2017-2018北京海淀101高二上期中【理】

北京一零一中2017—2018学年度第一学期期末考试
高二数学（理）
一．选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项.
1.双曲线的左，右焦点坐标分别是()13,0F -，()23,0F ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ）．
A ．22154x y -=
B. 22154
y x -=
C. 22
1134
x y -=
D. 221916
x y -=
【答案】A
【解析】24b =，2b =，3c =， 2
2
2
5a c b =-=，22
154
x y -
=. 故选：A .
2.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）． A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-
B. ()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≠-
C. ()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-
D.
()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =-
【答案】A 【解析】略. 故选：A .
3.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）． A. ()0,1
B. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()1,0
D. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】∵2
14x y =
，18
p =，1216p =，
∴ 10,16F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：B .
4.有下列三个命题：①“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x y >，则22x y >”的逆否命题；③“若3x <-，则260x x +->”的否命题，则真命题的个数是（ ）． A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】C
【解析】①正确，②③错误. 故选：C .
5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至多录用一名
大学生的情况有（ ）． A. 24
B. 36
C. 48
D. 60
【答案】D
【解析】33234343C A C A 60+=.
故选：D .
6.已知圆M ：2220x y ay +-=截直线0x y +=所得的线段长是a 的值为（ ）．
A.
B. 2
C.
D. 【答案】D
【解析】()2
222220x y ay x y a a +-=⇒+-=，
圆心()0,a 到直线d =
=
∴ 24a =，∴ 2a =±. 故选：D .
7.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）． A. 24
B. 18
C. 12
D. 6
【答案】B
【解析】有0：1132C C 6=，
无0：112322C C A 12=，
∴ 61218+=. 故选：B .
8.设双曲线C 的中点为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双
曲线的离心率的取值范围是（ ）．
A. 2⎤⎥⎝⎦
B. 2⎫
⎪⎪⎣⎭
C. ⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
D. ⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
【答案】A
【解析】如图，不妨设双曲线焦点在x 轴上，
渐近线b
y x a
=±，
tan30tan 60b a ︒<≤︒
b a <≤
c e a ==
2e <≤. 故选：A .
二．填空题共6小题
9.双曲线2233x y -=-的渐近线方程为__________．
【答案】y = 【解析】2
213
y x -=， 渐近线为a
y x b =±
，即y =.
故答案为：y =.
10.设常数a ∈R ，若5
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a =__________．
【答案】2- 【解析】∵()
5215
C r
r
r
r a T x
x -+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
1035C r r r a x -=.
当1r =，15C 10a =-，2a =-
.
故答案为：2-.
11.设1F ，2F 分别是椭圆22
1167
x y +=的左，右焦点，若点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，
12PF PF +=__________．
【答案】6
【解析】∵12PF PF ⊥， ∴ 121226PF PF OP F F +===. 故答案为：6.
12.若双曲线22
194x y -
=与直线1y kx =-有且仅有一个公共点，则这样的直线有__________条. 【答案】4
【解析】与渐近线平行的有两条，另外如图两条切线.
故答案为：4.
13.已知点P 在抛物线24y x =上，那么当点P 到点()3,4Q
的距离与P 到抛物线准线的距离之和去的最小值时，点P
的坐标为__________． 【答案】+⎝
【解析】PQ PF QF +≥，
QF ：()2122y x x =-=-，
()2
2
222244y x x x y x
=-⎧⇒-=⎨=⎩， 221x x x -+=，2310x x -+=，
x ，∵ 0y >， ∴
x =
，1y =
故答案为：⎝.
14.下列四个命题中：
①“1k =”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；
②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线()317x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；
③函数2y =
的最小值为2.
其中是假命题的有__________．（将你认为是假命题的序号都填上） 【答案】①②③
【解析】①：22cos sin y kx kx =- ()cos 2kx =，
πT =，1k =±.
∴ ①错误.
②：相互垂直⇒()3210a a +-=， ∴ 25
a =
. ∴ ②错误. ③
：2y =
=，
令t t ，
1y t t
=+，
min y ==
. ∴ ③错误. 故答案为：①②③.
三．解答题共5小题每小题10分，共50分.
