九年级上册郴州数学期末试卷专题练习(解析版)

九年级上册郴州数学期末试卷专题练习（解析版） 一、选择题 1．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）
A ．7 : 12
B ．7 : 24
C ．13 : 36
D ．13 : 72 2．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1）
C ．（2，1）
D ．（2，－1） 3．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）
A ．m 1≠.
B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠.
4．如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（14
，1），（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）
A ．14-≤b ≤1
B ．54-≤b ≤1
C ．94-≤b ≤12
D ．94
-≤b ≤1 5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，D 为圆周上一点，若BC 的度数为50°，则∠ADC 的度数为 （ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．50°
6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．
的是( )
A ．12DE BC =
B ．AD AE AB A
C = C ．△ADE ∽△ABC
D ．:1:2AD
E ABC S S =
7．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；
8．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
9．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（ ）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
10．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A ．都含有一个40°的内角
B ．都含有一个50°的内角
C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角 11．如图，在正方形 ABCD 中，
E 是BC 的中点，
F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论： ①∠BAE ＝30°；
②射线FE 是∠AFC 的角平分线；
③CF ＝13
CD ； ④AF ＝AB ＋CF ．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．110°
二、填空题
13．如图，若抛物线2
y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.
14．抛物线286y x x =++的顶点坐标为______.
15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.
16．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
18．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸
出红球的概率为
23
，则袋中应再添加红球____个（以上球除颜色外其他都相同）． 19．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 20．若32x y =，则x y y
+的值为_____． 21．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．
22．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
23．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、
AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14
PA PB +的最小值为__________．
24．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
三、解答题
25．如图，BD 是⊙O 的直径．弦AC 垂直平分OD ，垂足为E ．
（1）求∠DAC 的度数；
（2）若AC ＝6，求BE 的长．
26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结
BC ．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC 的长．
27．解方程：
（1）x 2+4x ﹣21＝0
（2）x 2﹣7x ﹣2＝0
28．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动．
（1）求线段AD 的长；
（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由；
（3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
29．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
30．如图，已知⊙O 的直径AC 与弦BD 相交于点F ，点E 是DB 延长线上的一点，∠EAB=∠ADB ．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）已知点B 是EF 的中点，求证：△EAF ∽△CBA ；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE 的长．
31．在平面直角坐标系中，直线y =x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =a 2x +bx +c (a <0)经过点A ，B ，
(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值，
(2)当x <0时，若y =a 2x +bx +c (a <0)的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围，
(3)如图，当a =−1时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为
32
?若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由，
32．已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.
(1)求直线AC 的解析式.
(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.
(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
【解析】
【分析】
根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
∵DF=CF ，BE=CE ， ∴
12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13
DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，
∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，
∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，
∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，
∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴
12
EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD S
S =四边形, ∴1176824AGH EFC
ABCD
S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．
【详解】
解：∵二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ），
∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．
故选：D ．
此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m ﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．证明△PAB ∽△NCA ，得出PB PA NA NC
=，设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ，代入整理得到y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣
32）2+
94，根据二次函数的性质以及14
≤x≤3，求出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．
【详解】 解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ．
在△PAB 与△NCA 中，
9090APB CNA PAB NCA CAN ∠∠︒⎧⎨∠∠︒-∠⎩
＝＝＝＝ ， ∴△PAB ∽△NCA ， ∴PB PA NA NC
=， 设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ， ∴31
y x x =-， ∴y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣
32）2+94，
∵﹣1＜0，1
4
≤x≤3，
∴x＝3
2
时，y有最大值
9
4
，此时b＝1﹣
9
4
＝﹣
5
4
，
x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，
∴b的取值范围是﹣5
4
≤b≤1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到=
AC BC，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【详解】
∵BC的度数为50°，
∴∠BOC=50°，
∵半径OC⊥AB，
∴=
AC BC，
∴∠ADC=1
2
∠BOC=25°．
故选B．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
6．D
解析：D
【解析】
∵在△ABC 中，点D 、
E 分别是AB 、AC 的中点，
∴DE ∥BC ，DE=12
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
AD AE AB AC =， ∴21()4
ADE ABC S DE S BC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误.
