2019-2020学年上海市闵行区部分学校初三数学第一学期中考一模试卷及解析

2019-2020学年上海市闵行区部分学校初三数学第一学期中考一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（4分）下列各数中，无理数是( ) A ．4-
B ．1
2
9
C ．39
D ．
227
2．（4分）不等式23x ->的解集是( ) A ．23
x >-
B ．2
3
x <-
C ．3
2
x >-
D ．3
2
x <-
3．（4分）下列方程中，有实数根的是( ) A ．1x x -=- B ．10x x -+= C ．
221
11
x x x =
-- D ．2202010x x +-=
4．（4分）已知反比例函数k
y x
=
，当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数22y kx x k =--图象的选项是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（4分）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( ) A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等
C ．测量对角线是否互相垂直
D ．测量其中三个角是否是直角
6．（4分）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是( ) A ．内含
B ．内切
C ．外切
D ．相交．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：23a a ⋅= ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：222x x --= ． 9．（4分）已知2()21f x x =-，且f （a ）3=，那么a = ．
10．（4分）如图．函数(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠的图象如图，则关于x 的不等式0kx b +>的解集
为 ．
11．（4分）某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表． 中码CHN 220 225 230 ⋯
250 255 260 ⋯
美码USA
4.5
5
5.5
⋯ 7.5
8
8.5
⋯
如果美码()y 与中码()x 之间满足一次函数关系，那么y 关于x 的函数关系式为 ．
12．（4分）一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是： ．
13．（4分）如果一段斜坡的坡角是30︒，那么这段斜坡的坡度是 ．（请写成1:m 的形式） 14．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，AC b =，如果用向量a ，b 表示向量AD ，那么向量AD 可以表示为 ．
15．（4分）已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为 ．
16．（4分）如果两点(2,)A a 和(,)B x b 在抛物线24y x x m =-+上，那么a 和b 的大小关系为：a b ．（从
“>”“”“<”“”中选择）．
17．（4分）平移抛物线224y x x =-，可以得到抛物线224y x x =+，请写出一种平移方法 ． 18．（4分）如果三角形的两个内角α∠与β∠满足290αβ+=︒，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，3BC =，4AC =（如图所示），点D 在AC 边上，联结BD ．如果ABD ∆为“准互余三角形”，那么线段AD 的长为 （写出一个答案即可）．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2
3
1|31|26823
--⨯+
--
20．（10分）解方程组：22
28
560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
21．（10分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，点D 在边AC 上，且45DBC ∠=︒，求sin ABD ∠的值．
22．（10分）某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？
23．（12分）已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 在斜边AB 上，DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分 别为E ，F ．
（1）当ACD BCD ∠=∠时，求证：四边形DECF 是正方形； （2）当BCD A ∠=∠时，求证：
CD CF
CA AD
=
．
24．（12分）如图，已知一个抛物线经过(0,1)A ，(1,3)B ，(1,1)C -三点． （1）求这个抛物线的表达式及其顶点D 的坐标； （2）联结AB 、BC 、CA ，求tan ABC ∠的值；
（3）如果点E 在该抛物线的对称轴上，且以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形，直接写出点E 的坐标．
25．（14分）在圆O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，且弧AC 与弧BD 相等．点D 在劣弧AB 上，联结CO 并延长交线段AB 于点F ，联结OA 、OB ．当5OA =，且1
tan 2
OAB ∠=
．
（1）求弦CD 的长；
（2）如果AOF ∆是直角三角形，求线段EF 的长； （3）如果4CEF BOF S S ∆∆=，求线段AF 的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．【解答】解：.2A =-，是整数，属于有理数； 1
2
.93B =，是整数，属于有理数；
C 是无理数；
22
.
