2023年高考数学复习----件概率、全概率公式、贝叶斯公式典型例题讲解

2023年高考数学复习----件概率、全概率公式、贝叶斯公式典型例题讲解
【典型例题】
例1、（2022·全国·高三校联考阶段练习）2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则：
（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级．教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望．
【解析】（1）设1A =“甲担任前锋”；2A =“甲担任中锋”；3A =“甲担任后卫”；B =“某场比赛中该球队获胜”； 则()1200.2100P A =
=，()2300.3100P A ==，()3500.5100P A ==，()114
|0.720P B A ==，()221|0.730P B A =
=，()340
|0.850
P B A ==， 由全概率公式可得：()()()()()()()
112233|||P A P B A A P B A A P B A B P P P =++0.20.70.30.70.50.80.75=⨯+⨯+⨯=．
所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是0.75．
（2）设i C =“5场中有i 场获胜”()3,4,5i =，D =“甲所在球队顺利晋级”，
()3
2
335
31270C 441024P C D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4
1
44531405C 441024P C D ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()5
5553243C 41024P C D ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，则()918
1024
P D =
，
()()()()
332705
3|91817
P C D P X P C D P D ===
=
=， 同理可得()()()()
4440515
4|91834
P C D P X P C D P D ===
=
=， ()()()()
552439
5|91834
P C D P X P C D P D ===
=
=， 则X 的分布列为：
()515913534517343434
E X =⨯
+⨯+⨯= 例2、（2022·全国·高三专题练习）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【解析】（1）设使用甲厂生产的配件M 的比例为a ，则使用乙厂生产的配件M 的比例为0．8-a ， 由已知可得()6000.88005000.2640a a +−+⨯=，解得a ＝0．5．
所以需要从甲厂订购配件M 的数量为10⨯0．5＝5万个； 从乙厂订购配件M 的数量为()100.80.5⨯−＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的比例分别为0．5，0．3，0．2， 所以该汽车厂使用的配件M 的次品率的估计值为
0.50.040.30.020.20.010.028⨯+⨯+⨯=，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率为0．028．
（3）设A ＝“该轿车使用了次品配件M ”，1B =“配件M 来自甲厂”，2B =“配件M 来
自乙厂”，3B =“配件M 来自本厂”．由（2）可知()0.028
P A ＝ ．
该次品配件M 来自甲厂的概率为：()()()
()()()
11110.50.045
0.0287P B P A B P AB P B A P A P A ⨯=
=
=
= ，
该次品配件M 来自乙厂的概率为：()()()
()()()
22220.30.023
0.02814
P B P A B P AB P B A P A P A ⨯==
=
= ，
该次品配件M 来自本厂的概率为：()()()
()()()
33330.20.011
0.02814
P B P A B P AB P B A P A P A ⨯==
=
= ，
所以甲厂应承担的费用为51400010000
7
⨯=元，
乙厂应承担的费用为3140003000
14
⨯=元，
本厂应承担的费用为1140001000
14
⨯
=元．
例3、
（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设X 为这78名密切接触者中被感染的人数，求X 的数学期望；
（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个
密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）． 【解析】（1）X 为这78名密切接触者中被感染的人数， X 可取0，1，2，L ，78，()78,9%X
B ，
所以()789%7.02E X =⨯=．
（2）设事件A 为“核酸检测结果为阳性”，事件B 为“密切接触者被感染”， 由题意()0.09P B =，()|0.98P A B =，()|0.01P A B =，所以
()()()()()()()()||P A P AB AB P AB P AB P B P A B P B P A B ==+=+
0.090.980.910.010.0973=⨯+⨯=，
()()()()()()|0.090.98
|0.9060.0973
P AB P B P A B P B A P A P A ⨯=
==≈， 王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为0.906．。