且，所以平面，所以，……………5分因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 则，……………6分
是平面的一个法向量.
设平面的法向量，则，即
令，则，所以, 所以，…8分故二面角的正弦值为。

……9分.
（Ⅲ）因为，所以与不垂直, ……………11分所以不存在点满足平面. ……………12分
19（1）略2)
3）所以，
20. （1），，由得
即
又所以
（2）
设
当且仅当时等号成立此时造价最低
21解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣1+=lnx﹣1+，（x＞0）． h′（x）=
=，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，
h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥1﹣成
立；
（Ⅱ）g（x）=x2f（x）=x2lnx，（x＞0）
（i）g′（x）=x（2lnx+1），令g′（x）=0，得x=．
x）时，g′（x）＜0，x时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，）递减，在（递增，
g（x）min=g（）=﹣，且x→0，时g（x）→0，g（1）=0． g（x）的图象如右：要使关于x的方程x2f（x）=m有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2）．
实数m的取值范围为：（﹣，0）．
（ii）证明：由（i）方程f（x）=m（m＜﹣2）的两个相异实根x1，x2，满足 0＜x1＜
＜x2＜1，
令F（x）=x2lnx﹣m，则有F（x1）═f（x2）
构造函数G（x）=F（x）﹣F（）=x2lnx﹣，（＜x＜1），
G′（x）＞0，且G（）＞0，∴在＜x＜1时恒成立，
则有F（x1）=F（x2），且x1，∈（0，）
由（i）知F（x）在（0，）递减，∴，∴x1x22＜．
22.解：（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为． 5分
（2）将直线的参数方程代入，得，
设两点对应的参数分别为，则，
∴，当时，
的最小值为4．．10分
23.解：（1）当时，，．．3分
由易得不等式的解集为；．．．5分
（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，
因为在处取得最大值，．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，
只需，即．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。