江苏省南京师范大学附属中学自主招生物理讲座讲义机械振动机械波部分

第一部分机械振动和机械波
一、机械振动
例1：一水平弹簧振子T=0.25s,A=0。

02m，从平衡位置向右运动并开始计时，经0。

12秒时振子的振动情况是（ B )
A。

向右减速 B.向左加速 C.向右加速D。

向左减速
再问：经1.0秒振子的位移为多大？通过了多少路程？（0；16A=0.32米）
例2：把一个小球挂在一个竖直弹簧上,当它平衡后再用力向下拉伸一段距离后轻轻释手，使小球上下振动，试证明小球的振动是简谐振动。

分析为了确定小球的运动性质，需要对它作力的分析。

设弹簧的倔强系数为k，不受力时的长度为l。

小球质量为m,当挂上小球平衡时弹簧的伸长量为x。

,则根据题意有关系式mg=kx0
由于小球振动时共受到弹力和重力这样两个力的作用,当弹簧的伸长量大于x时，它所受到的弹力大于重力，促使小球回到平衡位置；当弹簧的伸长量小于x0时，它所受到的弹力小于重力,也将促使它回到平衡位置，故在这种竖直弹簧振子的情况下,由重力和弹力的合力作为振动的回复力。

假设在振动过程中的某一瞬间，小球离开静止时的平衡位置（以下称静力平衡位置）为x（图8－I），并取竖直向下的方向为正方向，则回复力
F= mg ＋「一k(x 。

＋x ）] = mg 一 kx 0一kx = —kx
可见，挂在竖直弹簧上的振子做着以静力平衡位置为中心的简谐振动，此时回复力中的比例系数正好等于弹簧的倔强系数.
例3：将一个弹簧振子的弹簧截成等长的两段，取其一段和原来的小球组成弹簧振子时的周期为原来的多少？
解：一根弹簧截成相等的两段后,要使每一段产生跟原来的弹簧同样的伸长量时，弹簧产的弹力将为原来的两倍，故半根弹簧的倔强系数k ’= 2k.所以其振动周期
T k m k m T 2
1222=='='ππ
即为原来的0．707倍。

例4：在两根倔强系数分别为k 1、k 2的弹簧中间联接一个质量为m 的小球，穿在水平光滑直杆上振动起来后的周期为多少？
解：首先应确定振动的性质，设小球静止在中间时，两弹簧都是自然长度,当将小球向左移使左边弹簧被压缩X 时，右边弹簧伸长X ，释放后两个弹簧作用在小球上的力都促使小球回到平衡位置，它们的合力起了回复力的作用,即 F ＝k 1x ＋k 2x ＝（k 1+k 2)x
令k 1+k 2 = k ’（可称为等效劲度系数)，同时考虑到合力 F 与位移x 的方向相反,则可写成 F= k ’x
可见，这个振动系统同样作着简谐振动，故振动周期
2
1k k 2+=m
T π
就象弹簧的倔强系数从原来一根弹簧时的k 1（或k 2）变成等效倔强系数k 1+k 2.
例1：一个摆长为 l 的单摆，在其悬点正下方1 / 2的O 1处有一颗钉子，假定摆动时碰到钉子后单摆仍然作简谐振动，那么它的周期为多少？
分析：此摆的周期可以看成是由两个不同摆长的摆的半周期合成的
2
22
1T T T +=
例2：一个悬挂在楼顶摆长很大的单摆，在只有一把米尺和秒表的情况下，能否测出摆长和当地的重力加速度？
二、机械波
〖例1〗比较男低音与女高音在空气中的频率、声速及波长。

答案:男低音与女高音声音相比,频率小,声速相同，波长短
〖例2〗一列波在介质中的某一方向传播，如图所示为此波在某一时刻的波形图,并且此时刻振动只发生在M 、N 之间，此列波的周期为T ，Q 质点速度方向在波形图中是向
下的，下列判断正确的是 （ )
A．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3T/4
C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T ／4
D．波源是M，由波源起振开始计时,P点已经振动的时间为T ／4
【解析】Q点速度方向向下,Q点在相邻最近波峰P的右侧，说明波是向左传播的，故N点为波源.图示振动传播到M点，P与M 相距λ/4，则P点已经振动了T/4，故C项是正确的。

