利用排序不等式法证分式不等式

利用重要的不等式证明分式不等式

当ｎ≥ ３时， ≥ １，
］＝
翌＝
．
２（
＋
＋
） ≥ｓ
＋
＋
．
—
≥ ・争
２利用例数不等式．
．
．
Ｌ＋２．＝ ≥ ＿＋
ａ－ａｌ２８一∞ ２一一ａｎａｌａ — ｎ
≥
．
０１ａ一ｎ
・
．．
例２（９９年全国高中数学联赛）１７设，是锐角，卢都求
证：ＣＳ０Ｌ —Ｏ２
＋・
总之，式不等式证明的题型千变万化、法灵活多样、巧分方技
博大精深，要较高的数学综合能力．需
要发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的需求，
帮助学生认识自我，立自信．挥评价的教育功能，进学建发促
生在原有水平上的发展．因此，学低年级数学教学的评价 ” 小要以促进学生的全面发展为基础，建立合理的评价体系，实现教学评价的科学性．进行教学评价时，要改变以往的根在
据考试成绩作为评价学生学习效果的依据，注意将过程性要
评价与形成性评价相结合．全面地对学生进行科学的评价．要比如，养创造力是小学数学教学的目标之一，培因此，对学在

排序不等式课件

bc ca ab
由排序不等式：顺序和≥乱序和得：
a ＋b ＋c b ＋c ＋a ， bc ca ab bc ca ab
a ＋b ＋c c ＋a ＋b ， bc ca ab bc ca ab
两式相加得：2( a ＋ b ＋ c ) 3.
bc ca ab
所以 a ＋ b ＋ c 3 .
bc ca ab 2
(1,2,3) (30,25,45)
和
S1=a1b1+a2b2+a3b3=220 (最大值)
备注顺序和
S2=a1b1+a2b3+a3b2=205 乱序和
S3=a1b2+a2b1+a3b3=215 乱序和
对应关系
和
(1,2,3) (30,45,25)
S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
(1,2,3) (45,25,30)
2.首先分析待证不等式的结构特点，左端是 1 1右 1端，是
abc
a8 b8 应 c该8 分离成积的和形式，首先构造右端，寻找有序
a3b3c3
实数组，然后根据结论证明本题需要两次利用排序不等式.
【证明】1.如图,ha=bsin C，hb=csin A, hc=asin B,不妨设a≥b≥c.由大角对大边可知A≥B≥C. ①若A≤90°，则有sin A≥sin B≥sin C,由顺序和≥乱序和，可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. ②若A>90°,此时sin A=sin(B+C),因为B+C为锐角,故亦有 sin A≥sin B≥sin C.由顺序和≥乱序和，可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. 综上可知,asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc成立.

排序不等式课件

1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组． 2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．
利用排序不等式求解简单的实际问题
若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
【提示】由排序原理，知顺序和最大，反序和最小．因此最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304. 最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证： (1)b1c≥c1a≥a1b； (2)ba2c22＋cb2a22＋ac2b2 2≥a12＋b12＋c12. 【思路探究】由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．
序和 ≤ 乱序和 ≤顺序和．
1．排序原理的本质含义是怎样的？
【提示】两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数序列．
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5， b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5 ＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝ 1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋… ＋a5c5的最大值和最小值分别是多少？

