陕西省咸阳市2018届高三模拟考试(三模)数学(文)试卷(含答案)

2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}2,3
C ．{}1,2
D ．{}2,3,4
2.复数2
1z i
=
-+，则（ ） A ．z 的虚部为1-
B ．z 的实部为1
C ．||2z =
D ．z 的共轭复数为1i +
3.在区间,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上随机选取一个实数x ，则事件“sin 0x ≥”发生的概率为（ ） A ．1
B ．
12
C ．
13
D ．
112
4.已知双曲线C 的方程为
22
149
y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上
B ．虚轴长为4
C ．渐近线方程为230x y ±=
D ．离心率为
133
5.执行如图所示的程序框图，如果输入的6a =，4b =，5c =，那么输出的值为（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，
3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（ ）
A ．9
B ．6
C ．3
D ．1
7.已知x ，y 满足约束条件220,220,1,x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．7
B ．7-
C ．2
D ．1
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ） A ．三分鹿之一
B ．三分鹿之二
C ．一鹿
D ．一鹿、三分鹿之一
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．168π-
B ．648π-
C ．644π-
D ．164π-
10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()23sin(
)
84x f x ππ
=+ B ．3()23sin()84x f x ππ
=+
C ．()23sin()
84x f x ππ
=- D ．3()23sin()84
x f x ππ
=-
11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．13π
B ．20π
C ．25π
D ．29π
12.已知函数22,2,()2,2,x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为
（ ） A ．2
8(,
)e -∞ B ．2
8
(
,4]e C ．2
8(0,
)e D ．2
8
(,
)[4,)e -∞+∞U 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量(1,2)a =-r ，(,2)b m =r
，若2a b ⋅=r r ，则m = ．
14.已知数列{}n a 为等比数列，且2
311724a a a π+=，则113tan()a a 的值为 ．
15.设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4
π
的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||4AB =，则该抛物线的方程为 ．
16.已知三次函数3
2
()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则
'(0)
'(1)
f f = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b A ++=，5b =． （1）求角B ； （2）若ABC ∆153
，求ABC ∆的周长． 18.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，且PA AB ⊥，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，22AB AD DC ===，M 为PB 的中点.
CM平面PAD；
（1）求证：//
-的体积．
（2）求三棱锥P ACM
19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频数分布直方图．
0,6内）：
高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[]
学习时间[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[]
5,6频数 3 1 8 4 2 2
高二学生学习时间的频率分布直方图：
（1）求高二学生学习时间在(3,5]内的人数；
（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中恰有1人被抽中的概率；
（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本
研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>经过点，离心率为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作两条直线1l ，2l ，直线1l 交椭圆于A ，C ，直线2l 交椭圆于B ，D ，且
2222||||||||24AB BC CD DA +++=，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，求证：2212k k 为定值．
21.已知函数2
()2ln ()f x x ax a R =-∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 的图象始终在函数3
()2g x x =图象的下方，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,
sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数）．
（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；
（2）直线l ：y x =与曲线1C 交于A ，B 两点，P 是曲线2C 上的动点，求PAB ∆的面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲
（1）已知a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，求证：22221a b a b +>+． （2）若关于x 的不等式|1|2|2|x x m -+-≤有解，求实数m 的取值范围．
2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）文科数学答案
一、选择题
1-5:CABCC 6-10:BAACD 11、12：DC