又解：同上先判断出N点为波源．P与N点相距3λ／4,P点是在波源N振动3T／4起振的，此时N点振动了T，故P振动了T／4．
【小结】本题关键是由质点的振动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置．上述两种方法中,这一点是相同的．
〖例3〗如图所示,一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点,相距14m，b点在a点的右方,当一列简谐横波沿此向右传播时，若a点的位移达到正向最大时b点的位移恰好为零且向下运动，经过1s后,a点的位移为零，且向下运动.而b点恰好到达负向最大，则这列波的波速可能为（）A．4m／s B．4.67m／s C．6m／s D．l0m／s
【解析】由题设条件可知，这列波可能的波长为：λ＝56/(4n+3）
(n=0，1，2,3……）；T＝4/（4k+1）(K=0，1,2，3……），所以，这列波可能的波速v=λ/T=14(4k+1)/(4n+3）.故B、D选项正确.
四、波的干涉
〖例1〗两列振幅不同、频率相同的水波干涉，某一时刻，点P 恰好是两列波波峰相遇，点Q是波谷与波谷相遇，点H是波谷与波峰相遇.则( ）
A．点P和点Q加强，点H减弱
B．点P加强，点Q和点H减弱
C．点P和点Q总在最大位移处,点H总在最小位移处
D．除了波峰与波峰或波谷与波谷相遇的点,其它点都不是加强点
答案：A
〖例2〗S1、S2是两个同频同相波源,它们形成的波在介质中叠加，
λ,求：(1）在B、C、D、E、如图所示，BS1=S1C=CD=DE=ES2=S2F=
4
F中，有哪些点的振动是加强的，哪些点的振动是减弱的?(2）若S1、S2是两个同频反相波源呢？(3)考虑BS1、S1C、CD、DE、ES2、S2F 各段中的其它质点的振动情况？
答案：（1)B、D、F是加强的，C、E是减弱的;（2）C、E是加强的，B、D、F是减弱的；（3）S1左侧，S2右侧的质点振动都是加强的，S1至S2中的质点的振动加强区和减弱区相互间隔.
〖例3〗S1、S2是两个同频同相波源，同处一圆周上，S1B=S2B=λ，
问：该圆周上（除S1、S2外）共有几个振动最强的点？
答案：6个.
【练】如图所示,在直线PQ的垂线OM上有A、B两个声源,A、B分别距O点6m和1m．两个声源同时不断向外发出波长均为2m 的完全相同的声波，在直线PQ上，从一∞到＋∞的范围内，听不到声音的小区域共有几个？
答案：（5个）
五、多普勒效应
〖例〗以速度v＝60m/s奔驰的火车，鸣笛声频率为280Hz,已知常温下空气中的声速为v＝340m/s。

（1）当火车驶来时，站在铁道旁的观察者听到的笛声频率是多少？
(2)当火车驶去时，站在铁道旁的观察者听到的笛声频率是多少？
答案：(1）340H Z;（2）238 H Z
典型问题与考题实例
一、求简谐运动周期
思路:找出回复力与位移关系kx F -=，求出k ，周期k
m T π
ω
π22== 例1：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U 型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。

当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。

忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其
周期。

模型分析：对简谐运动的证明,只要以汞柱
为对象，
看它的回复力与位移关系是否满足定义式①,值得注意的是，回复力
∑F
系指振动方向上的合力（而非整体合力)。

当简谐运动被证明后，回复力系数k 就有了，求周期就是顺理成章的事。

本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密
度为ρ、U 型管横截面积为S ，则次瞬时的回复力
ΣF = ρg2xS =
L
mg
2x
由于L 、m 为固定值，可令：L
mg 2 = k ，而且ΣF 与x 的方向相反，故汞柱做简谐运动。

周期T = 2π
k
m
= 2π
g 2L 答:汞柱的周期为2πg
2L 。

例2：如图所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置,绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。

已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ，且木板放置时,重心不在两滚轮的正中央。

试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期.
思路提示:找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→力矩平衡
和ΣF 6= 0结合求两处弹力→求摩擦力合力…
答案：木板运动周期为2πg
2L μ 。

例3：如图所示,三根长度均为L = 2.00m 地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。

杆AB 是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。

现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动，试讨论松鼠的
运动是一种什么样的运动.
解说:由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡,即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。

设松鼠的质量为m ，即:
N = mg ①
再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零.以C 点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力N 、和松鼠可能加速的静摩擦力f ，它们合力矩为零,即:
M N = M f
现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图7，设它在导轨方向上距C 点为x ），上式即成：
N ·x = f ·Lsin60° ② 解①②两式可得：f =
L
3mg 2x ，且f 的方向水平向左。

根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。

如果我们以C 在导轨上的投影点为参考点,x 就是松鼠的瞬时位移。

再考虑到合力与位移的方向因素，松鼠的合力与位移满足关系—-
∑F
= －k x
其中k =
L
3mg 2 ，对于这个系统而言，k 是固定不变的.
显然这就是简谐运动的定义式。

答案：松鼠做简谐运动。

2π
k
m = 2π
g
2L 3
我们可以求出松鼠的运动周期为:T = = 2.64s 。

例4:如果两个弹簧通过一个动滑轮(不计质量）再与质量为m 的钩码相连，如图所示，钩码在竖直方向上的振
动周期又是多少？
解：具体分析如下:
设右边弹簧的形变量为x 2 、滑轮（相对弹簧自由长度时)的位移为x 、钩子上的拉力为F ，则
k 1x 1 = k 2x 2
x = 2
x
x 2
1
+
F = 2 k 2x 2
解以上三式，得到：F = 2
121k k k k 4+x ，也就是说，弹簧系统新的弹性
系数k =
2
121k k k k 4+ .
答:T = π
2
121k k )k k (m + 。

