江西省2017届高三7月联考理数试题Word版含答案

数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
212i
i +-的共轭复数为( ) A ．35i - B ．35i C ．i -
D ．i
2．“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
3．给定函数①12
y x =②()12
log 1y x =+③1y x =-④1
2x y +=，其中在区间()0,1上单调
递减的函数序号是( ) A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4．,a b 是两个向量，1,2==a b 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A ．22cm
B ．3
3cm
C ．3
33cm
D ．33cm
6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且123410,26a a a a +=+=，则过点(),n P n a 和
()()*21,n Q n a n N ++∈的直线的一个方向向向量是( )
A ．1,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
B ．()1,2--
C ．12,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,42⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( ) A ．3-
B ．0
C ．3
D ．3363
8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．35种
B ．24种
C ．18种
D ．9种
9．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫
=+++><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )
A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减
B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
D ．()f x 在3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 10．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运
动一周，记走过的弧长¼
AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设,x y满足约束条件
230
2340
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≥
⎩
，若目标函数z ax by
=+（其中0,0
a b
>>）
的最大值为3，则12
a b
+的最小值为(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．点(),0
F c为双曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆
22
2
39
c b
x y
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
相切于点Q，且2
PQ QF
=
u u u r u u u r
，则双曲线的( )
A．2B．3C．5D．2
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．已知偶函数()
f x在[)
0,+∞单调递减，()20
f=，若()10
f x->，则x的取值集合是______．
14．已知
6
0,
a x
x
⎫
>-
⎪
⎝⎭
展开式的常数项为15，则()
22
1
a
a
x x x dx
-
++-=
⎰______．15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．
16．已知函数()()
ln
f x x x ax
=-有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．（本小题满分12分）
在ABC
∆中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足
22cos 22sin 2sin 23sin sin 1A B C B C ++-=．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若3,4b c ==，求ABC ∆的外接圆的面积． 18．（本小题满分12分）
下图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090:分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095:分数段内的人数n ；
（Ⅱ）现欲将9095:分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为3
5
，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且AC BD =，平面PAD ⊥平面
ABCD ，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB P 平面AEC ；
（Ⅱ）在PAD ∆中，2,23,4AP AD PD ===，三棱锥E ACD -的体积是3，求二面角D AE C --的大小．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>右焦点为()2,0F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，
且MOF ∆是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且
128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
．
21．（本小题满分12分） 设函数()()()ln 1
,2
ab x f x g x x a b x =
=-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠）
，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-． （Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线
()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l
的参数方程为2242
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（
t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．
（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()4
0f x x x m m m
=-
++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；
f>，求m的取值范围．（Ⅱ）若()25
江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题
参考答案
1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC 13．()1,3- 14．
232π+ 15．41π-
16．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
17．解：（Ⅰ）∵2
2
cos 22sin 2sin 23sin sin 1A B C B C ++-=， ∴2
2
2
sin sin sin 3sin sin B C A B C +-= 由正弦定理得2
2
2
3b c a bc +-=
由余弦定理得2223
cos 22
b c a A bc +-==，
又
∵
0A π
<<，∴
6
A π
=
………………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵222
3
2cos 31623472
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴7a =
由正弦定理得7
227sin 2
a R A
=
==，
18．解：（Ⅰ）8090:分数段的毕业生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=， 此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数21
600.35
N =
= ()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，
所
以
9095
:分数段内的人数
600.16n =⨯=．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）9095:分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生6x -名． 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，
则()262
6315
x
C P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人，女生4
人．………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．
当0ξ=时，()3
4361
05
C P C ξ===；
当1ξ=时，()12243
63
15C C P C ξ===； 当2ξ=时，()21243
61
25
C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为
ξ
0 1 2
()P k ξ=
15
35 15
所
以
随
机
变
量
ξ
的数学期望为
()131
0121555
E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO PB P ．
EO ⊂
平面
AEC
，
PB ⊄
平面
AEC
，所以PB P 平面
AEC ．……………………………………………5分
（Ⅱ）因为在PAD ∆
中，2,4AP AD PD ===，
所以222AP AD PD +=，所以90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，
在平行四边形ABCD 中，AC BD =，所以ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB u u u r
的方向为x 轴的正方向，AP u u u r 为单位长，建立空间直角坐标
系A xyz -，
因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为
12
， 设()0AB m m =>，三棱锥E ACD -的体积11
231332
V m =⨯⨯⨯=，解得
3m AB ==．
则()(
)()()0,0,0,0,23,0,3,1,3,1A D E AE =u u u r
，
设()3,0,0B ，则(
)()3,2
3,0,3,23,0C AC =．
设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，
则110,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r n n ，即11113230,
30,
x z ⎧+=⎪+=可取1233=-⎝n 又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，
由题设12121223
1
3cos ,2
43⋅=
==n n n n n n ， 即
二
面
角
D A
E C
--的大小是
60︒．…………………………………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由MOF ∆是等腰直角三角形，得2
2
2
4,8c b a ===，
故椭圆方程为
22
184
x y +=．……………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±． 设()()1122,,,A x y B x y ，
由22
184x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=． 则2121222
428
,1212km m x x x x k k -+=-=++．
由已知128k k +=，可得
1212
22
8y y x x --+=， 所以
1212228kx m kx m x x +-+-+=．所以42mk k m -=+，整理得1
22
m k =-．
故直线AB 的方程为122y kx k =+
-，即122y k x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
所以直线AB 过定点1,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
． （2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,,A x y B x y -，由已知
0000228y y x x ---+=，得01
2
x =-， 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
． 综
上
，直
线
AB 过定点
1,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
．…………………………………………………………………………12分 21
．
解
：
（
Ⅰ
）
由
()ln ab x
f x x
=
，得
()()21ln ab x f x x -'=
，……………………………………………1分 由题意得()1f ab ae '==，……………………………………………………………………………………2分
∵0a ≠，∴b e =；……………………………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()
x a x e h x x --'=，…………………………………………………………………………
……………5分 ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e
<<， 此时()h x 在1
,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增，
∵()()2211ln 022
h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭
，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需
()()22221221111ln 022e e e a a e h ae e e e e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即
()
2
21221e a e e -≤+，……………………7分
②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e
<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x 在(),a e 上单调递减，在1
,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增．
此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =-
--<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分
③当a e >时，由()0h x '>得1x e e
<<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分
综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦
．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()2
20y ax a =>； 直线l 的普通方程为20x y --=．……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得
(
()()224840t a a -+++=*
()840a a ∆=+>．
设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根． 则1212,,PM t PN t MN t t ===-．
由题设得()21212t t t t -=，即()2
1212124t t t t t t +-=．
由（*）得(
()121224840t t a t t a +=+=+>，则有
()
()24540a a +-+=，得1a =，或4a =-． 因为0a >，所以1a =．………………………………………………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）由0m >，有()4444f x x x m x x m m m m m ⎛⎫=-++≥--++=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当4
m m =，即2m =时取“=”．所
以()4f x ≥．…………………………………………………4分
（Ⅱ）()4
222f m m =-++．
当4
2m <，即2m >时，()4
24f m m =-+，由()25f >，得m >． 当4
2m ≥，即02m <≤时，()4
2f m m =+，由()25f >，得01m <<．
综上，m 的取值范围是
()10,1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
U ．…………………………………………………………10分。