小泊头中学2019届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析

2018-2019学年山东省滨州市无棣县小泊头中学九年级（上）月考数
学试卷（12月份）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，填在右侧的答题栏中，每小题选对得3分，错选、不选或多选均记0分，满分36分．
1．某反比例函数的图象过点（1，﹣4），则此反比例函数解析式为（）
A．y= B．y=C．y=﹣D．y=﹣
2．一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p的值为（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
3．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最高点D．y随x的增大而增大
4．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）
A．B．C．D．
5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．4
6．从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（）A．标号小于6 B．标号大于6 C．标号是奇数D．标号是3
7．下列一元二次方程中没有实数根是（）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2﹣2x﹣5=0 D．x2+2x﹣4=0
8．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式如果点A（﹣3，y
1），B（﹣2，y
2
），C（1，y
3
）
都在反比例函数y=（k＞0）的图象上，那么，y
1，y
2
，y
3
的大小关系是（）
A．y
1＜y
3
＜y
2
B．y
2
＜y
1
＜y
3
C．y
1
＜y
2
＜y
3
D．y
3
＜y
2
＜y
1
10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=70°，则∠BOC=（）
A．70° B．130°C．140°D．160°
11．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（）
A．90° B．120°C．150°D．180°
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分18分．
13．在﹣1、3、﹣2这三个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的概率是．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．将△ABC绕点A按逆时针旋转30°后，得到△ADC′，则∠ABD的度数是．
16．已知抛物线y=2x 2﹣8x+m 的顶点在x 轴上，则m= ．
17．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
18．对于每个非零自然数n ，抛物线y=x 2﹣x+与x 轴交于A n 、B n 两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A 1B 1+A 2B 2+…+A 2019B 2019的值是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，满分66分．解答时请写出必要的演推过程．
19．解方程：x 2+2x ﹣3=0
（2）已知反比例函数y=
，当x=2时y=3．
①求m 的值；
②当3≤x ≤6时，求函数值y 的取值范围．
20．方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，试求m 的值．
21．小明将在春节期间去给爷爷、奶奶和外公、外婆拜年，小明从家里去爷爷家有A 1、A 2、A 3、A 4四条路线可走，从爷爷家去外公家有B 1、B 2、B 3三条路线可走，如果小明随机选择一条从家里出发先到爷爷家给爷爷、奶奶拜年，然后再从爷爷家去外公家给外公、外婆拜年．
（1）画树状图分析小明所有可能选择的路线．
（2）若小明恰好选到经过路线B 3的概率是多少？
22．如图直角坐标系中，已知A （﹣8，0），B （0，6），点M 在线段AB 上．如果点M 是线段AB 的中点，且⊙M 的半径为4，试判断直线OB 与⊙M 的位置关系，并说明理由．
23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）
的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
24．如图，已知直线y=x﹣2与双曲线（x＞0）交于点A（3，m），与x轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA，求△AOB的面积．
25．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
2018-2019学年山东省滨州市无棣县小泊头中学九年级（上）
月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，填在右侧的答题栏中，每小题选对得3分，错选、不选或多选均记0分，满分36分．
1．某反比例函数的图象过点（1，﹣4），则此反比例函数解析式为（）
A．y= B．y=C．y=﹣D．y=﹣
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】设反比例函数的解析式为y=，将点（1，﹣4）代入求得k即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y=，
∵图象过（1，﹣4）点，
∴k=1×（﹣4）=﹣4，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
故选C．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式的知识，比较简单，待定系数法求函数的解析式，是中学阶段的重点，同学们要注意掌握．
2．一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p的值为（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入原方程，得到关于p的一元一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x=2代入x2+px﹣6=0得4+2p﹣6=0，
解得p=1．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最高点D．y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．
故选：B．
【点评】考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣
时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣
时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
4．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）
A．B．C．D．
【考点】旋转对称图形．
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．
【解答】解：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．