故选D.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．
【详解】
如图：
由勾股定理得：22222133AC BC ++＝＝，
所以cosB=
313BC AB ＝，sinB=21233AC AC tanB AB BC =＝＝ ，所以只有选项C 正确； 故选：C ．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），
∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）．
故选D ．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．
【详解】
根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，
则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为
6
12
＝
1
2
；
故选：C．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，
10．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.
故选C.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据点E为BC中点和正方形的性质，得出∠BAE的正切值，从而判断①，再证明
△ABE∽△ECF，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，可判断②③，过点E作AF的垂线于点G，再证明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可证明④.
【详解】
解：∵E是BC的中点，
∴tan∠BAE=
1
=
2 BE
AB
，
∴∠BAE 30°，故①错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE ⊥EF ，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF ，
在△BAE 和△CEF 中，
==B C BAE CEF ∠∠⎧⎨∠∠⎩
， ∴△BAE ∽△CEF ， ∴==2AB BE EC CF
， ∴BE=CE=2CF ，
∵BE=CF=12BC=12
CD ， 即2CF=12
CD ， ∴CF=14
CD ， 故③错误；
设CF=a ，则BE=CE=2a ，AB=CD=AD=4a ，DF=3a ，
∴
AE=，
，AF=5a ，
∴
=5AE AF
，=5BE EF ， ∴=AE BE AF EF
， 又∵∠B=∠AEF ，
∴△ABE ∽△AEF ，
∴∠AEB=∠AFE ，∠BAE=∠EAG ，
又∵∠AEB=∠EFC ，
∴∠AFE=∠EFC ，
∴射线FE 是∠AFC 的角平分线，故②正确；
过点E 作AF 的垂线于点G ，
在△ABE 和△AGE 中，
===BAE GAE B AGE AE AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABE ≌△AGE （AAS ），
∴AG=AB ，GE=BE=CE ，
在Rt △EFG 和Rt △EFC 中，
==GE CE EF EF ⎧⎨⎩
， Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），
∴GF=CF ，
∴AB+CF=AG+GF=AF ，故④正确.
故选B.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】
在优弧AB 上任意找一点D ，连接AD ，BD ．
∵∠D =180°﹣∠ACB =50°，
∴∠AOB =2∠D =100°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【
解析：23x -<<
【解析】
【分析】
观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【详解】
解：设21y ax h =+，2y kx b =+，
∵2ax b kx h -<-
∴2ax h kx b +<+，
∴12y y <
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，
∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.
【点睛】
本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
14．【解析】
【分析】
直接利用公式法求解即可，横坐标为：，纵坐标为：.
【详解】
解：由题目得出：
抛物线顶点的横坐标为：；
抛物线顶点的纵坐标为：
抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).
故答案为
解析：()4,10--
【解析】
【分析】 直接利用公式法求解即可，横坐标为：2b a -，纵坐标为：2
44ac b a
-. 【详解】
解：由题目得出： 抛物线顶点的横坐标为：84221
b a -=-=-⨯； 抛物线顶点的纵坐标为：22441682464104414
ac b a -⨯⨯--===-⨯ 抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).
故答案为：（-4，-10）.
【点睛】
本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
15．200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用
解析：200
【解析】
【分析】
要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】
解：()()2
22200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
16．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100
解析：
9
π
【解析】【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算
S
S
半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
17．115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和
∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连
解析：115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．3
【解析】
【分析】
首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案．
【详解】
解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分
解析：3
【解析】
【分析】
首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得：
12
123
x
x
+
=
++
，解此分式方程即可求
得答案．
【详解】
解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：
12
123
x
x
+
=
++
，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为1203
180
π⨯
=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．20．．
【解析】
【分析】
根据比例的合比性质变形得：
【详解】
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
解析：5
2
．
【解析】【分析】
根据比例的合比性质变形得：
325
.
22 x y
y
++
==
【详解】
∵
3
2
x
y
=，
∴
325
.
22 x y
y
++
==
故答案为：5 2 .
