人教版数学八年级 下册：第十七章 勾股定理(共两套)(含答案与解析)

第十七章 勾股定理 综合测试（一）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1
2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（ ） A .②
B .①②
C .①③
D .②③
2.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ） A .7
B .6
C .5
D .4
3.如图17-7，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()23-,
，以点O 为圆心，OP 为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ） A .4-和3-之间
B .3和4之间
C .5-和4-之间
D .4和5之间
4.如图17-8，在Rt ABC △中，30A ∠=︒，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于点D ，点E 是垂足，连接CD ，若1BD =，则AC 的长是（ ）
A .
B .2
C .
D .4
5.如图17-9，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，那么需要爬行的最短距离是（ ）
A .
B .25
C .5
D .35
6.有一长、宽、高分别为5cm, 4 cm,3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形状忽略不计），要求木条不能露出木箱.请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）
cm
cm
C.
D.
二、填空题（每小题6分，共24分）
7.一个三角形的三边长分别是2 m ，则它的三个内角中最大的角是____度. 8.如图17-10，在ABC △中，D 为BC 边上一点，且3BD =，5DC AB ==，4AD =，则AC=_______.
9.如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222506810a b c a b c +++=++，那么ABC △是_______三角形.
10.如图17-11，已知ABC △的三边长分别为6cm, 8 cm,10cm 分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为_______. 三、解答题（共46分）
11.（11分）如图17-12，已知等腰三角形ABC 的底边13 cm BC =，
D 是腰AB 上一点，且12 cm CD =， 5 cm BD =.
（1）求证：BDC △是直角三角形； （2）求ABC △的面积.
12.（11分）如图17-13，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，
1CD =，7AD =，90B ∠=︒.
（1）判断D ∠是不是直角，并说明理由； （2）求四边形ABCD 的面积.
13.（12分）如图17-14，ABC △是小新家门口的一块空地，三边的长分别是13 m AB =，
14 m BC =，15 m AC =.现准备以每平方米50元的价格请承包商种植草皮，问：共需要多少费用？
14.（12分）如图17-15，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点.已知60BAC ∠=︒，
45DAE ∠=︒，点D 到地面的垂直距离3 2 m DE =.求点B 到地面的垂直距离BC .
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.底边长为10cm，底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为（）
A.12cm
B.13cm
C.14cm
D.15cm
2.下列各组数中，是勾股数的是（）
A.5，6，7
B.40，41，9
C.
1
2
，1，
3
2
D.0.2，0.3，0.4
3.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三条边长为（）
A.13
B.119
C.13或119
D.不能确定
4.在Rt ABC
△中，=90
C︒
∠，9
AC=，12
BC=，则点C到AB的距离是（）
A.
36
5
B.
12
25
C.
9
4
D.
33
4
5.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形。

如图所示，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则中间小正方形与大正方形的面积的比值是（）
A.
1
2
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
10
6.已知ABC
△的三边长分别为a，b，c，且满足()()
22
17|15|80
a b c
-+-+-=，则ABC
△是（）A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.不是直角三角形
7.如图所示，在ABC
△中，CD AB
⊥，D为垂足，且17
BC=，15
BD=，6
AD=，则AC的长为（）
A.10
B.9
C.8
D.7
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的最大长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是（）
A.16
B.15
C.14
D.13
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.把命题“如果a b
＞，那么()0
ac bc c≠
＞”的逆命题改写为“如果……那么……”的形式：________。

10.如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的周长为________。

第5题图第7题图第8题图
第10题图第11题图
第12题图
第十七章勾股定理综合测试（二）
11.如图所示，在Rt ABC △中，90B =︒∠，
沿AD 折叠，使点B 落在斜边上AC 上，若3AB =，4BC =，则BD =________。

12.如图所示，在Rt ABC △中，90ACB =︒∠，3AC =，4BC =，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD =________。

13.为了求出湖两岸A ，B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使ABC △恰好为直角三角形（90B =︒∠），如图所示，通过测量得AC 长为160 m ，BC 长为128 m ，则A ，B 两点之间的距离为________m 。

14.如图所示，已知ABC △是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt
ABC △的斜边AC 为直角边，画第2个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第3个等腰
Rt ADE △……以此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________。

三、解答题（44分）
15.（10分）已知ABC △的三边长分别为22m n -，2mn ，
22m n +（m ，n 为正整数，且m n ＞），判断ABC △是否为直角三角形。