15.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数()log a f x x =在上递增()0,+∞，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围. 【答案】()
[)0,12,+∞.
【解析】p 为真命题时，24160a ∆=-<，22a -<<，
q 为真命题时，1a >，
∵ p q ∨为真，p q ∧为假， ∴ p ，q 一真一假，
① p 为真，q 为假， 22
01a a -<<⎧⎨
<<⎩
，∴ 01a <<， ② p 为假，q 为真， 22
1a a a ≤-≥⎧⎨
>⎩
或，【注意有文字】 ∴ 2a ≥，
综上所述：01a <<或2a ≥，即()[)0,12,a ∈+∞.
故答案为：()
[)0,12,+∞.
16.已知P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点.
（1）当1260F PF ∠=︒时，求12F PF △的面积.
（2）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.
【答案】（1.
（2）⎛ ⎝⎭
.
【解析】（1）
设1PF m =，2PF n =， ∴ 24m n a +==， ()
2
221221cos 22
m n c F PF mn
+-∠=
=
， 2212m n mn +-=，()2
212m n mn mn +--=，
43mn =，43
mn =
， ∴121
sin 2S mn F PF =∠
1423=
⋅=
. （2）设()00,P x y
，()
1F
，)
2
F ，
12F PF ∠为钝角，∴ 12cos 0F PF ∠<， 120PF PF ⋅<
，(
))
22000000,,30x y x y x y -⋅
-=-+<，
∵ 220014x y +=，22
0014x y =-
， 203204x -<，2083
x <，
0x <，∴
0x ⎛∈ ⎝⎭.
故答案为：⎛ ⎝⎭
.
17.如图所示，在Rt ABC △中，已知点()2,0A -
，直角顶点(0,B -，点C 在x 轴上
.
（1）求Rt ABC △外接圆的方程.
（2）求过点()4,0-且与Rt ABC △外接圆相切的直线的方程. 【答案】（1）()19x y -+=. （2）()3
44
y x =±
+. 【解析】（1）在Rt ABC △中，
外接圆圆心在斜边AC 中点，设为(),0a ，
AB
中点坐标(1,-， AB
中垂线方程：)1y x +，
)12
a =
+， 1a =，
1
32
r AC =
=， 外接圆方程：()2
2
19x y -+=.
（2）①切线斜率不存在时，4x =-，不符合.
② 切线方程存在时，设为k ， 方程：()4y k x =+，
3d =
=，3
4k =±，
∴ 切线方程：()3
44
y x =±+.
18.定长为2的线段AB 的两个端点在以点10,8⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点的抛物线22x py =上移动，记线段
AB 的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.
【答案】78⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.s 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，
128p =，14
p =， 212
x y =
，2AF BF AB +≥=，1211
288y y +++≥，
1274y y +≥
，07
24
y ≥， 078
y ≥
， 当078y =时，AB 过焦点10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
2111
2
x y =
， 2
221
2x y =，
()2212121
2
x x y y -=
-， 01201201
840
y y y x x x x -
-==--， 203
44
x =， 20316
x =
， ∴
0x = ∴
78M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右检点分别为1F ，2F ，且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程
.
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF B △
2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程. 【答案】（1）22
143
x y +
=. （2）()2
212x y -+=.
【解析】（1）∵1222F F c ==，1c =， ()11,0F -，()21,0F ，
2a ，
∴ 2
a =，
b = ∴ 22
143x y +=. 故答案为：22
143
x y +
=. （2）①AB 斜率不存在时，1x =-，
21
3232
S
AF B =⋅⋅=△，不符合.
②AB 斜率存在，设为k ，
()22
114
3y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，()2222
3411x k x +-=， ()2
2224384120k
x k x k +++-=，
∵0∆>，
∴2
122843k x x k +=-+，
2122
41243k x x k -=+
，
AB =
=
=
()
2212143
k k +=+，
∵d =，
()2
21211243k S AB d k +=⋅=+， ∴4217180k k +-=，
()()22171810k k +-=， ∴1k =±，
方程：()1y x =±+，
()21,0F ，
d ==
∴ 圆方程：()2212x y -+=.。