四川省宜宾市中考数学试题及答案

四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题（共8小题）
1．－3的倒数是（）
A．B． 3 C．－3 D．－
考点：倒数。

解答：解：根据倒数的定义得：－3×（－）=1，因此倒数是－．故选：D．
2．下面四个几何体中，其左视图为圆的是（）
A．B．C．D．
考点：简单几何体的三视图。

解答：解：A．圆柱的左视图是矩形，不符合题意；B．三棱锥的左视图是三角形，不符合题意；
C．球的左视图是圆，符合题意；D．长方体的左视图是矩形，不符合题意．故选C．
3．下面运算正确的是（）
A． 7a2b－5a2b=2 B．x8÷x4=x2C．（a－b）2=a2－b2D．（2x2）3=8x6考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。

解答：解：A．7a2b－5a2b=2a2b，故本选项错误；B．x8÷x4=x4，故本选项错误；
C．（a－b）2=a2－2ab+b2，故本选项错误；D．（2x2）3=8x6，故本选项正确．故选D．
4．宜宾今年5月某天各区县的最高气温如下表：
考点：众数；中位数。

解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；按大小排列后，处于这组数据中间位置的数是31、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是31.5．故选：A．
5．将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（）
A．（x－3）2+11 B．（x+3）2－7 C．（x+3）2－11 D．（x+2）2+4
考点：配方法的应用。

解答：解：x2+6x+2=x2+6x+9－9+2=（x+3）2－7．故选B．
6．分式方程的解为（）
A． 3 B．－3 C．无解D． 3或－3
考点：解分式方程。

解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x－3），得12－2（x+3）=x－3，解得：x=3．
检验：把x=3代入（x+3）（x－3）=0，即x=3不是原分式方程的解．故原方程无解．故选C．
7．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F
分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）
A．B．C．D．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理。

解答：解：过D作DM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
即FN∥DM，∵F为AD中点，∴N是AM中点，∴FN=DM，∵DM⊥AB，CB⊥AB，
∴DM∥BC，∵DC∥AB，∴四边形DCBM是平行四边形，∴DC=BM，BC=DM，
∵AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，∴设DC=a，AE=BE=b，
则AD=AB=2a，BC=DM=2a，∵FN=DM，∴FN=a，∴△AEF的面积是：
×AE×FN=ab，多边形BCDFE的面积是S梯形ABCD－S△AEF=×（DC+AB）×BC
－ab=（a+2a）×2b－ab=ab，
∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为=．故选C．
8．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=x2的切线
②直线x=－2与抛物线y=x2相切于点（－2，1）
③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）
④若直线y=kx－2与抛物线y=x2相切，则实数k=
其中正确命题的是（）
A．①②④B．①③C．②③D．①③④
考点：二次函数的性质；根的判别式。

解答：解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x2的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x2的切线，故本小题正确；②∵抛物线y=x2的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=－2与抛物线y=x2相交，故本小题错误；③∵直线y=x+b与抛物线y=x2相切，∴x2－4x－b=0，∴△=16+4b=0，解得b=－4，把b=－4代入x2－4x－b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1），故本小题正确；④∵直线y=kx－2与抛物线y=x2相切，∴x2=kx －2，即x2－kx+2=0，△=k2－2=0，解得k=±，故本小题错误．故选B．
二、填空题（共8小题）
9．分解因式：3m2－6mn+3n2= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。

解答：解：3m2－6mn+3n2=3（m2－2mn+n2）=3（m－n）2．故答案为：3（m－n）2．
10．一元一次不等式组的解是．
考点：解一元一次不等式组。

解答：解：，由①得，x≥－3，由②得，x＜－1，∴不等式组的解集为－3≤x＜－1．
故答案为－3≤x＜－1．
11．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ．
考点：平行线的判定与性质。

解答：
解：∵∠1=∠3，∴AB∥CD，∴∠5+∠4=180°，又
∠5=∠2=59°，
∴∠4=180°－59°=121°．故答案为：121°
12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得
到△DEF，则点P的坐标为．
考点：坐标与图形变化-旋转。

解答：解：连接AD，∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，
∴点A旋转后与点D重合，∵由题意可知A（0，1），D（－2，
－3）
∴对应点到旋转中心的距离相等，∴线段AD的中点坐标即为点P的坐标，∴点P的坐标为（，），即P（－1，－1）．故答案为：（－1，－1）．
13．已知P=3xy－8x+1，Q=x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q=7恒成立，则y的值为．
考点：因式分解的应用。