7
D 是分数，属于有理数． 故选：C ．
2．【解答】解：不等式的两边同时除以2-得，3
2
x <-．
故选：D ． 3．【解答】解：
10，10x -，
1x ∴，
0x ∴-<，
∴
x ≠-，
A ∴不正确；
100x ，
当1x =有最小值1，
∴
1x ，
B ∴不正确；
22
1
11
x x x =--两边同时乘以21x -，得1x =， 经检验1x =是方程的增根，
∴方程无解；
C ∴不正确；
2202010x x +-=，
△2202040=+>，
∴方程有两个不相等的实数根，
D ∴正确；
故选：D ．
4．【解答】解：反比例函数k
y x
=，当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大， 0k ∴<，
∴二次函数22y kx x k =--中，20k <，则图象开口向下，
0k ->，则图象与y 轴交在正半轴上，
又10b =-<，
∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y 轴左侧，
符合题意的只有选项D ． 故选：D ．
5．【解答】解：三个角是直角的四边形是矩形，
∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D ，
故选：D ．
6．【解答】解：一个圆的半径R 为4，另一个圆的半径r 大于1，
41R r ∴-<-，5R r +>
即：3R r -<， 圆心距为3，
∴两圆不可能外切，
故选：C ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．【解答】解：23235a a a a +⋅==． 故答案为：5a ．
8．【解答】解：原式2(1)3(11x x x =--=-+--
故填：(11x x ---． 9．【解答】解：
2()21f x x =-，f （a ）3=，
f ∴（a ）2213a =-=， 2213a ∴-=时，2a =±，
故答案为2±．
10．【解答】解：函数y kx b =+的图象经过点(2,0)，并且函数值y 随x 的增大而减小， 所以当2x <时，函数值大于0，即关于x 的不等式0kx b +>的解集是2x <． 故答案为：2x <．
11．【解答】解：设y 关于x 的函数关系式为：y kx b =+， 由题意可得：52258255k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得：0.1
17.5k b =⎧⎨=-⎩
y ∴关于x 的函数关系式为0.117.5y x =-，
故答案为：0.117.5y x =-．
12．【解答】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，
从这8个球中任取一个球是红球的概率是：3
8．
故答案为：3
8
．
13．【解答】解：3
tan tan 301:33
i α==︒==， 故答案是：1:3．
14．【解答】解：如图，延长AD 到E ，使得DE AD =，连接BE ，CE ．
AD DE =，BD CD =，
∴四边形ABEC 是平行四边形， ∴BE AC b ==，
AE AB BE a b =+=+，
∴111
222
AD AE a b =
=+．
故答案为11
22
a b +．
15．【解答】解：如图所示：
连接OA 、OB 、OC ，过O 作OD BC ⊥于D ， ABC ∆是边长为2的等边三角形， 2AB AC BC ∴===，60ABC ∠=︒， 30OBD ∴∠=︒， OD BC ⊥，
90ODB ∴∠=︒，1
12
BD CD BC ==
=， 33
tan30133
OD BD ∴=︒=⨯=
， 23
23
OB OD ∴==
， ∴该三角形的半径长为
23
3
， 故答案为：
23
3
．
16．【解答】解：抛物线24y x x m =-+的对称轴为2x =，
∴当2x =时函数有最小值，
b a ∴，
故答案为
．
17．【解答】解：
22242(1)2y x x x =-=--，22242(1)2y x x x =+=+-，
∴两抛物线的顶点坐标分别为(1,2)-和(1,2)--，
∴将抛物线224y x x =-先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线224y x x =+．
故答案为：向左平移2个单位．
18．【解答】解：过点D 作DM AB ⊥于M ．设ABD α∠=，A β∠=．
①当290αβ+=︒时，90DBC αβ++∠=︒， DBC DBA ∴∠=∠，
DM AB ⊥，DC BC ⊥，
DM DC ∴=，
90DMB C ∠=∠=︒，DM DC =，BD BD =，
Rt BDC Rt BDM(HL)∴∆≅∆， 3BM BC ∴==，
90C ∠=︒，3BC =，4AC =，
225AB BC AC ∴=+，
532AM ∴=-=，设AD x =，则4CD DM x ==-，
在Rt ADM ∆中，则有222(4)2x x =-+， 解得52x =． 52
AD ∴=
． ②当290αβ+=︒时，90DBC αβ++∠=︒， DBC A β∴∠==∠， C C ∠=∠， CBD CAB ∴∆∆∽，
2BC CD CA ∴=， 94
CD ∴=
， 97444
AD AC CD ∴=-=-
=． 故答案为
52或74
． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．【解答】解：2
3
|31|26823
--
3123234=--++-
3=-
20．【解答】解：22
28560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