经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式

不妨设
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bn
由切比雪夫不等式为
1 (a1 a2 ... an )(b1 b2 ... bn ) a1b1 a2b2 ... anbn n
令 ai bi (i 1, 2,..., n) 则有
aibi-ajbi+ajbj-aibj=(ai-aj)(bi-bj)≥0
即顺序和≥乱序和（当且仅当 ai=aj 或 bi＝bj 时等号成立）当有多个乱序时可由数学归纳法即得结论： a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立 2.切比雪夫不等式若两个正实数数组{ai} , {bi} 满足 a1≤a2≤„≤an ,b1≤b2≤„ ≤bn,
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1. 排序不等式设两个数组{ai} , {bi}满足 a1≤a2≤„≤an,b1≤b2≤„≤bn, 则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bj1+a2bj2+„+anbjn≤a1b1+a2b2+„+anbn (其中 j1,j2,…，jn 是 1,2,…,n 的一个排列) 当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立证明：（先证有一个乱序的情形，其余的可根据结论得证）设序列{ai}中仅有 ai 与 aj 调换次序由 a1b1+a2b2+…+ajbi+…+aibj+…+anbn 记为○ 1 式（为乱序） a1b1+a2b2+…+aibi+…+ajbj+…+anbn 2 -○ 1 得 ○ ：记为○ 2 式（为顺序）恒成立 .

选修4-5 2第二节证明不等式的基本方法

x
()
(2)比较法最终要判断式子果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,
最后达到待证的结论. ( )
(4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论
成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
必备知识·自主学习
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2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_和__最__小__,和定_积__最__大__. (2)基本不等式使用的基本原则:_一__正__二__定__三__相__等__.
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【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知x为实数,则1+x+ 1 ≥3.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
第二节证明不等式的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.不等式的证明方法 (1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从_已__知__条__件__出__发__,_利__用__定__义__、__公__ _理__、__定__理__、__性__质__等逐步推导出结论. (2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_结__论__出发,逐步寻找结论成立的_充__分__条__ _件__,直至所需条件为_已__知__条__件__或__一__个__明__显__成__立__的__事__实__. (3)作差法与作商法:作差法是作差后与0比较,作商法是把两个_正__数__作商后与 _1_比较.

经典不等式证明—排序不等式—切比雪夫不等式—平均不等式—柯西不等式

1 xn
最小，因而其乘积和是反序的)
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即
x1 y1 x2 y2 ... xn yn
总是两数组的反序和。
于是由排序不等式的“乱序和反序和” ，总有
x1 yn x2 y1 ... xn yn1 x1 y1 x2 y2 ... xn yn
n 1 1 1 ... a1 a2 an
n
n a1a2 ...an
证明：○ 1
（此处先利用由于
a1a2 ...an
a1 a2 ... an n
的结论） 1式 ○
1 1 1 ... a1 a2 an 1 1 1 n ... n a1 a2 an
=n
1 a1a2 ...an
即
a a1 a2 ... n 1 1 ... 1 n c c c
a1 a2 ... an c n a1a2 ...an n
即
n
a1 a2 ... an a1a2 ...an n
（利用切比雪夫不等式证明） ,
2 2 a1 a2 ... an a 2 a2 ... an 1 n n ○ 3
c
c
y1= 1 = c ，y2= 1 =
x1 a1 x2
c2 a1a2
,„,yn= 1 =
xn
cn a1a2 ...an
=1
(其中 c n a1a2 ...an ，因为{xn},{yn}两个数列对应成倒数，所以无论它们数列的各项的值的大小如何，乘积的和都是 1，且可视为两个数列反序乘积和的形式，比如：若 xn 最大，则 yn=
（提示：上式从第○ 2 行到最后一行可视为 ai 顺序乘以 bi 的一个乱序）根据“顺序和乱序和” （从第○ 2 行到第○ n 行同时使用），可得

排序不等式的应用

排序不等式排序不等式（sequence inequality ），又称排序原理设12n a a a ≤≤≤，12n b b b ≤≤≤为两组实数，12n c c c 、、、是12n b b b 、、、的任一排列，则121111221122n n n n n n na b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时，反序和等于顺序和。

排序不等式也是基本且重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式都可以借助排序不等式得到证明。

一、排序不等式的基本应用排序不等式的结构规律简明，易于记忆，借助它可以简捷地证明一些重要的不等式，尤其是对于具有大小顺序关系且个数相同的两列数，在考虑他们的对应项乘积之和的大小关系时，排序不等式是一个极其有用的工具。