16.（10分）如图所示，AC BD ⊥，O 为垂足，试说明
2222AB CD AD BC +=+。

17.（12分）某地发生7.0级地震。

一解放军小分队接到上级通知后，参加抗震救灾工作。

他们从A 地出发，沿北偏东45°方向行进5 3 km 到达B 地，再沿北偏西45°方向行进5 km 到达目的地C ，如图所示.求A ，C 两地之间的距离。

18.（12分）如图所示，ABC △是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，E ，
F 分别是AB ，AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长。

第13题图
第14题图
第十七章 勾股定理 综合测试（一）
答案解析
1.【答案】D
【解析】因为①22223134+=≠，②222345+=，③22212+=，所以能构成直角三角形的有②③. 2.【答案】C
【解析】如答图17-1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，所以
1
32
BD CD BC ===.
因为AD 同时是BC 边上的高，所以5AB =
=.
3.【答案】A
【解析】因为点P 坐标为()2,3-，所以OP =
=因为点A ，P 均在以点O
为圆心，OP 为半径的圆上，所以OA OP ==又因为91316＜＜，所以34.因为点A 在x 轴的负半轴上，所以点A 的横坐标介于4-和3-之间。

4.【答案】A
【解析】因为30A ∠=︒，90B ∠=︒，所以180309060ACB ∠=︒-︒-︒=︒. 因为DE 垂直平分斜边AC ， 所以AD CD =.
所以30A ACD ∠=∠=︒. 所以603030DCB ∠=︒-︒=︒.
因为1BD =，所以2CD AD ==.所以123AB =+=. 在Rt BCD △中，由勾股定理，得
CB ===
在Rt ABC △中，由勾股定理，得
AC =
===.
5.【答案】B
【解析】将长方体展开，连接AB ，根据两点之间线段最短求解。

（1）如答图17-2①，10515BD =+=，20AD =，
由勾股定理，得25AB =
===.
（2）如答图17-2②，5BC =，201030AC =+=，
由勾股定理，得AB =
===
（3）如答图17-2③，10AC =，20525BC -+=，
由勾股定理，得AB =
===
由于25＜B .
6.【答案】C
【解析】如答图17-3，连接EG ，CE .由题意可知， 4 cm FG =， 5 cm EF =， 3 cm CG =，在Rt EFG △中，由勾股定理，得
EG ===
在Rt EGC △中，EG =， 3 cm CG =
由勾股定理，得
CE ====.
7.【答案】90
【解析】因为22242+==，所以这个三角形是直角三角形。

所以它的三个内角中最大的角是90︒.
8.【解析】因为3BD =，5DC AB ==，4AD =，且222345+=， 所以ABD △是直角三角形. 所以ACD △是直角三角形.
所以AC =
==
9.【答案】直角
【解析】因为222506810a b c a b c +++=++， 所以2226810500a b c a b c ++---+=.
所以()()(2226981610 25)0a a b b c c -++-++-+=. 即222(a 3)(4)(5)0.b c -+-+-= 因为222(a 3)(4)0,(00.,5)b c ---≥≥≥ 所以30,40,50a b c -=-=-= 所以3a =，4b =，5c =，
22222234255a b c +=+==-.
所以ABC △为直角三角形。

10.【答案】224 cm
【解析】因为以BC 为直径的半圆的面积是()2
218π8πcm 22⎛⎫
⋅= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆的面积是()2
2169ππcm 222⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 以AB 为直径的半圆的面积是()2211025ππcm 222
⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， ABC △的面积是()21
1
6824cm 2
2AC BC ⋅=
⨯⨯=. 所以阴影部分的面积是()29π25π
8π2424cm 22
-=.
11.【答案】（1）证明：因为13 cm BC =，12 cm CD =， 5 cm BD =， 所以222BC BD CD =+. 所以BDC △为直角三角形。

（2）解：设 cm AB x =，因为ABC △是等腰三角形， 所以 cm AB AC x ==.
因为BDC △为直角三角形，所以ADC △也为直角三角形.
所以222AD CD AC +=.
所以22
2512x x =-+（），解得169
10
x =
， 所以1
2
ABC S AB CD =
⋅△ 116912210=⨯⨯ ()2507cm 5
=. 12.【答案】解：（1）如答图17-4，连接AC . 因为90B ∠=︒，
所以222448AC BA BC =+=+=.
因为222218DA CD +=+=， 所以222AC DA CD =+.
所以ADC △是直角三角形，且D ∠是直角.
（2）因为ABC ADC ABCD S S S =+△△四边形,
所以1111221222222
ABCD S AB BC AD CD =
⋅+⋅=⨯⨯+=+
四边形 13.解：如答图17-5，过点A 作AD BC ⊥，设 m BD x =，则14m DC x =-（）.
因为在Rt ABD △与Rt ACD △中，由勾股定理，得22222AB BD AD AC DC -==-，即
2222
131514x x -=--（）
，解得5x =，
所以12(m)AD ==. 所以()211
141284m 22
ABC S BC AD =
⋅=⨯⨯=△. 所以共需要费用5084 4 200⨯=（元）. 答：共需要4200元。