①
②， 由②得：60x y +=，0x y -=，
原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或28
0x y x y +=⎧⎨-=⎩，
故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，2283
83x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
．
21．【解答】解：如图，过点D 作DM AB ⊥于M ，在BA 上取一点H ，使得BH DH =，连接DH ．设DM a =．
90C ∠=︒，30A ∠=︒， 903060ABC ∴∠=︒-︒=︒， 45DBC ∠=︒，
604515ABD ∴∠=︒-︒=︒，
HB HD =，
15HBD HDB ∴∠=∠=︒，
30DHM HBD HDB ∴∠=∠+∠=︒，
2DH BH a ∴==，3MH a =，23BM a a =，
2222(23)(26)BD DM BM a a a a ∴=+=++， 62
sin (26)DM ABD DB a -∴∠=
==+． 22．【解答】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x ，根据题意可得：
280040%(1)2880x ÷+=，
解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意舍去），
则80040%(120%)2400÷⨯+=（万元），
答：2020年预计经营总收入为2400万元．
23．【解答】证明：（1）DE AC ⊥，DF BC ⊥，
90DEC DFC ∴∠=∠=︒，
又90ECF ∠=︒，
∴四边形DECF 为矩形．
ACD BCD ∠=∠，
CD ∴平分ACB ∠，
DE DF ∴=，
∴四边形DECF 是正方形．
（2）90BCD ACD ACB ∠+∠=∠=︒，BCD A ∠=∠，
90A ACD ∴∠+∠=︒，
1809090ADC ∴∠=︒-︒=︒．
DCF A ∠=∠，90DFC ADC ∠=∠=︒，
CDF ACD ∴∆∆∽， ∴CD CF CA AD
=．
24．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．
由题意可得：311a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩
解得：111a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴抛物线的解析式为：21y x x =++，
22131()24
y x x x =++=++， ∴顶点D 的坐标1
(2-，3)4
； （2）如图，过点B 作BF x ⊥轴于F ，延长CA 交BF 于点D ，过点A 作AM BC ⊥于M ，
3BF ∴=， (0,1)A ，(1,1)C -，
//AC x ∴轴，
CD BF ∴⊥，
2CD BD ∴==，1AD =，1CA =，
22BC ∴=，45BCD CBD ∠=∠=︒，
AM BC ⊥，
45MAC MCA ∴∠=∠=︒，
CM AM ∴=，
22CM AM ∴===， 32BM BC CM ∴=-=
， 1tan 3AM ABC BM ∴∠==； （3）(0,1)A ，(1,3)B ，(1,1)C -，
∴直线AC 解析式为：1y =，
直线AB 解析式为：21y x =+，
直线BC 解析式为：2y x =+，
若//BE AC ，则点E 的纵坐标为3，且点E 在对称轴上， ∴点1(2
E -，3)； 若//CE AB ，则CE 的解析式为；23y x =+， 点E 在对称轴上，
12
x ∴=-， 2y ∴=， 即点1(2
E -，2)； 若//AE BC ，则AE 解析式为：1y x =+， 点E 在对称轴上，
12
x ∴=-， 12
y ∴=， 即点1(2E -，1)2
， 综上所述：点E 的坐标为1(2-，3)或1(2-，2)或1(2-，1)2
． 25．【解答】解：（1）如图，过点O 作OH AB ⊥于点H ， 1tan 2OH OAB AH
∠==， ∴设OH a =，2AH a =，
2225AO OH AH =+=，
1a ∴=，
1OH ∴=，2AH =，
OH AB ⊥，
24AB AH ∴==，
弧AC =弧BD
∴AB CD =，
4AB CD ∴==；
（2）OA OB =，
OAF OBA ∴∠=∠，
OAF ECF ∴∠=∠，
①当90AFO ∠=︒时， 5OA =1tan 2
OBA ∠=，
OC OA ∴==，1OF =，4AB =， 5tan tan 2EF CF ECF CF OBA ∴=∠=∠= ②当90AOF ∠=︒时，
OA OB =，
OAF OBA ∴∠=∠， 1tan tan 2OAF OBA ∴∠=∠=
，
5OA = tan OF OA OAF ∴=∠=
52AF ∴=， OAF OBA ECF ∠=∠=∠，OFA EFC ∠=∠
， OFA EFC ∴∆∆∽，
∴
EF OC OF OF AF +==， 32
EF
∴==， 即：32EF =
或 （3）如图，连接OE ， ECB EBC ∠=∠，
CE EB ∴=，
OE OE =，OB OC =，
OEC OEB ∴∆≅∆，
OEC OEB S S ∆∆∴=，
4CEF BOF S S ∆∆=，
4()CEO EOF BOE EOF S S S S ∆∆∆∆∴+=-，
∴53
CEO EFO S S ∆∆=，
∴53CO FO =，
335
55FO CO ∴==， 221OH OA AH ∴=-=， 2225
5HF OF OH ∴=-=，
25
25AF AH HF ∴=+=+．。