立体几何中的向量方法----利用向量方法求距离

§立体几何中的向量方法(三)
——利用向量方法求距离
知识点一求两点间的距离
已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC
折叠，使面ABC 与面ADC 垂直，求BD 间的距离．
解 方法一
过D 和B 分别作DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，
则由已知条件可知AC ＝5，
∴DE ＝3×45＝125，BF ＝3×45＝12
5.
∵AE ＝AD 2AC ＝9
5＝CF ，
∴EF ＝5－2×95＝7
5，
∴
DB
u u u r ＝DE →＋EF u u u r ＋FB
→. |DB
u u u r
|2
＝ (DE →＋B 1E →＋FB →)2＝DE →2＋EF u u u r 2
＋FB →2＋2DE →·EF u u u r ＋2DE →·FB →＋2EF u u u r ·FB →.
∵面ADC ⊥面ABC ，而DE ⊥AC ，
∴DE ⊥面ABC ， ∴ DE ⊥BF, DE
→ ⊥FB →, |DB
u u u r
|2＝DE →2＋B 1E →2＋FB →2＝14425＋4925
＋14425＝337
25
， ∴|DB
u u u r |＝337
5.
故B 、D 间距离是337
5. 方法二
同方法一．过E 作FB 的平行线EP ，
以E 为坐标原点，以EP ，EC ，ED 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．
则由方法一知DE ＝FB ＝12
5，
EF ＝7
5，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，125，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，75，0，
∴BD u u u r
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫125，75，－125，
| BD
u u u r
|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝
⎛⎭⎪⎫
－1252＝
3375
. 【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法： (1)把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a·a 通过向量运算去求|a |.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22求解．
如图所示，正
方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a ＜2)．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
解(1)
建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)
∵CM＝BN＝a(0<a<2)，
且四边形ABCD、ABEF为正方形，
∴M(2
2a,0,1－
2
2a)，N(
2
2a，
2
2a,0)，
∴|MN→＝(0，2
2a，
2
2a－1)，∴|MN
→
|＝a2－2a＋1.
(2)由(1)知MN＝a－
2
22＋
1
2，
所以，当a＝
2
2时，MN＝
2
2.
即M、N分别移到AC、BF的中点时，
MN的长最小，最小值为
2 2.
知识点二求异面直线间的距离
如图所示，在
三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π
3，求异面直线AB与EB1的距离．
→、BA→所在直线分解.以B为原点，BA
别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，
AB ＝2，∠BCC 1＝π
3，
在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B(0,0,0)，A(0,0，2)，B 1(0,2,0)，
设 E (
3,,02
a )，由EA ⊥EB 1，得
EA
u u u r ·1
EB u u u r =0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－a ，2·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－32，2－a ，0＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －32＝0，即a ＝12或a ＝32(舍去)，
故E ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫32，12，0.
设n 为异面直线AB 与EB 1公垂线的方向向量，
由题意可设n ＝(x ，y,0)，
则有n ·1
EB u u u r
=0. 易得n ＝(3，1,0)，
∴两异面直线的距离d ＝
BE n n
⋅u u u r
＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎝
⎛⎭⎪⎪⎫32，12，0·3，1，03＋1
＝1.
【反思感悟】 求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．
如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1
中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，M 、N 分别为DC 、BB 1的中点，求异面直线MN 与A 1B 的距离．
解 以A 为原点，AD 、AB 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则A 1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)．
∴|MN →＝(－3,2,1)，1
A B u u u u r ＝(0,4，－2)．
设MN 、A 1B 公垂线的方向向量为
n ＝(x ，y ，z)， 则
10,
0,
n MN n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r
即⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋2y ＋z ＝0
4y －2z ＝0
.
令y ＝1，则z ＝2，x ＝4
3， 即
n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，1，2，|n |＝
61
3
.
1
MA u u u u r ＝(－3，－2,2)在n 上的射影的长度
为
d ＝
1MA n n
u u u u r ,
故异面直线MN 与A 1B 的距离为661
61
.