应用排序不等式，必须取两组个数相同、便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大小顺序，二是不知道各数的大小顺序，但由于不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序。

例1 设12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323na a a a n n ++++≤++++ 分析：由于12n a a a 、、、是n 个互不相同的正整数，因此它们可以进行排序；同时，观察需要证明的不等式，可以联想到12n a a a 、、、对应的另一列数是1、212、213、…、21n ，由此可以联想到应用排序不等式。

值得注意的是不能直接假设12n a a a ≤≤≤，会影响两列数的乘积之和是顺序和、乱序和还是反序和，所以需要定义12n a a a 、、、的大小关系。

证明：设12n b b b 、、、是12n a a a 、、、的一个排列，且满足1b ＜2b ＜…＜n b . 因为12n b b b 、、、是互不相同的正整数，所以11b ≥，22b ≥，…，n b n ≥. 又因为1＞212＞213＞…＞21n，故由排序不等式：乱序和≥反序和，得：123222111123na a a a n ⋅+⋅+⋅++⋅ 123222111123n b b b b n ≥⋅+⋅+⋅++⋅ 222111111112312323n n n≥⋅+⋅+⋅++⋅=++++ ∴原不等式成立.例2 设123a a a 、、都是正数，求证：233112123312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 分析：观察需要证明的不等式，我们需要构造两组数，并且这两组的乘积可以出现123a a a 、、，满足不等式的右端；观察不等式的左端，我们可以不妨设123a a a ≤≤，构造121323a a a a a a ≤≤和321111a a a ≤≤，应用排序不等式证明不等式。

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

排序不等式的证明

排序不等式是一类常见的数学不等式，通常包括如下形式：
对于任意实数a₁, a₂, ..., aₙ（n ≥ 2），有：
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ
证明排序不等式的一种常见方法是使用数学归纳法。

以下是对排序不等式的归纳证明：
基础步骤（n = 2）：对于n = 2 的情况，不等式形式为：
a₁ ≤ a₂
这是显然成立的，因为这只是两个实数之间的大小关系。

归纳假设：假设对于n = k（k ≥ 2）时不等式成立，即：
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ
归纳步骤（n = k+1）：我们需要证明当n = k+1 时不等式也成立，即：
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ ≤ aₙ₊₁
根据归纳假设，我们有：
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ
而根据基础步骤，我们知道：
aₙ ≤ aₙ₊₁
将这两个不等式结合起来，可以得到：
a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ ≤ aₙ₊₁
因此，根据数学归纳法，排序不等式在任意正整数n ≥ 2 时都成立。

这个证明使用了基础步骤和归纳步骤，通过证明在n = 2 时成立，并在归纳假设成立的情况下推导出n = k+1 时也成立，从而证明了排序不等式对于任意正整数n ≥ 2 都成立。

高一数学排序不等式知识点

高一数学排序不等式知识点数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，其中不等式是数学中重要的一个分支。

排序不等式是在不等式的基础上，对一系列数值进行排序的一种方法。

在高一数学中，掌握排序不等式的知识点对于学生来说是非常重要的。

一、基础概念首先，我们来复习一下不等式的基础概念。

不等式是表示两个数或两个算式的关系的一种数学表达式。

常见的不等式包括大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。

二、排序不等式的意义为什么要学习排序不等式？首先，排序不等式是数学中解决实际问题的重要工具。

在现实生活中，我们经常需要对一些数进行排序，例如排名、分数等。

其次，掌握排序不等式可以帮助我们更好地理解数的大小关系。

三、常见排序不等式1. 加减法法则：考虑到加减法运算的性质，对于任意实数a，b，c，有如下排序不等式：- 若a > b，那么a ± c > b ± c；- 若a > b，且c > 0，那么a × c > b × c；- 若a > b，那么a ÷ c > b ÷ c（其中c ≠ 0）。

