山西省太原市2023_2024学年高二上册期中学业诊断数学试题(附答案)
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5
,
则 MN MF1 的取值范围为( )
A. 30, 4 6
B. 30, 6 6
C. 4 6, 6 6 D. 6 6,9 6
二、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 3 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分)
所以直线与圆相交,
故选:A
7.D
【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法求得正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系,
D1 0, 0, 2, E 0, 2,1, A2, 0, 0, D1E 0, 2, 1, D1A 2, 0, 2,
所以点 A 到直线 D1E 的距离为
D1 A
2
D1ED 1A
圆 C2 : x2 y2 4x 4 y F 0 即 x 22 y 22 8 F ,
8 F 0
根据对称性可知
8 F 2 ,解得 F 4 ,所以 A 选项错误.
此时 C2 : x 22 y 22 4 ,圆心为 C2 2, 2,半径 r2 2 .
r1 r2 0, r1 r2 4 ,
(1)求直线 DE 的一般式方程; (2)求边 AB 的垂直平分线的斜截式方程. 18.如图,四面体 OABC 各棱的棱长都是 1, D 是 AB 的中点, E 是 CD 的中点,记 OA a,OB b,OC c .
(1)用向量 a,b, c 表示向量 OE ;
(2)利用向量法证明: OE AB .
23 (2)若平面 AB1C1 与平面 ABC 夹角的余弦值为 5 ,求直线 DE 与平面 AB1C1 所成角的正弦值.
1.C 【分析】根据直线的斜率求得倾斜角.
【详解】直线 y 3x 的斜率为 3 , 所以直线的倾斜角为分析】根据椭圆的标准方程求得 c ,从而确定正确答案.
在椭圆中,求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值,可以考虑通过椭圆的定义进 行转化,然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中,要画出对应的图象,结合图象来进行 求解. 9.BD 【分析】根据对称性求得 F ,然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析,从而确定正确答 案.
【详解】圆 C1 : x2 y2 4 的圆心为 C1 0, 0,半径 r1 2 ,
5
30 ,
所以 MN MF1 NF1 30 ,当 M 位于线段 NF1 与椭圆交点 M 2 处时等号成立.
根据椭圆的定义可知 MN MF1 MN 2a MF2 6 MN MF2 ,
如图所示,设 NF2 的延长线与椭圆相交于 M1 ,
则当 M 位于 M1 时, 6 MN MF2 取得最大值为 6 NF2 6 6 , 综上所述, MN MF1 的取值范围为 30, 6 6 . 故选:B
19.已知圆
M
的圆心在
x
轴上,且经过
A0,1和
B
3,
2 两点.
(1)求圆 M 的一般方程;
(2)求圆 M 与圆 x2 y2 4 y 3 0 的公共弦的长.
C : x2 y2 20.已知椭圆 a2 b2
1a b 0
的离心率是
3
2 ,且经过点 A0,1.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若过点 P 2,1的直线 l 与椭圆 C 相交于两个不同的点 B,C ,直线 AB, AC 分别与 x 轴相交于
:
x2 4
y2 5
1 的两个焦点,点 P
在C
上,则下列说法正确的是
()
A. PF1 的最小值为 5 1 C.△PF1F2 面积的最大值为 5
e 1 B.椭圆 C 的离心率 2
4 D. tan F1PF2 的最大值为 3
11.已知直线 l1 : x y 0,l2 : 2x 3y 6 0 ,则下列说法正确的是( )
所以直线
l2
关于原点
O
对称的直线方程为
y
2
0
2
03x
0,
2x
3y
6
0
,
所以 C 选项正确.
点 3, 0关于直线 x y 0 的对称点是 0, 3;
点 0, 2关于直线 x y 0 的对称点是 2, 0,
所以直线
l2
关于直线
l1
对称的直线方程为
点 M , N ,证明:线段 MN 的中点为定点.
21.如图,在几何体 ABCC1B1 中,△ABC 是边长为 2 的正三角形,D,E 分别是 AC1 , CB1 的中 点, BB1 //CC1 , CC1 平面 ABC, CC1 2 .
(1)若 BB1 1 ,求证: CD 平面 AB1C1 ;
1 cos2 4 5,
4
5 4 33
所以此时 tan 也取得最大值,且 tan 的最大值为 5 ,所以 D 选项正确.
故选:AD
11.AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标,结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析,
从而确定正确答案.
【详解】由
x y 0
2x
3y
6
0
解得
x
6 5
,
y
6 5
山西省太原市 2023_2024 学年高二上册期中学业诊断数学试卷
说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间 90 分钟,满分 100 分. 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)
1.直线 y 3x 的倾斜角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
x2 y2 1
2.椭圆 3
的焦点坐标为( )
2,0
A.
0, 2
B.
C. 2, 0
D. 0, 2
3.圆 x2 y2 4x 2 y 0 的圆心坐标为( )
A. 4, 2
B. 4, 2
C. 2,1
4.已知
a
1,
1,
2,
b
1,
m,
2,且
a
b
,则实数
m
(
)
A. 5
B.5
A1,
A2
,动点
P
在
C
上(异于点
A2 ),点
Q
是
弦 A2P 的中点,则 tan QA1A2 的最大值为
.
四、解答题(本题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知 ABC 的三个顶点 A2, 0, B 2, 2,C 0, 2, D, E 分别是 AB, BC 的中点.
2
D1E
8
2 2 5
6 5 5
.
故选:D
8.B
【分析】根据椭圆的定义转化 MN MF1 ,结合三点共线来求得 MN MF1 的取值范围.
