2007年江苏高考数学预测试题

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷预测题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5、如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的。

1． 已知角α的终边上一点坐标为（2sin 3π，2cos 3
π），则角α的最小正值为 ( )
A ．
56
π
B ．
116
π
C ．23π
D ．53
π
2．已知P = { t t >，t ∈R }，Q ={ x |2
x x >，x ∈R }，则“t P ∈”是“x Q ∈”
的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分也不
必要条件
3．已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 4．二项式（
n x x x
)1
-的展开式中含4x 的项， 则n 的一个可能值是( ) A ． B ．9
C ．6
D ．
5．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m ,则m 的范畴是( )
A ．（1，2）
B ．（2，+∞）
C ．[3，+∞）
D ．（3，+∞）
6．已知函数2
()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点P (),()x f x 处切线的倾斜角为
4
π，则P 到曲线()y f x =对称轴距离为（ ）
A ．
2
b B ．b C ．1
2 D ．1
7．若3()log()(01)f x x ax a a =->≠且在区间1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A ．1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭ 91,4⎛⎫
⎪⎝⎭
D ． 8．从集合{}1,2,3,,11中任选两个元素作为椭圆22
221x y m n +=中的m 、n ，则能组成落在
矩阵区域(){}
,11,9B x y y x =
<<内的椭圆个数为（ ）
A ．43
B ．72
C ．86
D ．90 9．如图，设P 为△ABC 内一点，且21
55
AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 ( )
A ．15
B ．25
C ．14
D ．1
3
10．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，那么这个三棱锥的体积大小( ) A ．有唯一确定的值 B ．有2不同的值
C ．有3个不同的值
D ．有3个以上不
同的值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

11．若存在常数P ，使得函数f （x ）满足()()()2
p
f px f px x R =-∈，则f （x ）的一个正周期为 ． 12．集合A = {,2n x x n =
∈Z }，B = {,3
n
x x n =∈Z }，则A ∩B = ．
13．如图,12,F F 为椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点，点P 在
椭圆上，12F PF
是面积为的正三角形。

则2b 的值
为 .
14．一只箱子中有形状相同的4个红球和2个白球，在其中任取一只球，放回后再取一只球，
B
A C
P
第9 题
M N
M
N
M
N
M
M
N
N
P
P
P
P
P
l
l
l
l
l
①
② ③ ④ ⑤
则取出的两球为一红一白的概率为 ．
15．若)2,0[π∈x ，则关于x 的方程2
tan 4tan 10x x -+=的所有根之和为 ．
16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中
点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）
已知函数()f x sin cos a x b x ωω=+（,,a b ω∈R ，且0ω>）的部分图象如图所示． （Ⅰ）求,,a b ω的值；
（Ⅱ）若方程[]2
3()()0f x f x m -+= 在2(,)33
x ππ
∈-内有两个不同的解，求实数m 的
取值范围．
18．（本题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，E 为AB 上一点，以直线EC 为折线将点B 折
起至点P ，并保持∠PEB 为锐角，连结P A 、PC 、PD ，取PD 的中点F ，若有AF ∥平面PEC ． （Ⅰ）试确定点E 的位置；
（Ⅱ）若异面直线PE 、CD 所成的角为60°，求证：
平面PEC ⊥平面AECD ．
19．（本题满分14分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若首项132
a =，公差1d =.求满足()22
k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()22
k k S S =成立.
20．（本题满分16分）设圆锥曲线C 1的焦点为27(0,)4F -
，相应准线为l ：29
4
y =-
，且C 1经过点M (2，-3)．
（Ⅰ）求C 1的方程；
（Ⅱ）设曲线C 2：225x y +=，过点P （0，a ）作与y 轴不垂直的直线m 交C 1于A ，D 两点，
交C 2于B ，C 两点，且 AB CD ＝，求实数a 的取值范围．
P
A F C
B
E D
21．（本题满分16分）已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：
（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）； （2）(0)()14
f f π
==；
（3）当0,4
x π
∈
［］时，()f x ≤2．
求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．
参考答案和评分标准
二、填充题（共30分）
三、解答题（共70分）
17．（Ⅰ）由图象易知函数()f x 的周期为4T =（
67π23
π
-）=2π， ∴1ω=．
上述函数的图象可由sin y x =的图象沿x 轴负方向平移3
π
个单位而得到， ∴其解析式为()sin 3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
．∴1,2a b =
= （Ⅱ）2(,)33
x ππ
∈-
∴(0,)3x π
π+
∈，∴0sin()13
x π
<+≤．设()f x t =，
问题等价于方程230t t m -+=在（0，1）仅有一根或有两个相等的根．
方法一：
∵- m = 3t 2 - t ，t ∈（0，1），作出曲线C ：y = 3t 2 - t ，t ∈（0，1）与 直线l ：y = - m 的图象如图所示．
∵t =16时，y =112
-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2． ∴当 - m =1
12
-或0≤-m <2时，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．
∴m 的取值范围是：20m -<≤或1
12
m =
方法二：
当 230t t m -+=仅有一根在（0，1）时，令2
()3g t t t m =-+
则(0)(1)0g g <得到20m -<< 或(0)0g =时0m =，或(1)0g =时2m =-（舍去）
当两个等根同在（0,1）内时得到1120m ∆=-=，1
12
m = 综上所述，m 的取值范围是：20m -<≤或112
m =
18．（Ⅰ）点E 为AB 的中点
证明如下：
取PC 的中点G ，连GF GE ，．
P A
F
C
B
E D
G
H
由条件知CD EA CD GF ////，，EA GF //∴． 则F A E G 、、、四点共面．
//AF 平面PEC ，
平面 GEAF 平面GE PEC =，GE FA //∴．
则四边形GEAF 为平行四边形．
BA CD EA CD GF 2
12121==∴=
， ．则E 为AB 的中点．
（Ⅱ）CD PE CD EA 、，// 所成的角为o 60，∠PEB 为锐角， ∴∠PEB ＝60°．
PE BE =，∴△PEB 为等边三角形．
∴PB PE PC ==．
作PH ⊥平面AECD ，垂足为H ，则HB = HE = HC ． ∴H 为△CBE 的外心．
∵△CBE 是直角三角形且∠B 为直角， ∴外心H 为斜边CE 的中点．
∴H 在CE 上PH ∴⊂平面PEC ，∴平面⊥PEC 平面AECD ．
19．（1）当3,12a d =
=时，()()21113
12222n n n n n S na d n n n --=+=+=+，由()22
k k S S =得422211()22k k k k +=+，即31(1)04
k k -=又0k ≠，所以4k =.
（2）设数列{}n a 的公差为d ，则在()22
k k S S =中分别取1,2k =得2112
42()()
S S S S ⎧=⎨=⎩ 即 2
11
2
1
1(1)4321(2)4222a a a d a d ⎧=⎪⎪
⎨⨯⨯⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
由（1）得10a =或11a =，当10a =时，代入（2）得0d =或6d =.若10a =，0d =则本题成立；若10a =，6d =，则()61n a n =-，由
()233918,324,216S S S ===知()2
93S S ≠，故所得数列不符合题意；当11a =时，代入 （2）得()2
46
2d d +=+，解得0 2.1,01,n n d d a d a S n ======或若则从而()22
k k S S =成立；212,21,n n a d a n S n ==-=若=1,则，从而()22
k k S S =成立。