2. 乘法法则：考虑到乘法运算的性质，对于任意实数a，b，c （其中c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a × c > b × c；- 若a < b，那么a × c < b × c。

3. 幂法则：考虑到幂运算的性质，对于任意实数a，b，c（其中a > 0，b > 0，c > 0），有如下排序不等式：- 若a > b，那么a^c > b^c；- 若a < b，那么a^c < b^c。

四、综合运用了解了常见的排序不等式后，我们来看几个综合的例子，进一步理解排序不等式的应用。

例1：比较两个不等式的大小关系：3 + 5 × 2和6 × 2 - 4。

排序不等式证明-概念解析以及定义

排序不等式证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对排序不等式的背景和重要性进行简要介绍。

以下是一个可能的概述部分的内容：在数学中，排序不等式是指一类关于数值大小顺序的不等式。

它们在数学推理和问题求解中具有重要的作用，并且在各个领域中都有广泛的应用。

排序不等式通过比较数值的大小关系，可以帮助我们理解和处理数学问题。

相比于其他类型的不等式，排序不等式通常具有更加明确和直观的形式，因此在解决数学问题时，我们往往会将其作为有力的工具。

通过排序不等式，我们可以确定数值的相对大小关系，从而得出更深入的结论。

排序不等式的证明方法也是数学学科中的一个重要研究方向。

由于排序不等式的普适性和实用性，人们一直在探索和发展各种证明方法，以便更加简洁和有效地证明这类不等式。

这些方法包括数学归纳法、反证法、推广法等，每一种方法都有其独特的优势和适用范围。

本文将围绕排序不等式的定义、性质和证明方法展开讨论。

首先，我们将介绍排序不等式的基本定义，探讨其数学背景和基本概念。

然后，我们将讨论排序不等式的性质，如传递性、反对称性等，以及这些性质在问题求解中的应用。

最后，我们将重点关注排序不等式的证明方法，介绍几种常用的证明技巧，并通过案例分析来说明其应用场景。

通过本文的研究，我们可以更深入地理解排序不等式的重要性，并掌握一些常用的证明方法。

同时，我们也能够认识到排序不等式在实际问题中的应用价值，并展望未来在这一领域的研究方向。

总而言之，排序不等式是数学中一个重要的概念和工具，具有广泛的应用前景。

本文旨在系统地介绍排序不等式的定义、性质和证明方法，以期读者能够更好地掌握和应用这一知识，拓宽数学思维和问题解决的能力。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行展开：1. 引言：首先对排序不等式进行概述，阐述其在数学和实际问题中的重要性。

2. 正文：对排序不等式进行详细的定义和解释，包括其性质和特点。

同时介绍排序不等式的证明方法，包括常用的数学归纳法、反证法等。

不等式及不等式选讲【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】(最新整理)

⑤ 若a b 0,则 b a ； ab
⑥ 若a b 0,则 a b ；
⑦ 若c a b 0,则 a b ； ⑧ 若a b, 1 1 ，则 a 0,b 0 。
ca cb
ab
其中正确的命题是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知 1 x y 1 ，1 x y 3 ，则 3x y 的取值范围是______
集为，则不等式 f (x)Ag(x) 0 的解集为______
（答： (,1) [2, ) ）；
（4）要使满足关于 x 的不等式 2x2 9x a 0 （解集非空）的每一个 x 的值至少满足不等式
x2 4x 3 0和x2 6x 8 0 中的一个，则实数 a 的取值范围是______.
2.定理 2 （向量形式）：设 α、β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|
（当且仅当 β 是零向量或存在实数 k，使 α＝kβ 时即共线，等号成立）
3.定理 3 （三角形式）：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22
4．若 ab 0 ， a b ，则 1 1 ；若 ab 0 ， a b ，则 1 1 。如
ab
ab
（1）对于实数 a,b, c 中，给出下列命题：
① 若a b,则ac 2 bc 2 ；
② 若ac 2 bc 2 ,则a b ；
③ 若a b 0,则a 2 ab b2 ；
④ 若a b 0,则 1 1 ； ab
2). 能成立问题
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A 成立,则等价于在区间 D 上 f x A ； max
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x B 成立,则等价于在区间 D 上的 f x B .如 min

