普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学解析版
注意事项：
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.
1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A
【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A. 2.复数z=
22i
i
-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D
【解析】因为22(2)34255
i i i
z i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=
6
a π
的值为
（A ）0 (B) 3
【答案】D
【解析】由题意知:9=3a
,解得a =2,所以2tan
tan tan 663
a πππ===故选D. 4.曲线2
11y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
5.已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 (A)若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 (B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 【答案】A
【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,故选A. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω= (A)
23 (B)3
2
(C )2 (D)3 【答案】B
【解析】由题意知,函数在3
x π
=
处取得最大值1,所以1=sin
3
ωπ
,故选B.
7.设变量x ，y 满足约束条件250
200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则目
标函数231z x y =++的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B. 8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B
【解析】由表可计算4235742x +++=
=,49263954424y +++==,因为点7
(,42)2在回
归直线ˆˆˆy bx a =+上,且ˆb
为9.4，所以7ˆ429.42
a =⨯+, 解得9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y
x =+, 令x=6得ˆy =65.5,选B. 9.设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是
(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C
【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4<r,因为点M(0x ，0y )为抛物线C ：2
8x y =上一点，所以有2008x y =,又点M(0x ，
0y )在圆222(2)x y r +-= ,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2008(2)16y y +->,即
有2004120y y +->,解得02y >或06y <-, 又因为00y ≥, 所以02y >, 选C. 的距离为02y +,
【解析】因为'
12cos 2y x =
-,所以令'12cos 02y x =->,得1
cos 4x <,此时原函数是增函数;令'
12cos 02y x =-<,得1cos 4
x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得
选C 正确.
11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、
俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、
俯视图如下图．其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，
且1
1
2λ
μ
+
=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，
O)(c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点
(C)C ，D 可能同时在线段AB 上
(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:
四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,
因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且
11
2c d
+=, 故选D.
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300
名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】16
【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为408
20
⨯
=16. 14.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是 【答案】68
【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.
15.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆
22
x y =1169
+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】5
【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当
2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17.（本小题满分12分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a
=cos B b
.
（I ）
求
sin sin C
A
的值；
（II ） 若cosB=
1
4
，5b ABC 的周长为，求的长. 【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以
c o s A -2c o s C
2c -a
=
c o s B b
=
2sin sin sin C A
B
-,即
sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()
A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin C
A
=2. (2)由(1)知sin sin C
A
=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦
定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即22221
(53)(2)44
a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.
18.（本小题满分12分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为
4
9
. （2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
62
155
=.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱台1111
ABCD A BC D -
中，1D D ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是平行四边形，A B =2A D ，11AD=A B ，
BAD=∠60°
（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.
【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设
AD=a,则AB=2a,又因为B A D =∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：
2222(2)22cos603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以,所以222AD BD AB +=,故BD
⊥AD,又因为
1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,
故1AA BD ⊥.
(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1AO ,由底面
ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACAC 相交,交线分别为AC 、11AC ，故11AC AC ，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120∠，
所以可由余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=
2
a , 111A B C =120∠，所以
可由余弦定理计算得A 1C 1=
2
a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面. 20.（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅. （Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=1
23
n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =++
+=
1212()(ln ln ln )
n n a a a a a a +++-++
=
2(13)
13
n ---
12ln n
a a a =
31n --
121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯
⨯=
31n
--(1)2
ln(23
)n n n
-⋅,所以2n S =231n --2(21)
22
ln(2)n n n
-⋅=91n --22ln 2(2)ln3n n n --.
21.（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为
803
π
立方米，所以3243
r r l ππ+=803π
,解得280433r l r =-,所以圆柱
的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833
r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为2
4r π,
所以y =
21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2
l
).
（Ⅱ）因为'
y =216016r r ππ--+8cr π=32
8[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >
令'
0y <得:0r <<
所以r =, 该容器的建造费用最小. 22.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，
交直线3x =-于点(3,)D m -.
（Ⅰ）求22m k +的最小值；
（Ⅱ）若2
OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；
（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时
ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,
由22
13
y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=,设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点
E
00(,)
x y ,则由韦达定理得:
12
x x +=
2
613kn k -+,即
02313kn x k -=
+,00
2313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213n
k +,所以中点E 的坐标为E 23(,13kn k -+2)13n k +,因为O 、E 、D 三点在同一直线上，所以OE OD
k K =，即133m
k -=-，解得
1m k =
，所以22m k +=221
2k k
+≥,当且仅当1k =时取等号,即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）（i ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3m y x =-,所以由223
1
3m y x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交
点G
的纵坐标为G y =又因为213E n y k =+,D
y m =,且2
OG OD =∙OE ，所以222
313m n
m m k =⋅++,又由（Ⅰ）知: 1m k =,所以解得k n =,所以直线l 的方程为
:l y kx k =+,即有:(1)l y k x =+,令1x =-得,y=0,与实数k 无关,所以直线l 过定点
(-1,0).
（ii ）假设点B ，G 关于x 轴对称,则有ABG 的外接圆的圆心在x 轴上,又在线段AB 的中垂线上
,
由（i ）知点
G(
,所以点
B(
,又因为直线l 过定
点(-1,0),所以直线l
1k =，又因为1m k =，所以解得21m =或6，又
因为230m ->,所以26m =舍去,即2
1n =，此时k=1，m=1，E 3(
,4-1
)4
，AB 的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为1(,0)2-
，G(3(,2-1)2,
圆半径为2
圆的方程为22
15()24x y -+=.综上所述, 点B ，G 关于x 轴对称,此时ABG 的外接圆的方程为22
15()24
x y -+=
.。