5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=2，OB=4得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=2，OB=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴BE===2，
∴AB=4．
故选D．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
6．从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（）A．标号小于6 B．标号大于6 C．标号是奇数D．标号是3
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
【解答】解：A、是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确；
B、是不可能发生的事件，故选项错误；
C、是随机事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项错误．
故选A．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．下列一元二次方程中没有实数根是（）
A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2﹣2x﹣5=0 D．x2+2x﹣4=0
【考点】根的判别式．
【分析】利用一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac，分别计算各选项的△值，一元二次方程中没有实数根，即判别式的值是负数，即可判断根的情况．
【解答】解：A、△=b2﹣4ac=9﹣16=﹣7＜0，方程没有实数根．
B、△=b2﹣4ac=16﹣16=0，方程有两个相等的实数根．
C、△=b2﹣4ac=4+20=24＞0，方程有两个不相等的实数根．
D、△=b2﹣4ac=4+16=20，方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2019秋•滨州期末）如果点A （﹣3，y 1），B
（﹣2，y 2），C （1，y 3）都在反比例函数y=（k ＞0）的图象上，那么，y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 3＜y 2
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 3＜y 2＜y 1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到3y 1=k ，﹣2y 2=k ，1•y 3=k ，则可分别计算出y 1，y 2，y 3的值，然后比较大小即可．
【解答】解：∵A （﹣3，y 1），B （﹣2，y 2），C （1，y 3）都在反比例函数y=（k ＞0）的图象上， ∴﹣3y 1=k ，﹣2y 2=k ，1•y 3=k ，
∴y 1=﹣k ，y 2=﹣k ，y 3=k ，
而k ＞0，
∴y 2＜y 1＜y 3．
故选B ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
10．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ，若∠DAB=70°，则∠BOC=（ ）
A ．70°
B ．130°
C ．140°
D ．160°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】由CD ⊥AB ，∠DAB=70°，可求得∠D 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC 的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵CD ⊥AB ．∠DAB=70°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=20°，
∴∠AOC=2∠ADC=40°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=140°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（）
A．90° B．120°C．150°D．180°
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2πcm，
设圆心角的度数是x度．则=2π，
解得：x=120．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c ，b ，b 2﹣4ac 的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c ）在第四象限，因此a+b+c ＜0；
∴双曲线的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a ＞0；
对称轴x=＞0，所以b ＜0；
抛物线与x 轴有两个交点，故b 2﹣4ac ＞0；
∴直线y=bx+b 2﹣4ac 经过第一、二、四象限．
故选：D ．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分18分．
13．在﹣1、3、﹣2这三个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数
的图象在第一、
三象限的概率是 ． 【考点】列表法与树状图法；反比例函数的性质． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任选两个数的积作为k
的值，使反比例函数的图象在第一、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数
的图象在第一、三象限的有2种情况，
∴任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数
的图象在第一、三象限的概率是： =．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞
．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m 的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣1，c=﹣m
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣，
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15．将△ABC绕点A按逆时针旋转30°后，得到△ADC′，则∠ABD的度数是75°．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD=30°，则△ABD为等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB，然后根据三角形内角和计算∠ABD的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针旋转30°后，得到△ADC′，
∴AB=AD，∠BAD=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=（180°﹣30°）=75°．
故答案为75°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
16．已知抛物线y=2x2﹣8x+m的顶点在x轴上，则m= 8 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．根据顶点公式即可求得m的值．
【解答】解：抛物线的顶点纵坐标是：，则
得到： =0，
解得m=8．