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
21．60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．
∴BC＝＝10（cm ），
∴圆锥的侧面积是：（
解析：60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．
∴BC =＝10（cm ）， ∴圆锥的侧面积是：
12610602
r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 22．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 23．【解析】
【分析】
先在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．
【详解】
解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，
【解析】
【分析】
先在CB 上取一点F ，使得CF=
12，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答．
【详解】
解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=
12，再连接PF 、AF ， ∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE ，
∴PC=
12DE=2， ∵
14CF CP =，14CP CB = ∴CF CP CP CB
= 又∵∠PCF=∠BCP ，
∴△PCF ∽△BCP ， ∴14
PF CF PB CP == ∴PA+14
PB=PA+PF ，
∵PA+PF≥AF ，==
∴PA+1
4
PB ≥.
145
2
∴PA+1
4
PB的最小值为
145
，
故答案为145
．
【点睛】
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
24．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
三、解答题
25．（1）30°；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由题意证明△CDE≌△COE，从而得到△OCD是等边三角形，然后利用同弧所对的圆
周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=1
2
AC=3，然后利用30°角的正切
值求得333.
【详解】
解：连接OA,OC
∵弦AC 垂直平分OD
∴DE=OE ，∠DEC=∠OEC=90°
又∵CE=CE
∴△CDE ≌△COE
∴CD=OC
又∵OC=OD
∴CD=OC=OD
∴△OCD 是等边三角形
∴∠DOC=60°
∴∠DAC =30°
（2）∵弦AC 垂直平分OD
∴AE=12
AC=3 又∵由（1）可知，在Rt △DAE 中，∠DAC =30° ∴tan 30DE AE =，即333
DE = ∴3
∵弦AC 垂直平分OD
∴3∴直径3
∴3-33【点睛】
本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质及锐角三角函数，掌握相关定理正确进行推理判断是本题的解题关键.
26．（1）证明见解析；（2）2AC π=
【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC ∥BD ，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC ⊥AD ，
∴AE=ED ；
（2）∵OC ⊥AD ，
∴AC BD = ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴AC =7252180
ππ⨯=． 点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
27．（1）x 1＝3，x 2＝﹣7；（2）x 1＝
72+x 2＝72- 【解析】
【分析】
（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）根据公式法解方程即可．
【详解】
解：（1）x 2+4x ﹣21＝0
（x ﹣3）（x+7）＝0
解得x 1＝3，x 2＝﹣7；
（2）x 2﹣7x ﹣2＝0
∵△＝49+8＝57
∴x
解得x 1＝
72+x 2＝72-． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，其方法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据一元二次方程特点选择合适的方法是解题的关键.
28．（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（3 【解析】
【分析】
（1）求出AE ＝5，证明△ABE ∽△DEA ，由AD AE AE BE
=可求出AD 的长； （2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ ∥A ′D ′，取A ′D ′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°，
∴AE ＝22AB BE +＝2221+＝5，
∵∠AED ＝90°，
∴∠EAD+∠ADE ＝90°，
∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，
∴∠BAE+∠EAD ＝90°，
∴∠BAE ＝∠ADE ，
∴△ABE ∽△DEA ，
∴AD AE AE BE
=， ∴515
=， ∴AD ＝5；
（2）PQ ∥A ′D ′，理由如下：
∵5,
5AD AE ==，∠AED ＝90° ∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，
∵AD ＝BC ＝5，
∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4，
过点E 作EF ⊥AD 于点F ，
则∠FEC ＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°，
∴∠PEF ＝∠CEQ ，
∵∠C ＝∠PFE ＝90°，
∴△PEF ∽△QEC ，
∴
21
42 EP EF
EQ EC
===，
∵
51
2
25
EA EA
ED ED
'
'
===，
∴EP EA EQ ED
'
'
=，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴NM EM
EF PE
=＝
PQ
2PE
为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝1
AE
2
＝
5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（1）1
4
；（2）
1
6
【解析】【分析】
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式解答即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】
解：（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，
则他选中《九章算术》的概率为1
4
．
故答案为1
4
；
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
方法一：用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
第1部
第2部
A B C D
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD，
∴P（M）＝
21
= 126
．
方法二：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即BD，DB，
∴P（M）＝
21
= 126
．
故答案为：1 6 .