柯西排序不等式及不等式证明.ppt

(a1b1 a2b2 a3b3 )2 ≤ (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) . ④解题的关键是找出两组数。
2. 二维形式的三角不等式：设 x1,y1,x2,y2 ∈ R, 那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
4.不等式的证明不等式证明方法除了前面介绍的比较法、综合法之外，还有分析法、放缩法、换元法、反证法、数学归纳法等。
例1.①设x、y满足2x2 3 y2 5,求A x 2 y的最值； ②设x y z 1,求A 2x2 3 y2 z2的最小值； ③设x 2 y 3z 7,求A 4 1 3 的最小值. x yz
1 1
a
由①②对一切自然数
有1
an
1 1
a
成立
[点评]与正自然数有关的数学命题常用归纳法证明。
运用数学归纳法证明要注意格式，要运用假设，配
凑假设，配凑结论。
例4.在ABC中，角A、B、C所对边a, b, c
证明： aA bB cC
3 abc 2
证明：不妨设a b c，于是A B C，由排序不等式： a A b B c C aA bB cC a A b B c C bA cB aC a A b B c C cA aB bC
1 3
即x
3 11
,
y
2 11
,
z
6 11
时,
A最小
6 11
x y z 1
③解法同上
当x 28 , y 7 7 2 27
,z 7 2 7
2
时，A最小
27
10 7
2
[点评]配凑出符合公式的形式，注意公式的正用逆用。在二次形式限制下，求一次函数的最值，在一次形式的条件下，求两次形式的最小值等。

不等式高次不等式和分式不等式的解法ppt

例子1
解析1
例子2
解析2
分式不等式的例子及解析
01
02
03
04
04
特殊类型不等式的解法
绝对值不等式具有一些特殊的性质，例如，如果$|a| > |b|$，那么$a^2 > b^2$。利用这些性质可以简化绝对值不等式的证明过程。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式的解法一般采用零点分段法，即根据绝对值的定义将不等式转化为若干个不等式组，然后分别求解。
优化问题
热力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述热力学中的某些不等关系，例如在热力学第二定律中，热量总是自发地从高温物体传导到低温物体。
力学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述两个物体之间的作用力和反作用力，例如在牛顿第三定律中，作用力和反作用力总是相等且方向相反。
电学
在物理学中，我们经常使用不等式来描述电路中的电压和电流之间的关系，例如在欧姆定律中，电流与电压成正比，与电阻成反比。
高次不等式的例子及解析
例子1
解不等式x^2 - 4x + 4 > 0
解析
原不等式转化为(x-2)^2 > 0，利用平方差公式可得解集为{x|x≠2}。
例子2
解不等式x^3 - x^2 - 2x + 2> 0
03
分式不等式的解法
定义
分式不等式是一种含有未知数的不等式，其分子是一个多项式，分母是一个多项式或一个一次式。
分解因式
将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式，便于求解。
高次不等式的定义
高次不等式的解法公式
利用平方差公式或者完全平方公式将高次不等式转化为几个一次不等式的积的形式。

