1.3倒格子-固体物理

方法2：利用
b2 2π a 3 a1 Ω
2π
b3 a1 a2 Ω
a2 a2 j
a1 a1 i
a1 a1 i
正格子
a2
a2
j
假定 a3 k ，则 Ω a1 a2 a3 a1a2
2π
2 2
b1 Ω a 2 a 3 a1a2 a2i a1 i
b2 2π Ω
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
倒格子 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
K n h1b1 h2b2 h3b3
每一个布拉菲格子都有一与之相对应的倒格子
一、倒格子定义
倒格子基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
同理得：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
FCC基矢：
a
a1 i j 2
a 2 a j k 2 a a3 k i
2
体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1b1 h2 b2 h3 b3 )
2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π ( i j )
2π
a i b j 2π ij
0
i j
3. Ω* 2π3 (其中和*分别为正、倒格子原胞体积)
Ω
Ω* b1 b2 b3
2π
3
a2 a3
a3 a1 a1 a2
Ω
A B C A C B A BC
a3
a1
a1
a2
A BC AC B AB C
a3
a1
a2
a1
a3
a1
a1
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
i jk
a a
aa
a a
a2 a3
a a 22
a 2
i
2 a
a a a
2
2 a
j
2 a
2
2
2 a
k
2 a
22
2 a
2
22 2
a2 a2
j k
22
a2 a3 a2 j a2 k 22
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
b1
2π Ω
a2 a3
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
后续讨论晶格振动、能带理论等都是在倒格子空间（波矢空间）
晶体结构=晶格+基元 一个晶体结构有两个格子，一个是正格子，另一个为倒格子。
正格子 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
a2
Ω a1
Ω*
2π 3
a2
a3
Ω
Ω
a1
2π3
Ω
4.倒格矢 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与正格子中晶面族(h1h2h3)
正交，且其长度为 2π 。(要求记住）
d h1h2h3
(1)证明 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3与晶面族(h1h2h3)正交。
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
a2 a1
a2 a2 j
a1 a1 i
a1 a1 i a2 a2 j
2π ( i j )
方法1：利用 ai b j 2π ij
0 (i j)
a2 b1 0
a1 b1 2
a
1
h1
a 2
h2
a3
h3
n d n d n d
a1 cos a1, n h1d a2 cos a2 , n h2d a3 cos a3 , n h3d
a1 cos a1, n h1d a2 cos a2 , n h2d a3 cos a3 , n h3d
的长度等于
。
d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
ai
bj
2 ij
d h1h2h3
a1 h1
•
Kh Kh
a1 h1b1 h2 b2 h3 b3
2π
h1
Kh
Kh
即：
2
d h1h2h3
h1b1 h2b2 h3b3
由此可见指数(h1h2h3)小的晶面系的面间距较大，这些 面上的原子排布比较密集，因为单位体积内的原子数目
cos a1 , n
h1 d a1
cos a 2 , n h2 d a2
cos a 3 , n h3 d a3
对于立方晶系： a1 a2 a3 a 且：a1a 2a 3
cos2 a1,n cos2 a2 ,n cos2 a3 ,n 1
d 2
a2 h2
1
a2 h2
倒格子基矢的方向和长度如何呢？ Nhomakorabea2π
b1 a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2
Ω
b3
a3
b2
a2
a1
Sd
b1
b1
a2 a3 2π
2π
Ω
d1
b2 2π d2
b3 2π d3
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它
的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒
Rl 是正格矢。
上式两边分别按傅里叶级数展开：
r (K h) eiKhr
h
r Rl
K ei K h rRl h
h
rr
eiKRl 1
K h Rl 2π
K h 一定是倒格矢。
倒格子线度的量纲为[米]1 ，而波矢的量纲也是[米]1，由倒格子 所组成的空间可理解为状态空间（K空间），而由正格子所组
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为
d h1h2h3 证明：
a h12 h22 h32
法一： 由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a1 ai,a2 a j,a3 ak,
b1 2π a2 a3 2π i
Ω
a
2π
2π
b2 a3 a1 j
b1 2π i a1
a1 b2 0
a2 a2 j
a1 a1 i
正格子
b2
2π a2
2π a1
b1
倒格子
a2 b2 2π
K h h1 b1 h2 b2 3b1 2b2
b2 2π j a2
倒格子是边长分别为 2π , 2π 的长方形格子。 a1 a2
2π
b1 a2 a3 Ω
成的空间是位置空间或称为坐标空间。
晶体结构
正格子
1.Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
2.与晶体中原子位置 相对应； 3.是真实空间中点的周 期性排列；
4.线度量纲为[长度]
5.位置或坐标空间
倒格子
1. K n h1b1 h2b2 h3b3
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
rr (h1b1 h2 b2
h3 r h3b3 )
r h3b3 )
r a1 hr1 a2 h2
r a3 hr3 a3 h3
0 0
a1
所以 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3与晶面族(h1h2h3)正交。
2π
(2)证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3
1
a2 h2
1
1
d h1h2h3
a h12 h22 h32
选择=结果
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二、倒格子与正格子的关系
1. a i b j 2π ij 2π ( i j )
0 i j
a1 b1 a1 2π a 2 a 3 Ω
2π
a1 b2 a1 2π a3 a1 Ω
0
2. Rl K h 2π (为整数)
其中Rl和K h分 别为正格点位矢和倒格点位矢。
2π
a
d K h1h2h3
h1h2h3
h12 h22 h32
注：这样求出的面间距只适用于布拉菲格子，对于复式 格子其面间距要进行换算。
法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面， ABC在基矢a1 ,a2 ,a3上的截距分别为 a1 , a2 , a3 ，
h1 h2 h3
由平面方程 X n d 得：
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知：
CA OA OC a1 a3
C Kh
h1 h3
B a2
CB OB OC a2 a3
O
A
K K
h h
CA CB
r
rh2
(h1b1 h2 b2
Ω
a
2π
2π
b3 a1 a2 k
Ω
a
b1 2π i a 2π
b2 j a
b3 2π k a
b1 2π i a
b2 2π j a
K h1h2h3 h1 b1 h2 b2 h3 b3
2π
a
h1 i h2 j h3 k
b3 2π k a
2π K a h1h2h3
h12 h22 h32
a3 a1
2
a1a2
a1 j
2
a2
j
例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a 3 a i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
其中a1 , a2 , a3 是正格子基矢，
Ω a1 a2 a3
是正格子原胞的体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点
的列阵即为倒格子。
倒格点在倒空间里完全呈周期性排列,每个倒格点周围环境完全相 同。每个倒格子都是倒空间里的 布拉菲格子。
是一定的。
在实际应用中常选用单胞坐标系，即以 a,b,c 为基矢
a 2π b c Ω
b 2π c a Ω
c 2π a b Ω
Ω (ab )c
K hkl ha kb lc
三、倒格子与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
5. 波矢或状态空间
已知晶体结构如何求其倒格子呢？
晶体 结构
正格子
正格子 基矢
倒格子 基矢
倒格子
2π
b1 a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 ,a2 ,a3 b1 ,b2 ,b3
2π ( i j )
ai b j 2π ij 0 i j
一倒格子定义二倒格子与正格子的关系三倒格子与傅里叶变换前面讨论原子基元在坐标实位置空间中的排列正格子正空间从坐标的倒易空间即波矢k空间看晶体结构倒空间后续讨论晶格振动能带理论等都是在倒格子空间波矢空间晶体结构晶格基元一个晶体结构有两个格子一个是正格子另一个为倒格子
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义 二、倒格子与正格子的关系 三、倒格子与傅里叶变换