最新人教版七年级上册数学 有理数(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离. ,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为 .
请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是________.
（2）点，，在数轴上分别表示数、、 ,那么到点 .点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点 .点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.
（3）的最小值为_ __.
【答案】（1）2；1或7
（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2
（3）3
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；
数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，
∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，
当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，
故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.
当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3
故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；
（2）同理可求解；
（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.
2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.
老师点评：你的演算发现还不完整!
请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？
【答案】（1）2
（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，
∵AM＝2BM，
∴m﹣a＝2（b﹣m），
∴2﹣a＝2（b﹣2），
∴a+2b＝6，
∴a+2b+20＝6+20＝26；
②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.
当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（b﹣m），
∴m+2＝3b﹣3m，
∴3b﹣4m＝2，
∴代数式3b﹣4m是一个定值.
当点M在点B右侧时，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（m﹣b），
∴m+2＝3m﹣3b，
∴2m﹣3b＝2，
∴代数式2m﹣3b也是一个定值.
【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.
3．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：
（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；
（2）若|x-2|=4，求x的值；
（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.
【答案】（1）解：|4-（-2）|=6
（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6
（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的
整数x=-2，-1，0，1，2，3；
当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5
【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.
4．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”
（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；
另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；
你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿
求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M
（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________
【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为
点C与点D之间的距离为
（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为
【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。

原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。

列出等式代数求值即可。

5．观察下面的式子：
, , ,
（1）你发现规律了吗？下一个式子应该是________；
（2）利用你发现的规律,计算：
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= .
【解析】【解答】（1）根据规律，下一个式子是：
【分析】（1）规律：两个自然数（0除外）的乘积的倒数等于这两个自然数倒数的差，据此写出结论即可；
（2）利用规律将原式转化为加减运算，然后利用加法结合律进行计算即可.
6．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。

（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；
（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。

【答案】（1）<；=；>；<
（2）a-b
（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，
∴原式=0+a-c-（-b）+c-b
=a.
【解析】【解答】解：（1）b＜0
∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，
∴a+b=0；
∵a＞c，
∴a-c＞0；
∵b＜c，
∴b-c＜0.
故答案为：＜、=、＞、＜.
（2）∵b＜1，a＞1
∴b-1＜0，a-1＞0，
∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；
故答案为：a-b；
【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。