分式不等式的证明方法与技巧

x + y 4 令 = t ( t > 0) , 则 t ≥ + 1 , 即 t2 - t - 4 z t
≥0 . 注意到 t > 0 , 解得 t ≥ 故
1 + 2
17
.
+
an ( a1 + a2 + … + an- 1 ) ( a1 + a2 + … + an ) = (
b x + y - z 1 = = tc + a 2z 2
4
同理 ,
b 2b ≥ , c + a a + b+c c 2c ≥ . a +b a + b+c
≤
1 . 2
当且仅当 a = b = c ≠0 时 , 上式等号成立 .
2) 记原不等式左边为 A , 则由柯西不等式 , 得
A [ a1 ( a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 ) + a2 ( a3 + 3 a4 + 5 a5 + 7 a1 ) + … + a5 ( a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 ) ]
1) 利用非负实数的性质 : a2 ≥0 ( a ∈ R) . 2) 利用基本不等式 . 均值不等式、柯西不等式、
的性质 . 例2 1) ( 2004 年北京市中学生数学竞赛试题) 已知 abc ≠0 , 求证 :
a4 b4 c4 4 4 + 4 4 4 + 4 4a + b + c 4b + c + a 4 c + a4 + b4

排序不等式课件

规律方法利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．
题型三利用排序原理求最值【例 3】设 a，b，c 为任意正数，求b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最小
值． [思维启迪] 由题中可得如下信息：①a，b，c 为正数．②b＋a c ＋c＋b a＋a＋c b不论 a，b，c 是由小到大还是由大到小都是一个顺序和，它不小于乱序和，a，b，c 的乱序有 4 个．可用两个乱序和之和得到常数，从而求出其最小值．
证明根据所需证明的不等式中 a，b，c 的“地位”的对称性，不妨设 a≥b≥c，则1a≤1b≤1c，bc≤ca≤ab. 由排序原理：顺序和≥乱序和，得： bac＋cba＋acb≥bcc＋caa＋abb. 即b2c2＋ca2bac2＋a2b2≥a＋b＋c，因为 a，b，c 为正数，所以 abc>0， a＋b＋c>0，于是b2c2＋a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc.
解不妨设 a≥b≥c，则 a＋b≥a＋c≥b＋c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，由排序不等式得， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b
上述两式相加得： 2b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥3，即b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 当且仅当 a＝b＝c 时， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b取最小值32.
排序不等式
题型一利用排序原理证明不等式
【例 1】已知 a，b，c 为正数，求证：b2c2＋a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc.
[思维启迪] 由题目可获取以下信息：①a，b，c∈R＋.②求证一个与排序有关的不等式．题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，解答本题时不妨设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．

分式不等式的解法步骤

分式不等式的解法步骤
嘿，朋友们！咱今儿来聊聊分式不等式的解法步骤哈。

你看这分式不等式，就好像是一道有点复杂的迷宫，咱得一步步找到出口。

先来说说第一步，那就是移项啦！把那些不在分式这边的家伙统统挪到一边去，就像整理房间一样，把东西都归归类。

比如说一个分式不等式，咱就把含未知数的都弄到一边，其他的扔到另一边。

这就好比把不同类型的玩具分开摆放，清楚明白！
然后呢，就是通分啦！这就像是给一群小伙伴排排队，让他们按照一定的规则站好。

通分之后，咱就能更清楚地看到它们之间的关系啦。

接下来这步可重要啦，就是化简！把那些能合并的都合并起来，能约分的都约分掉，让整个式子变得简单明了。

就像给一棵树修剪枝叶，让它的形状更漂亮。

再之后呢，就是判断符号啦！这可得仔细着点，就像走在路上得看清红绿灯一样。

要根据各种情况来确定符号的正负，可不能马虎哟！
最后一步，就是求出解集啦！就好像终于找到了迷宫的出口，那种感觉，爽歪歪呀！
你想想，解分式不等式不就跟咱解决生活中的难题一样嘛。

咱得有条有理地一步一步来，不能着急，不能马虎。

要是着急了，说不定就走错路啦；要是马虎了，那可就找不到正确答案咯！
所以啊，遇到分式不等式别害怕，按照这几步慢慢来，肯定能把它搞定。

就像咱平时做事一样，只要有耐心，有方法，啥困难都能解决！咱可不能被这小小的分式不等式给难住了呀，对吧？咱得有信心，有勇气，去攻克它！就这么办，加油！。