知识点三 求点到平面的距离
在三棱锥
B —ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长A
C ＝C
D ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．
解
如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，过O 作OM ⊥面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系，
则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－12
，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，
∴AC u u u r
=⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，32，0，
AB u u u r
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，12，DC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，0， 设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的一个法向量，
则
1·0,21·0,2AB x z AC x y ⎧⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎭
n n u u u r u u u r ，
∴y ＝－3
3x ，z ＝－3x ，可取n ＝(－3，1,3)，
代入d ＝DC n
n ⋅u u u r ，得d ＝32＋3213
＝3913，
即点D 到平面ABC 的距离是39
13.
【反思感悟】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．
正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 、N 、E 、F 分别为A 1D 1、A 1B 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求平面AMN 平面与EFBD 间的距离.
解 如图所示，建立空间直角坐标系D —xyz ，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
从而EF
u u u r
＝(2,2,0)，MN
→＝(2,2,0)， AM
u u u u r ＝(－2,0,4)，BF →＝(－2,0,4)， ∴
EF
u u u r ＝
MN
→， AM
u u u u r
＝BF
→， ∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，
∴平面AMN ∥平面EFBD. 设n ＝(x ，y ，z)是平面AMN 的法向量，
从而
·
220,·
240,MN x y AM x z ⎧⎫=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩⎭n n u u u u r u u u u r
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2z
y ＝－2z
.
取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)， 由于
AB
u u u r 在n 上的投影为n AB n
⋅u u u r
＝
－84＋4＋1
＝－8
3.
∴两平行平面间的距离d ＝
n AB n
⋅u u u r ＝83.
课堂小结：
1．求空间中两点A ，B 的距离时，当
不好建系时利用|AB|＝|AB u u u r
|
＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22来求． 2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n 为l 1与l 2的公垂线AB 的方向向量，
d ＝|AB u u u r
|＝|CD →·n ||n |.
3点B 到平面α的距离：|BO
uuu r
|=
AB n n
⋅u u u r .(如图(2)所示)
4.面与面的距离可转化为点到面的距离.
一、选择题
1.若O 为坐标原点，
OA
u u u r
=（1，1，
-2），OB uuu r
=（3，2，8），
OC
u u u r =（0，1，0），则线段AB 的中点P 到点C 的距离为
（ ）
B ．214
答案 D
解析 由题意OP uuu r ＝(1－t )OA →＝12
(OA →＋OB →)＝(2，32
，3)， PC →＝OC →－OP uuu r ＝(1－t )OA →＝(－2，－12
，－3)，PC ＝|PC →|＝ 4＋14＋9＝532.
2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )
A ．
12
答案 B
解析 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则有D 1（0，0，1），D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1）.因O 为A 1C 1的中点，
所以O （12，12,1），1
C O u u u u r =（12， -1
2
，0），设平面ABC 1D 1的法向量为 n=（x,y,z ），则有1
0,0,
n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u r
u u u r
即0,0,
x z y -+=⎧⎨
=⎩
则 n = （1，0，1），
∴O 到平面ABC 1D 1的距离为：1C O n d n
⋅=u u u u r ,
. 3．在直角坐标系中，设A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A 、B 两点间的距离为( )
A ．211 D ．311 答案 A
解析 AB AE EF =+u u u r u u u r u u u r ＋FB
→
AB u u u r 2＝AE u u u r 2＋EF u u u r 2＋FB →2＋2AE u u u r ·EF u u u r ＋2AE u u u r ·FB →＋2EF u u u r ·FB →
＝9＋25＋4＋2×3×2×1
2＝44.
∴|AB u u u r
|＝211.
4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )
答案 B
解析 如图所示，BA u u u r
=（2，0，0）， BE u u u r
=（1，0，2）， ∴cos θ= BA BE
BA BE
u u u r u u u r u u u r u u u r
＝2
25
＝55， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝2
55，
A 到直线BE 的距离d ＝|－*6]·OC
→|sin θ＝2×255＝45
5.
二、填空题
5．已知A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．
答案 4917
17
解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0,0,
n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u
r 即⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·
(4，0，6)＝0.
∴
n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，－1，1，
又AD
u u u r =（-7，-7，7）. ∴点D 到平面ABC 的距离d =
AD n n
⋅u u u r
＝491717.
