统计学02-第三讲 两个总体参数的区间估计_24

2 p
(n1
1)s12
(n2
1)s
2 2
n1 n2 2
3. 估计量x1-x2的抽样标准差
s
2 p
s
2 p
n1 n2
sp
11 n1 n2
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1222 )
1. 两个样本均值之差的标准化
t
( x1
x2 ) 1
s p n1
(1
1 n2
2 )
~
t (n1
n2
2)
2. 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的
x1
32.5
s12
15.996 x2
27.875
s
2 2
23.014
自由度为
15.996
23.014
2
v 12
8
13.188 13
15.996 122 23.014 82
12 1
8 1
(32.5 27.875) 2.1604 15.996 23.014 4.625 4.433
女学生： x2 480
s
2 2
280
试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方 差比的置信区间
两个总体方差比的区间估计 (例题分析)
解 : 根 据 自 由 度 n1=25-1=24 ， n2=25-1=24 ， 查 得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505
12 /22置信度为90%的置信区间为
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置
信区间为
x1 x2 t 2 (v)
s12
s
2 2
n1 n2
自由度 v
s12 n1
s
2 2
n2
2
s12
2 n1
s
2 2
2 n2
n1 1
n2 1
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方 法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假 定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%
两个总体均值之差的估计
(小样本:
12
2 2
)
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布
两个总体方差未知且不相等：1２2２
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2. 使用统计量
t (x1 x2 ) (1 2 ) ~ t(v)
s12 s22 n1 n2
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1222 )
置信水平下的置信区间为
(x1 x2 ) z 2
s12
s
2 2
n1 n2
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
【例】某地区教育管理 部门想估计两所中学的 学生高考时的英语平均 分数之差，为此在两所 中学独立抽取两个随机 样本，有关数据如右表 。建立两所中学高考英 语平均分数之差95%的 置信区间
两个样本的有关数据
两个总体参数的区间估计
总体参数 均值差 比例差 方差比
符号表示
1 2 1 2
2 1
2 2
样本统计量 x1 x2 p1 p2 s12 s22
两个总体均值之差的区间估计
(独立大样本)
两个总体均值之差的估计
(大样本)
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布，1２、 2２已知
若不是正态分布, 可以用正态分布来近似 (n130和n230)
两个样本是独立的随机样本
2. 使用正态分布统计量 z
z (x1 x2 ) (1 2 ) ~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
两个总体均值之差的估计
(大样本)
1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-
置信水平下的置信区间为
(x1 x2 ) z 2
2 1
2 2
n1 n2
2. 1２、 2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-
置信区间为
x1 x2 t 2 n1 n2 2
s
2 p
1 n1
1 n2
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同 的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的 时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态 分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所 需平均时间差值的置信区间
1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度为95%的置信区间为
45% 32% 1.96 45% (1 45%) 32% (1 32%)
500
400
13% 6.32% 6.68% , 19.32%
城市与农村收视率差值的置信区间为 6.68%~19.32%
两个总体方差比的区间估计
的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间
两个方法组装产品所需的时间
方法1
方法2
28.3
36.0
27.6
31.7
30.1
37.2
22.2
26.5
29.0
38.5
31.0
37.6
34.4
33.8
32.1
28.0
20.0
28.8
30.0
30.2
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解: 根据样本数据计算得
74
49
51
68
55
76
60
85
77
55
39
差值d 7 19 11 5 17 -2 13 16 8 16
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解: 根据样本数据计算得
n
d
di
i 1
110
11
nd
10
n
(di d )2
sd
i1
nd 1
6.53
d
t
2 (n 1)
sd n
11 2.2622 6.53 10
(例题分析)
【 例 】 由 10 名 学生组成一个 随机样本，让 他们分别采用A 和B两套试卷进 行测试，结果 如下表 。试建
立两种试卷分
数之差d=1-2
95% 的 置 信 区 间
学生编号 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10
10名学生两套试卷的得分
试卷A
试卷B
78
71
63
44
72
61
89
84
91
平下的置信区间为
d
z
2
d
n
对应差值的均值
对应差值的标准差
两个总体均值之差的估计
(匹配小样本)
1. 假定条件
两个匹配的小样本(n1< 30和n2 < 30)
两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2. 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水
平下的置信区间为
d
t
2 (n
1)
sd n
两个总体均值之差的估计
12
8
两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为
0.192min~9.058mni
两个总体均值之差的区间估计
(匹配样本)
两个总体均值之差的估计
(匹配大样本)
1. 假定条件
两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)
两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2. 两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水
11 4.67
两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分
~15.67分
两个总体比例之差区间的估计
两个总体比例之差的区间估计
1. 假定条件
两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似 两个样本是独立的
2. 两个总体比例之差1- 2在1- 置信水平下
的置信区间为
p1 p2 z 2
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为 5.03分~10.97分
两个总体均值之差的区间估计
(独立小样本)
两个总体均值之差的估计
(小样本:
12
2 2
)
1. 假定条件
两个总体都服从正态分布
两个总体方差未知但相等：1２=2２
两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2. 总体方差的合并估计量
s
260
280
2 1
260
280
1.98
2 2
0.505
男女学生生活费支出方差比的置信区间为 0.47~1.84
两个总体参数的区间估计
(小结)
待估参数
均值差
比例差
方差比
独立大样本
独立小样本 匹配样本 独立大样本
F分布
12、22已
正态总体
t分布
Z分布
Z分布
12、22已知
12、22未知
12、22未
Z分布
F
1 2 (n2 , n1 )
两个总体方差比的区间估计 (图示)
总体方差比的 1的置信区间
F1 2
F 2
F
方差比置信区间示意图
两个总体方差比的区间估计 (例题分析)
【例】为了研究男女学生在生活费支出(单位： 元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生 和25名女学生，得到下面的结果
男学生： x1 520 s12 260
两个方法组装产品所需的时间
方法1
方法2
28.3
36.0
27.6
31.7
30.1
37.2
22.2
26.0
29.0
38.5
31.0
32.0
37.6
34.4
33.8
31.2
32.1
28.0
20.0
33.4
28.8
30.0
30.2
26.5
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解: 根据样本数据计算得
x1 32.5 s12 15.996 x2 28.8
中学1
中学2
n1=46
n1=33
x1 86
S1=5.8
x2 78
S2=7.2
两个总体均值之差的估计
(例题分析)
解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为
(x1 x2 ) z 2
s12
s
2 2
n1 n2
(86 78) 1.96 5.82 7.22 46 33
8 2.97 (5.03,10.97)
12=22
12≠22
Z分布
t分布
t分布
两个总体方差比的区间估计
1. 比较两个总体的方差比
2. 用两个样本的方差比来判断
如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近 如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异
3. 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为
s12
s 22ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
s12
s
2 2
F 2
2 2
F1 2
F1
2 (n1, n2 )
s
2 2
19.358
合并估计量为
s
2 p
(12 1) 15.996 (12 1) 19.358 12 12 2
17.677
(32.5 28.8) 2.0739 17.677 1 1 3.7 3.56 12 12
两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为
0.14min~7.26min
n1
n2
两个总体比例之差的估计
(例题分析)
【例】在某个电视节目的收
视率调查中，农村随机调查
了400人， 有32%的 人收 看
1
了该节目；城市随机调查了
500人 ，有45%的人 收 看了
该节目。试以95%的置信水
平估计城市与农村收视率差
别的置信区间
2
两个总体比例之差的估计
(例题分析)
解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%，