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
(1)连接CD ，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠EDC ，然后结合已知条件得出∠EAB+∠BAC=90°，从而说明切线；
(2)连接BC ，根据直径的性质得出∠ABC=90°，根据B 是EF 的中点得出AB=EF ，即∠BAC=∠AFE ，则得出三角形相似；
(3)根据三角形相似得出
AB AC AF EF =，根据AF 和CF 的长度得出AC 的长度，然后根据EF=2AB 代入
AB AC AF EF
=求出AB 和EF 的长度，最后根据Rt △AEF 的勾股定理求出AE 的长度.
【详解】
解：(1)如答图1，连接CD ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°
∴∠ADB+∠EDC=90°
∵∠BAC=∠EDC ，∠EAB=∠ADB ，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°
∴EA 是⊙O 的切线；
(2)如答图2，连接BC ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B 是EF 的中点，∴在Rt △EAF 中，AB=BF
∴∠BAC=∠AFE
∴△EAF ∽△CBA ． (3)∵△EAF ∽△CBA ，∴
AB AC AF EF
= ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB ． ∴642AB AB
=，
解得∴
∴
【点睛】
本题考查切线的判定与性质；三角形相似的判定与性质．
31．（1）b=3a+1；c=3；（2）103a -≤<；（3）点P 35-+552+）或（352--，552-）或（3132-+，1132
+）或（3132-，113-. 【解析】
【分析】
（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；
（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a =-≥，而b=3a+1，即：3102a a
+-≥，即可求解； （3）过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，由S △PAB =
32，则P Q y y -=1，即可求解．
【详解】
解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3-，
故点A 、B 的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，
则函数表达式为：y=ax 2+bx+3，
将点A 坐标代入上式并整理得：b=3a+1；
（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，
则函数对称轴02b x a =-
≥， ∵31b a =+，
∴3102a a
+-≥， 解得：1
3a ≥-，
∴a 的取值范围为：103
a -
≤<； （3）当a=1-时，b=3a+1=2- 二次函数表达式为：2
23y x x =--+，
过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，
∵OA=OB ，
∴∠BAO=∠PQH=45°，
S △PAB =12×AB ×PH=12×32PQ ×22=32
， 则PQ=P Q y y -=1，
在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，
则直线m 与抛物线两个交点，分别与点AB 组成的三角形的面积也为
32， ∴1P Q y y -=， 设点P （x ，-x 2-2x+3），则点Q （x ，x+3），
即：-x 2-2x+3-x-3=±1， 解得：35x -±=313x -±=； ∴点P 的坐标为：（
352-+，552+）或（352--，552-）或（3132-+，1132+）或（3132--，1132
-）. 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
32．(1)3y
x ；(2)3；(3)APC ∆面积的最大值为278
. 【解析】
【分析】
（1）由题意分别将x=0、y=0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标，再根据点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；
（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点P ，进而利用割补法求APC ∆面积； （3）根据题意过点P 作PE y 轴交AC 于点E 并设点P 的坐标为
()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E 的坐标为(),3+m m 进而进行分析.
【详解】
解：(1) 分别将x=0、y=0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标为()0,3C ；()30A -,；
将()0,3C ；()30A -,代入223y x x =--+，得到直线AC 的解析式为3y x .
(2)由223y x x =--+，将其化为顶点式为2(1)4y x =-++，可知顶点P 为(1,4)-， 如图P 为顶点时连接PC 并延长交x 轴于点G ，
则有S APC S APG S ACG =-，
将P 点和C 点代入求出PC 的解析式为3y x =-+，解得G 为(3,0)，
所有S APC S APG S ACG =-11646312922=⨯⨯
-⨯⨯=-=3； (3)过点P 作PE y 轴交AC 于点E .
设点P 的坐标为()
2,23m m m --+(30m -<<)，则点E 的坐标为(),3+m m ∴()2233PE m m m =--+-+2
239324m m m ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 当32m =-时，PE 取最大值，最大值为94
. ∵()1322APC C A S PE x x PE ∆=
⋅-=， ∴APC ∆面积的最大值为
278
. 【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析.。