6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E 为A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 和BC 1间的距离是________．
答案 26
3
解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n 为异面直线D1E 与BC1公垂线的方向向量,并设n =(x,y,z),则有1
1
0,
0,
n BC n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u r
u u u u r
易求得n =（1， -2，1），
∴d=
11D C n n
⋅u u u u u r
＝
|(0，2，0)·(1，－2，1)|1＋4＋1
＝46
＝263.
7．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点A 到平面A 1BD 的距离为________．
答案 3
3a
解析 以D 为空间直角坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，
则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )．
设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的法向量，
则有
10,
0,
n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y ，z )(a ，0，a )＝0，(x ，y ，z )(a ，a ，0)＝0.
∴
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，
令x ＝1，
∴n ＝(1，－1，－1)．
∴点A 到平面A 1BD 的距离
d ＝DA n
n ⋅u u u r ＝a 3
＝33a .
三、解答题
8．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.
(1)求BF 的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，
C1(0,4,3)．设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
u u u r u u u u r
∴由1
AF EC
得（-2，0，z）=（-2，0，2），
∴z=2.∴F（0，0，2）.
∴BF u u u r=（-2，-4，2）.
于是|BF u u u r|=26
（2）设n1为平面AEC1F的一个法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=（x，y，1），
由
0,
0,
n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
得 0410,2020,
x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨
-⨯+⨯+=⎩ 即
410,220,y x +=⎧⎨
-+=⎩∴
1,
1,4
x y =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
∴n 1=（1,
14
-
,1）.
又1
CC u u u u r
=(0,0,3),设1
CC u u u u r
与
n 1
的夹角为α,则 cos α= 1
1
11
CC n
CC n ⋅u u u u r
u u u u r
433
133
31116
==
⋅+
+
∴C 到平面AEC 1F 的距离为
d=|1
CC u u u u r |cos α=3×43333433
=9．已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1
中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．
(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离． (1)证明
建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
B(22，22，0)，E(22，2，0)， F(2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．
EF
u u u r ＝(－2，
2，0)， DB
→＝(22，22，0)，
1
DD u u u u r ＝(0,0,4)，
EF
u u u r
·DB
→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.
又EF ⊂平面B 1EF ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
（2）解由（1）知
11
D B u u u u r =)(2
2,2,0
EF
u u u r =)(2,2,0
-
，
1B E
u u u u r =)(0,2,4
-
-,
设平面B 1EF 的法向量为n ,且n = (x,y,z)，
则n ⊥EF u u u r ,n
⊥1B E
u u u u r ，
即n ·EF u u u r =（x ，y ，z ）·)(2,2,0
＝－2x
＋2y ＝0， n ·1
B E u u u u r
＝(x ，y ，z)·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝－2
4，∴n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1，1，－24. ∴D 1到平面B 1EF 的距离 11
D B n
d n ⋅=
u u u u r ＝|22＋22|12＋12＋⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫－242
＝161717 10．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点．
(1)求二面角O 1—BC －D 的大小； (2)求点E 到平面O 1BC 的距离． 解 (1)∵OO 1⊥平面AC ，
∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ， 建立如图所示的空间直角坐标系，
∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴
，OB=2，
则
，B(0,2,0)，C(-，O 1(0,0,3)
设平面O 1BC 的法向量为n 1=（x,y,z ），则n 1⊥1
O B u u u u r ， n 1⊥1
O C u u u u r
,
∴
⎩⎪⎨⎪⎧
2y －3z ＝0－23x －3z ＝0
，
若z ＝2，则x ＝－3，y ＝3， ∴n 1
＝(－3，3,2)，
而平面AC的法向量n2＝(0,0,3)
∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2
|n1|·|n2|＝
6
3×4＝
1
2，
设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα＝1
2，∴α＝60°.故二面角O1－BC－D为60°.
(2)设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴1EO u u u u r＝(－3，
0，3
2)，
则d=11
1
EO n
n
u u u u r
＝
|(－3，0，3
2)·(－3，3，2)|
(－3)2＋32＋22＝3 2
∴点E到面O1BC的距离等于3
2.。