例5:如图所示，在一辆静止的小车内用长为L 的轻绳静止悬挂着一个小钢球,当小车突然获得水平方向的大小为a 的加速度后（a ＜g ），试描述小球相对小车的运动。

模型分析:小钢球相对车向a 的反方
向摆起，摆至绳与竖直方向夹角θ= arctg g a 时,达到
最大速度，
此位置即是小球相对车“单摆”的平衡位置.
解说：由于摆长L 未变，而g 视 = 2
2a g +，如果a 很小，致使最
大摆角不超过5°的话，小角度单摆可以视为简谐运动，周期也可
以求出来。

答案：小球以绳偏离竖直方向θ= arctg g a
的角度为平衡位置做最大
摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的
摆动周期为T = 2π
2
2
a
g L +
例6：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示,且有a 2 + b 2
=
21
L +
22
L ，试求它的周期（认为人的体积足够小）。

模型分析：用C 球替代人，它实际上是在绕AB 轴摆动，类似将
单摆放置在光滑斜面上的情形。

故视重加速
度g 视 = gcos θ= g 2
2
b
a a + ,等效摆长l = CD
，如图
15所示。

由于a 2 + b 2 = 2
1
L +
22
L 可知，AC ⊥CB ，因
此不难求出
CD
=
22
21
21L
L L L + ，最后应用单摆周期公式即可。

答案：T = 2π
ag
L L 21 .
二、振动的合成
例1：如图20所示，一个手电筒和一个屏幕的质量均为m ，都被弹性系
数为k 的弹
簧悬挂着。

平衡时手电筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O 点。

现在令手电筒和屏幕都在竖直方向上振动(无水平晃动或扭动），振动方程分别为y 1 = Acos(ωt + φ1),y 2 = Acos （ωt + φ2) 。

试问：两者初位相满足什么条件时，可以形成这样的效果:（1）光斑相对屏幕静止不动：（2）光斑相对屏幕作振幅为2A 的振动.
模型分析:振动的叠加包括振动的相加和相减。

这里考查光斑相对屏幕的运动事实上是寻求手电筒相对屏幕的振动,服从振动的减法。

设相对振动为y ，有
y = y 1 − y 2 = Acos （ωt + φ1） − Acos（ωt + φ2） = −2Asin 2
2
1
ϕ-ϕ
sin （2
t 21
ϕ+ϕ
+ω）
解说：（1）光斑相对屏幕静止不动,即y = 0 ，得 φ1 = φ2 （2）要振幅为2A ，必须2
sin 21
ϕ-ϕ = 1 ，得φ1 − φ2 = ±π
答案:初位相相同；初位相相反。

例2:一质点同时参与两个垂直的简谐运动，其表达式分别为x = 2cos(2ωt +2φ） ,y = sinωt 。

（1）设φ = 2π ，求质点的轨迹方程,并在xOy 平面绘出其曲线;（2）设φ = π ,轨迹曲线又怎样?
解：两个振动方程事实已经构成了质点轨迹的参数方程,我们所要做的，只不过是消掉参数，并寻求在两个具体φ值下的特解。

在实际操作时，将这两项工作的次序颠倒会方便一些。

(1）当φ = 2
π时,x = −2(1 − 2sin 2ωt） ，即 x = 4y 2 − 2
描图时应注意，振动的物理意义体现在:函数的定义域 −1 ≤ y ≤ 1 （这事实上已经决定了值域 −2 ≤ x ≤ 2 )
（2）当φ =π时，同理 x = 2(1 − 2sin 2ωt）= 2 − 4y 2
答：轨迹方程分别为x = 4y2− 2和x = 2 − 4y2 ,曲线分别如图21的（a）（b）所示
三、波的叠加
答案:C
四、振动图像和波的图像
五、多普勒效应
例题：以速度v贴水直线飞行的蜻蜓,以相同时间间隔做点水动作,水波传播速度为u，请画出可能出现的几类水波图样。

六、简谐振动的能量
七、单摆在非惯性系中的运动
八、振子的频率
九、综合
例:设想可以挖一条沿着地球直径穿过地心的隧道，现在甲从隧道口无初速跳入隧道,乙从此处乘坐飞船以第一宇宙速度沿地表飞行（忽
略大气与地形的影响)，问谁先到隧道的另一端。

答案:同时。

甲所受万有引力与到地心距离成正比做简谐运动，时间半周期;乙做圆周运动,时间半周期。

经计算正好相等.。