（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。

（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。

7．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a﹣40|+（b+8）2＝0．点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段AB的长为________．（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则点C在数轴上表示的数为________．
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P 到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
【答案】（1）40；﹣8；48
（2）8或﹣40
（3）解：（i）当0＜t≤8时，点Q还在点B处，
∴PQ＝t＝4；
（ii）当8＜t≤12时，点P在点Q的右侧，
∴
解得：；
（iii）当12＜t≤48时，点P在点Q的左侧，
∴3（t﹣8）﹣t＝4，
解得：t＝14，
综上所述：当t为4秒、10秒和14秒时，P、Q两点相距4个单位长度．
【解析】【解答】解：（1）∵|a﹣40|+（b+8）2＝0，
∴a﹣40＝0，b+8＝0，
解得a＝40，b＝﹣8，
AB＝40﹣（﹣8）＝48．
故点A表示的数为40，点B表示的数为﹣8，线段AB的长为48；（2）点C在线段AB 上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝48× ＝32，
点C在数轴上表示的数为40﹣32＝8；
点C在射线AB上，
∵AC＝2BC，
∴AC＝40×2＝80，
点C在数轴上表示的数为40﹣80＝﹣40．
故点C在数轴上表示的数为8或﹣40；
【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性即可求出a、b的值，可得点A表示的数，点B表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段AB的长；（2）分两种情况：点C在线段AB上，点C在射线AB上，进行讨论即可求解；（3）分0＜t≤8、8＜t≤12，12＜t≤48三种情况考虑，根据P，Q移动的路程结合PQ＝4即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
8．（阅读理解）：A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB 的2倍，我们就称点C是（A，B）的好点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离CA是2，到点B的距离CB是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离DA是1，到点B的距离DB是2，那么点D就不是（A，B)的好点，但点D是（B，A)的好点.
（知识运用）：（1)如图1，表示数______和_______的点是（A，B）的好点；
【答案】1|5
（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4.
①表示数________的点是（M，N)的好点；
②表示数________的点是（N，M)的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
【答案】（1）2或10；0或
（2）解：设点P表示的数为n，则
①P为（A，B）的好点时，有：，
解得：，则秒；
②P为（B，A）好点时，有两种情况：
当点P在A、B之间时，有：，
解得：，则秒；
当点P在A点左边时，有：，
解得：，则秒；
③点B是（A、P）的好点时，有：，
解得：，则秒；
④点A是（B，P）的好点时，有：，
解得：，则秒；
⑤点A是（P，B）的好点时，有：，
解得：，则秒.
综合上述，当t为10秒或15秒或20秒或50秒或60秒或80秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【解析】【解答】解：（1）设所求数为x，则
①当好点在A、B之间时，有：，解得：；
②当好点在B的右边时，有：，解得：；
∴表示数1和数5的点是（A，B）的好点；
故答案为：1；5.
当好点在M、N之间时，有：，解得：；
当好点在N的右边时，有：，解得：；
∴表示数2或10的点是（M，N)的好点；
故答案为：2或10；
②设所求数为z，则
当好点在M、N之间时，有：，解得：；
当好点在M的左边时，有：，解得：；
∴表示数0或的点是（N，M)的好点；
故答案为：0或；
【分析】（1）设所求数为x，可分为：①当好点在A、B之间；②当好点在B点右边，根据好点的定义，列出方程，解方程即可；（2）①与（1）同理，可分为好点在M、N之间和N的右边，两种情况进行计算即可；②与（1）同理，可分为好点在M、N之间和点M 的左边，两种情况进行计算即可；（3）根据好点的定义可知分五种情况：①P为（A，B）的好点；②P为（B，A）的好点；③点B是（A、P）的好点；④点A是（B，P）的好点；⑤点A是（P，B）的好点；设点P表示的数为n，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值．
9．点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c .
（1）若a=﹣2，b=4，c=8，D为AB中点，F为BC中点，求DF的长.
（2）若点A到原点的距离为3，B为AC的中点.
①用b的代数式表示c；
②数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变，求b的值.
【答案】（1）解：∵a=﹣2，b=4，c=8,
∴AB=6，BC=4，
∵D为AB中点，F为BC中点，
∴DB=3，BF=2，
∴DF=5
（2）解：①∵点A到原点的距离为3且a＜0，
∴a＝﹣3，
∵点B到点A，C的距离相等，
∴c-b＝b-a,
∵c﹣b＝b﹣a,a＝﹣3,
∴c＝2b+3,
答:b、c之间的数量关系为c＝2b+3.
②依题意，得x﹣c＜0，x-a＞0，
∴|x﹣c|＝c﹣x，|x-a|＝x-a，
∴原式＝bx+cx+c﹣x﹣5（x-a）＝bx+cx+c﹣x﹣5x+5a＝（b+c﹣6）x+c+5a,
∵c＝2b+3,
∴原式＝（b+2b+3﹣6）x+c+5×（﹣2）＝（3b﹣3）x+c-10,
∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与x无关,
∴3b﹣3＝0，
∴b＝1.
答：b的值为1
【解析】【分析】（1）先求出AB、BC的长，然后根据中点的定义计算即可；（2）①由B为AC的中点可得，AB=BC，然后根据点B到点A，C的距离相等列式求解即可；
②先去绝对值化简，然后根据当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即可求出x的值.
10．已知M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c.
（1）则a＝________，b＝________，c＝________.
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C 的距离和为40个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点
P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当＜t＜时，求2|x P ﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|的值.
【答案】（1）﹣24；﹣10；10
（2）解：①当点P在线段AB上时，14＋（34﹣4t）＝40，解得t＝2.
②当点P在线段BC上时，34＋（4t﹣14）＝40，解得t＝5，
③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t-14）+（4t-34）=40，解得t= ,不符合题意，排除，
∴t＝2s或5s时，P到A、B、C的距离和为40个单位.
（3）解：当点P追上T的时间t1= .
当Q追上T的时间t2= .
当Q追上P的时间t3= =20，
∴当＜t＜时，位置如图，
∴2|x P﹣x T|＋|x T﹣x Q|＋2|x Q﹣x P|
＝2(3t－14)＋34－4t＋2(20－t)6t－28＋34－4t＋40－2t
＝74－28
＝46.
【解析】【解答】解：（1）∵M＝（a＋24）x3﹣10x2＋10x＋5是关于x的二次多项式，∴a＋24＝0，b＝﹣10，c＝10，∴a＝﹣24，
故答案为﹣24，﹣10，10.
【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）分三种情形，分别构建方程即可解决问题；（3）当点P追上T的时间t1= .当Q追上T的时间t2=
.当Q追上P的时间t3= =20，推出当＜t＜时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题.
11．把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2019−x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合，例如{0，2019}就是一个黄金集合，
（1）集合{2019}________黄金集合，集合{−1，2020}________黄金集合.(填“是”或“不是”) （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合是否存在最小的元素?如果存在，请求出这个最小元素，否则说明理由；
（3）若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，则该黄金集合中共有多少个元素?请说明你的理由.
【答案】（1）不是；是
（2）解：一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是−2000.
∵2019−a中a的值越大，则2019−a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则最小的元素为：2019−4019=−2000.
（3）解：该集合共有16个元素。

理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2019−a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个.
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2019−a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，
∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个).
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得,2019−2019=0,而集合{2019}中没有元素0,故{2019}不是黄金集合；
∵2019−2020=−1，
∴集合{−1,2020}是黄金集合。

故答案为：不是，是
【分析】（1）根据定义有理数2019是集合的元素时，2019-2019=0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2019−2020=−1时可知，-1在集合内，则问题可解；（2）根据定义，集合中较小的数为2019-4019=-2000；（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2019，然后通过估算即可解答本题．
12．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据
以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.
①用代数式表示A、B两点之间的距；
②如果 ,求x的值.
（3）直接写出代数式的最小值.
【答案】（1）3；3
（2）解：①|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2,x＋1＝2或x＋1＝－2,解得x＝1或x＝－3.
（3）解：∵代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和,∴当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是:|4－(－1)|＝5.
【解析】【解答】解：(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3;数轴_上表示－2和－5的两点之间的距离是:｜(－2)－(－5)｜＝|－2＋5|＝ |3|＝3.
【分析】(1)根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3 ;数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是:|(－2)－(－5)|＝3；(2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和－1,可得表示A、B两点之间的距离是：|x－(－1)|＝|x＋1|；②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2 ,据此求出x的值是多少即可.(3)根据题意,可得代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和，所以当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是表示4的点与表示－1的点之间的距离,即代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是5.。