14.解：在Rt DAE △中，因为45DAE ∠=︒，
所以45ADE DAE ∠=∠=︒，AE DE ==
所以2222236AD AE DE =+=+=. 所以6AD =，即梯子的总长为6 m . 所以6AB AD ==.
在Rt ABC △中，因为60BAC ∠=︒， 所以30ABC ∠=︒. 所以1
32
AC AB =
=. 所以222226327BC AB AC =-=-=.
所以BC =
=
所以点B 到地面的垂直距离BC 为.
第十七章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】由等腰三角形三线合一性质可知底边一半长为 5 cm ，由勾股定理求得腰长为
13=（cm ）．
2.【答案】B
【解析】A 选项中，2225+67≠．C ，D 两选项中的数不是正整数．
3.【答案】C
【解析】当第三边为斜边时，其长为13；当12为斜边长时，第三边的长为
．
4.【答案】A
【解析】如图所示，作CD AB ⊥于点D ，在Rt ABC △中，由勾股定理，得
15AB ===． 又∵11=22
ABC S AC BC AB CD =
g g △， ∴91236155
AC BC CD AB ⨯===g ， 即点C 到AB 的距离是365．
5.【答案】C
【解析】大正方形的边长就是直角三角形的斜边长．
，所以2==20S 大正方形．
又因为小正方形的边长为422-=，所以其面积为4．
所以:=4:201:5S S =小正方形大正方形．
6.【答案】A
【解析】因为()()22
17|15|80a b c -+-+-=，
且()2170a -≥，|15|0b -≥，()280c -≥，
所以170a -=，150b -=，80c -=．
所以17a =，15b =，8c =．
又因为22281528917+==，
所以ABC △是以a 为斜边的直角三角形．
7.【答案】A
【解析】在Rt ABC △中，8CD ．
在Rt ACD △中，10AC =
==．
8.【答案】D
．
二、
9.【答案】如果()0ac bc c ≠＞，那么a b ＞
【解析】根据命题写出它的逆命题，即原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设．
10.【答案】【解析】在网格中分别以AB ，BC ，CD ，AD 为斜边沿格线构造直角三角形，根据勾股
定理，得DA =AB =BC =，CD =
所以四边形ABCD 的周长为AB BC CD DA +++=
11.【答案】32
【解析】如图所示，设B 点的对应点为B '，连接DB '．由勾股定理，得5AC =．因为AB AB '=，所以532B C '=-=．设BD DB x '==，则4DC x =-．在Rt DB C '△中，利用勾股定理，得()22224x x +=-，解得32
x =，即32BD =．
12.【答案】2
【解析】由勾股定理，得5AB ===．
又因为3AD AC ==，所以532BD AB AD =-=-=．
13.【答案】96
【解析】因为22222216012896AB AC BC =-=-=，所以96 m AB =．
14.
【答案】n
【解析】第1个等腰直角三角形，直角边长是1
，第2个等腰直
2
，第
3个等腰直角三角形，直角边长为2
3
，故第n 个等腰直角三角形的斜边长为n
． 三、
15.【答案】是直角三角形．理由：
()()()22
22422422
4224
2222242m n mn m m n n m n m m n n m n -+=-++=++=+，
所以ABC △是直角三角形．
16.【答案】因为AC BD ⊥于点O ，
所以AOB △，AOD △，COD △，BOC △均是直角三角形，
所以222AB OA OB =+，222CD OC OD =+，222AD OA OD =+，222BC OC OB =+． 又因为2222220AB CD A OB OC OD +=+++，222222AD BC OA OD OC OB +=+++， 所以2222AB CD AD BC +=+．
17.【答案】由题意，知45ABN =︒∠．
因为45CBM =︒∠，所以90
ABC =︒∠．
在Rt ABC △
中，因为AB
=， 5 km BC =，所以10
AC =
==（km ）．
18.【答案】如图所示，连接AD ．
因为90BAC =︒∠，AB AC =， AD 为ABC △的中线，所以AD CD DB ==，AD BC ⊥，
且45BAD C ∠=∠=︒．
因为90EDA ADF ∠+∠=︒，
90FDC ADF ∠+∠=︒，
所以EDA FDC ∠=∠．
所以AED CFD △≌△（ASA ）．
所以5AE CF ==．
所以12
==．
AF BE
△中，根据勾股定理，得
在Rt AEF
222222
51213
=+=+=，所以13 EF AE AF
EF=．。