解答：解：∵P=3xy－8x+1，Q=x－2xy－2，
∴3P－2Q=3（3xy－8x+1）－2（x－2xy－2）=7恒成立，
∴9xy－24x+3－2x+4xy+4=7，13xy－26x=0，13x（y－2）=0，
∵x≠0，∴y－2=0，∴y=2；故答案为：2．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平
分∠ACD交BD于点E，则DE= ．
考点：正方形的性质；角平分线的性质。

解答：解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF，
∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴CO=AC=，
∴CF=CO=，∴DF=DC－CF=1－，∴DE==－1，故答案为：－1．
15．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B
（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

解答：解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上
方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．
16．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB
于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，
连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．
考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质。

解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠P AF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，
即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④
三、解答题（共8小题）
17．（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中x=2tan45°．
考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算。

解答：解：（1）原式=－2－1+1 =－；
（2）原式=•－=－=
当x=2tan45°时，原式=2．
18．如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．
考点：全等三角形的判定与性质。

解答：证明：∵AD=EB
∴AD－BD=EB－BD，即AB=ED…（1分）
又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB…（2分）
∴∠ABC=∠EDF…（3分）
又∵∠C=∠F，
∴△ABC≌△EDF…（5分）
∴AC=EF…（6分）
19．为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽查了名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为，喜欢“戏曲”活动项目的人数是人；
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法。

解答：解：（1）根据喜欢声乐的人数为8人，得出总人数=8÷16%=50，
喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：×100%=24%，
喜欢“戏曲”活动项目的人数是：50－12－16－8－10=4，
故答案为：50，24%，4；
（2）（用树状图）设舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次是①②③④，
故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是；
（用列表法）
20．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A
（0，3）、B（－4，0）．
（1）求经过点C的反比例函数的解析式；
（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角
形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．
考点：反比例函数综合题。

解答：解：（1）由题意知，OA=3，OB=4 在Rt△AOB中，AB=∵四边形ABCD为菱形∴AD=BC=AB=5，∴C（－4，5）．设经过点C的反比例函数的解析式为，∴，k=20 ∴所求的反比例函数的解析式为．
（2）设P（x，y）∵AD=AB=5，∴OA=3，∴OD=2，S△=即，
∴|x|=，∴当x=时，y=，当x=－时，y=－
∴P（）或（）．
21．某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12－4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系。

解答：解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
根据题意得：
3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（3分）
（2）由（1）得，x2+3x－0.5=0…（4分）
由根与系数的关系得，x1+x2=－3，x1x2=－0.5…（5分）
又∵mx12－4m2x1x2+mx22=12 m[（x1+x2）2－2x1x2]－4m2x1x2=12 m[9+1]－4m2（－0.5）=12
∴m2+5m－6=0 解得，m=－6或m=1…（8分）
22．如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试
判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x－5上，∴当x=1时，y=1－5=－4，
∴A（1，－4）．
（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，∴y=x2－2x－3，∴B（0，－3）
当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3 ∴C（－1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4－3）2+12=2，AD2=（3－1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
（3）存在．
由题意知：直线y=x－5交y轴于点A（0，－5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD
则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C
设P（x1，x1－5），则G（1，x1－5）
则PC=|1－x1|，AG=|5－x1－4|=|1－x1|
P A=BD=3
由勾股定理得：
（1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4
∴P（－2，－7），P（4，－1）
存在点P（－2，－7）或P（4，－1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．
23．如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证：；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．
考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的
判定与性质；解直角三角形。

解答：（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，
∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠P AB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，
∴△P AB∽△PCD，∴===，即=．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=，
∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，
∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，又∵PD是⊙O2的直径，
∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°－∠PBQ=45°在△EAB中，∴∠E=180°－∠CAQ－∠ABE=75°，
答：∠E的度数是75°．
24．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC 不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出
BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；
勾股定理。

解答：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，
∴CE=，∴BE=6－=；
（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，
∴CM=－+x=－（x－3）2+，∴AM=－5－CM═（x－3）2+，
∴当x=3时，AM最短为，又∵当BE=x=3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，
∴AE==4，此时，EF⊥AC，∴EM==，S△AEM=．。