【详解】依题意, a 3,b
5, c 2 , F1 2, 0, F2 2, 0, N 3,
5 ,
2
2
NF2 12
5
6 , NF1 52
1
A. PQ 的最小值为 2
5 B. PQ 的最大值为 2
25 C.过 Q 作圆 O 的切线,切点分别为 M , N ,则 MN 的最小值为 3 D.过 P 作直线 l ,使得直线 l 与直线 l 的夹角为 30 ,设直线 l 与直线 l 的交点为T ,则
PT 的最大值为 5
三、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)
x2 y2 1
【详解】椭圆 3
的焦点在 x 轴上,
a2 3, b2 1, c a2 b2 2 ,
2,0
所以焦点坐标为
.
故选:A
3.D
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程,从而求得圆心坐标.
【详解】圆 x2 y2 4x 2 y 0 可化为 x 22 y 12 5 ,
所以圆心坐标为(2, - 1).
C. 1
D.(2, - 1)
D.1
5.直线 x y 0 与直线 x y 2 0 之间的距离是( )
2 A. 2
B.1
C. 2
D.2
6.已知直线 l : (1 )x y 0( R) ,圆 C : x2 y2 4 ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是
()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
7.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2, E 是 CC1 的中点,则点 A 到直线 D1E 的距离为
()
2 A. 2
30 B. 2
25
C. 5
65 D. 5
x2
C: 8.已知椭圆 9
y2 5
1 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,点 M 在 C 上,点 N 的坐标为
3,
10.AD
【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识
对选项进行分析,从而确定正确答案.
C: 【详解】椭圆
x2 4
y2 5
1,a
5,b 2, c 1, 2a 2 5, F1F2 2c 2 ,
F1 0, 1设 P x, y, 5 y
5 ,则
x2 4
由于 C1C2 22 22 2 2 0, 4,所以两圆相交,B 选项正确.
直线 C1C2
的方程
y
2 2
x
x,
x
y
0
,所以
C
选项错误.
线段 C1C2 中点坐标为 1,1,直线 C1C2 斜率为 1 ,
所以直线 l 的方程为 y 1 1 x 1, x y 2 0 ,所以 D 选项正确.
故选:BD
,所以交点坐标为
6 5
,
6 5
,A
选项正确.
直线 l2 : 2x 3y 6 0 与 x 轴的交点为 3, 0,与 y 轴的交点为 0, 2,
直线 l1
过原点,由图可知,直线 l1、l2
和
x
轴围成的三角形的面积为
1 2
3
6 5
9 5
,
所以 B 选项错误.
由上述分析可知,直线 l2 关于原点 O 对称的直线过点 3, 0,0, 2,
e c 1 5 椭圆的离心率 a 5 5 ,所以 B 选项错误.
由于 F1F2 2 为定值,所以当 P 位于椭圆的左右顶点时,
三角形
PF1F2
的面积取得最大值为
1 2
2
2
2
,所以
C
选项错误.
cos PF1 2 PF2 2 F1F2 2 PF1 PF2 2 4 2 PF1 PF2
故选:D
4.A
【分析】根据向量垂直列方程,化简求得 m 的值.
【详解】由于 a b ,所以 a b 1 m 4 0, m 5 .
故选:A
5.C
【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意,直线 x y 0 与直线 x y 2 0 之间的距离是: 20 2
12 12
9.已知圆 C1 : x2 y2 4 与圆 C2 : x2 y2 4x 4 y F 0 关于直线 l 对称,则下列说法正确的
是( )
A. F 8
B.圆 C1 与圆 C2 相交
C.直线 C1C2 的方程为 x y 0
D.直线 l 的方程为 x y 2 0
10.已知点 F1, F2 分别是椭圆 C
A.直线
l1
与
l2
相交于点
6 5
,
6 5
6 B.直线 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的面积为 5
C.直线 l2 关于原点 O 对称的直线方程为 2x 3y 6 0
D.直线 l2 关于直线 l1 对称的直线方程为 3x 2 y 6 0
12.已知点 P 在圆 C : x2 y2 1上,点 Q 在 l : 3x y 3 0 上,则下列说法正确的是( )
y2 5
1, x2
20 4 y2 5
,
PF1 则
x2 y 12
20 4 y2 y2 2 y 1 5
1 y2 2y 5
5
,
函数
f
y
1 5
y2
2y
5
在
5,
5 上单调递增,
所以当 y 5 时, PF1 取得最小值
1
2
5 2
55
5
62 5
2
5 1 5 1 ,
所以 A 选项正确.
设 F1PF2 ,
2 PF1 PF2
2 PF1 PF2
2a2 4 2 PF1 PF2
2 PF1 PF2
8 PF1 PF2
1
8 PF1 PF2
2
2
8 1 3 55 ,
3 当且仅当 PF1 PF2 5 时等号成立,即 cos 的最小值为 5 ,
当 cos 取得最小值时, 取得最大值,此时 为锐角, sin
. 故选:C 6.A
【分析】求出直线所过定点,再根据点与圆的位置关系判断即可.
【详解】已知直线 l : (1 )x y 0( R) ,变形为 x y x 1 0 ,
由
x x
y0 1 0
x y
1 1,即直线恒过定点
(1,
-
1)
,
代入圆的方程的左端有12 12 2 4 ,即点在圆内,
13.直线 x y 1 0 在 x 轴上的截距为
.
14.已知
a
1,
0,1,
b
1,1,
0,则向量
a
与
b
的夹角为
.
15.已知点 M 是直线 x 4 上的动点,点 N 在线段 OM 上( O 是坐标原点),且满足
OM ON 16 ,则动点 N 的轨迹方程为
.
C 16.已知椭圆
:
x2 4
y2
1 的左,右顶点分别为