二、填空题
13.6 15.2
2y x = 16.1
三、解答题
17.解：（1）∵(2)cos cos 0a c B b A ++=，由正弦定理可得：
sin cos 2sin cos sin cos 0A B C B B A ++=，
即1cos 2B =-
，又(0,)B π∈，则2
3
B π=．
（2）由ABC ∆，∴1sin 2ac B =，则15ac =，由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-2()22cos a c ac ac B =+--，得a c +=
则周长5a b c ++=．
18.（1）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，DN . 由于M ，N 分别为PB ，PA 的中点，由题意知//MN 1
//2
AB CD ， 则四边形CMND 为平行四边形，所以//CM DN ， 又CM ⊄平面PAD ，DN ⊂平面PAD ， 所以//CM 平面PAD ．
（2）解：由（1）知//CM DN ，PAD ∆是等边三角形，所以DN PA ⊥，
因为AB AD ⊥，且PA AB ⊥，且AD PA A =I ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 又因为DN ⊂平面PAD ， 所以DN AB ⊥，
又因为AB AP A =I ，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则DN ⊥平面ABP ，即CM ⊥平面
ABP ，CM 为三棱锥C APM -的高，
3CM DN ==111
221222
PAM PAB S S ∆∆=
=⨯⨯⨯=， 13
3P ACM C PAM PAM V V S CM --∆==⨯=．
19.解：（1）高二学生学习时间在(3,5]内的人数为20(0.250.3)11⨯+=（人）．
（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人．
设从高一学生学习时间在[2,3)上抽的4人分别为A ，B ，C ，D ，在[3,4)上抽的2人分别为a ，b ，
则在6人中任抽2人的所有情况有：(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A a ，(,)A b ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C D ，(,)C a ，(,)C b ，(,)D a ，(,)D b ，(,)a b 共计15种，
其中[3,4)这一组中恰有1人被抽中的情况包含(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，
(,)D a ，(,)D b 共计8种，因此这一组中恰有1被抽中的概率为
15
8
． （3）
年级
学习投入时间较多
学习投入时间较少 合计
2
2
40(411169) 2.849 6.63520201327
K ⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯，
所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．
20.解：（1）2c e a =
=，又222a b c =+，将点代入椭圆M 方程2221
1a b
+=得到2a =，b =c =M 的方程为22
142
x y +=．
（2）由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y --，22(,)D x y --，
由22142x y +=，得22
22
x y =-， 222222||||||||2(||||)
AB BC CD DA AB DA +++=+2222
121212122()()()()x x y y x x y y ⎡⎤=-+-++++⎣⎦
222212124()x x y y =+++222
2
121
24(22)2422
x x x x =+-++-=，
所以22
124x x +=，
222222
1222
1212221212
22
2222
12
12121(2)(2)4()12244
x x x x x x y y k k x x x x x x ---++====， 故22
12k k 为定值
14
． 21.解：（1）当1a =时，2
()2ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞．
2'()2f x x x =
-2(1)(1)
x x x
-+=
，令'()0f x =，则1x =，
∵(0,1)x ∈时，'()0f x >；(1,)x ∈+∞时，'()0f x <， ∴1x =时，()(1)1f x f ==-极大值；无极小值．
（2）令3
2
()()()22ln F x g x f x x x ax =-=-+，由题意，函数()f x 的图象始终在函数3
()2g x x =图象的下方，等价于()0F x >在(0,)+∞恒成立，即3222ln 0x ax x +->恒成立，得到
max 2
2ln (
2)x
a x x >-((0,))x ∈+∞． 令2
2ln ()2x
h x x x
=-（0x >），33324ln 224ln '()2x x x h x x x ---=-=， 显然'(1)0h =，又函数3
224ln y x x =--在(0,)+∞上单调递减； 所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >；(1,)x ∈+∞时，'()0h x <， 则()(1)2h x h ≤=-，因此2a >-， 所以(2,)a ∈-+∞．
22.解：（1）因为曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，则直角坐标方程为2
2
1x y +=；
曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则普通方程为2
214x y +=． （2）由题意知||2AB =，设(2cos ,sin )P ϕϕ，
点P 到直线y x =
，
所以11||2|sin()|
2222PAB S AB d ϕθ∆=
⨯=⨯=+≤
． 23.（1）证明：∵22
2
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)(1)(1)a b a b a b b b a +--=-+-=--，
又a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，∴210a -<，2
10b -<，
∴22
(1)(1)0b a -->，即2222
1a b a b +>+．
（2）解：|1|2|2|x x m -+-≤有解等价于min (|1|2|2|)m x x ≥-+-，
53,1,|1|2|2|3,12,35,2,x x x x x x x x -<⎧⎪
-+-=-≤<⎨⎪-≥⎩
由单调性知:|1|2|2|1x x -+-≥，
所以1m ≥．。