综上所述，
只有3个满足条件的无穷等差数列：（1）0n a = ； （2）1n a =； （3）21n a n =-。

20．（Ⅰ）∵1|3|
4
e =
=-+，
∴C 1为抛物线，其中顶点为(0，-7)，开口向上，p =
1
2
，方程为y = x 2 - 7．① （Ⅱ）AB CD ＝ ∴| AB | = | CD |，无论A 、B 、C 、D 的顺序如何 均有AD 的中点与BC 的中点重合．
直线m 与两轴都不垂直，设AD ：y = kx + a ，② 联立①②，得x 2 - 7 = kx + a ，即x 2 - kx - ( a +7 ) = 0． 设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 则x 1 + x 2 = k ，x 0 =
2k ．代入②，得y 0 =2
2
k
+ a ． ∴M （2k ，2
2
k + a ）．
∵AD 的中点与BC 的中点重合，而BC ⊥OM ，
∴AD ⊥OM ．∴2
212
k a
k k +⋅=-，即221k a =--．③
当且仅当点M 在圆内部时，直线m 与圆相交且与抛物线也相交，∴222
()()522
k k a ++<．④
由③，得 - 2a - 1 > 0，∴12a <-． ③代入④，得10a >-． ∴-10 < 1
2
a <-．
21．（Ⅰ）在21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,
分
别
令
120
x x x
=⎧⎨
=⎩；
1244
x x x ππ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩；
1244
x x x ππ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩得
22()()2cos 24sin , (+)()2 2
(+)()2cos 2)4sin 224
f x f x x a x f x f x a f x f x x a x π
πππ⎧
⎪+-=+⎪⎪+=⎨⎪⎪+-+⎪⎩，
＝（＋（＋）①②③
由
①＋
②
－
③
，
得
1cos 2()
1cos 242()22cos 22cos(2)44222
x x f x a x x a a π
π-+-=+-++［］-［］ ＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x
x ++-+∴())sin(2)4
f x a a x π
=-+
（Ⅱ）当0,4x π
∈
［］时，sin(2)4x π+∈2
．
（1）∵()f x ≤2，当a <1时，12[)]2
a a =-≤()f x ≤)a a -≤2．
即1(1a ≤2 ≤a ≤1．
（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2≤a a 1-)≤()f x ≤1．即1≤a ≤4+
故满足条件a 的取值范围[4+．。