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的性质．解答该题时需牢记抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为
（﹣，）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分
的面积为π﹣4 （结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【分析】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．
【解答】解：
设各个部分的面积为：S 1、S 2、S 3、S 4、S 5，如图所示，
∵两个半圆的面积和是：S 1+S 5+S 4+S 2+S 3+S 4，△ABC 的面积是S 3+S 4+S 5，阴影部分的面积是：S 1+S 2+S 4， ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4．
【点评】此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．
18．对于每个非零自然数n ，抛物线y=x 2﹣
x+与x 轴交于A n 、B n 两点，以A n B n 表示
这两点间的距离，则A 1B 1+A 2B 2+…+A 2019B 2019的值是 ． 【考点】抛物线与x 轴的交点． 【专题】规律型．
【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到A n B n =﹣，进而求出A 1B 1+A 2B 2+…+A 2019B 2019的值．
【解答】解：令y=x 2﹣
x+=0，
即x 2﹣
x+=0，
解得x=或x=
，
故抛物线y=x 2﹣
x+与x 轴的交点为（，0），（，0），
由题意得A n B n =﹣，
则A 1B 1+A 2B 2+…+A 2019B 2019=1﹣+﹣+…+
﹣=1﹣=，
故答案为．
【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是用n 表示出抛物线与x 轴的两个交点坐标，此题难度不大．
三、解答题：本大题共8个小题，满分66分．解答时请写出必要的演推过程．
19．（1）解方程：x 2+2x ﹣3=0
（2）已知反比例函数y=
，当x=2时y=3．
①求m 的值；
②当3≤x ≤6时，求函数值y 的取值范围．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；解一元二次方程-因式分解法；反比例函数的性质．
【分析】（1）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）①把x=2，y=3代入y=，即可求出m 的值； ②分别求出x=3和6时，函数y 的值，再根据反比例函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）x 2+2x ﹣3=0，
（x+3）（x ﹣1）=0，
x+3=0，或x ﹣1=0，
解得x 1=﹣3，x 2=1；
（2）①把x=2，y=3代入y=
，
得到：5﹣m=6，解得m=﹣1；
②∵y=，
∴当x=3时，y=2；x=6时，y=1；
∵当3≤x ≤6时，y 随x 的增大而减小，
∴函数值的范围是1≤y ≤2．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，解一元二次方程﹣因式分解法，难度适中．
20．（2019秋•滨州期末）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，试求m 的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等实数根，得出△=b 2﹣4ac=0，求出m 的值，再根据根与系数的关系和x 1+x 2=x 1x 2，求出符合条件m 的值即可．
【解答】解：∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，
∴△=[﹣（m+6）]2﹣4m 2=0
解得：m=6或m=﹣2；
又∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，
∴m+6=m 2，
解得：m=3或m=﹣2；
∵△=0，
∴m=3不符合题意，舍去，
即m=﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21．小明将在春节期间去给爷爷、奶奶和外公、外婆拜年，小明从家里去爷爷家有A 1、A 2、A 3、A 4四条路线可走，从爷爷家去外公家有B 1、B 2、B 3三条路线可走，如果小明随机选择一条从家里出发先到爷爷家给爷爷、奶奶拜年，然后再从爷爷家去外公家给外公、外婆拜年．
（1）画树状图分析小明所有可能选择的路线．
（2）若小明恰好选到经过路线B 3的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）根据（1）中的树状图即可求得经过路线B 3的有4种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则所有可能选择的路线有：A
1B
1
，A
1
B
2
，A
1
B
3
，A
2
B
1
，A
2
B
2
，A
2
B
3
，A
3
B
1
，A
3
B
2
，A
3
B
3
，A
4
B
1
，A
4
B
2
，A
4
B
3
；
所以小明选择的路线有12种．
（2）由（1）知道从小明家到外公家共有12条路线，经过B
3
的路线有4条．
∴小明恰好选到经过路线B
3
的概率是：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线定理求出MD的长，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：直线OB与⊙M相切．
理由：设线段OB的中点为D，连结MD．
∵点M是线段AB的中点，
∴MD∥AO，MD=AO=×8=4．
∴∠MDB=∠AOB=90°，
∴MD⊥OB，
∴直线OB与⊙M相切．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆相切的条件是解答此题的关键．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）
的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
的值．
【分析】（1）将二次函数化简为y=﹣（x﹣）2+，即可解出y
最大
（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数y=x2+3x+1化成y=（x）2，，
=，（5分）
当x=时，y有最大值，y
最大值
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）
（2）能成功表演．理由是：
当x=4时，y=×42+3×4+1=3.4．
即点B（4，3.4）在抛物线y=x2+3x+1上，
因此，能表演成功．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．如图，已知直线y=x﹣2与双曲线（x＞0）交于点A（3，m），与x轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OA，求△AOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】常规题型．
【分析】（1）首先根据直线y=x﹣2与双曲线（x＞0）交于点A（3，m），把点A代入直线方程求出m的值，然后再把点A坐标代入双曲线中求出k的值，（2）求出直线y=x﹣2与x轴的坐标，然后根据三角形的面积公式求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵点A（3，m）在直线y=x﹣2上，
∴m=3﹣2=1，
∴点A的坐标是（3，1）（2分），
∵点A（3，1）在双曲线上，
∴，
∴k=3，
∴；
（2）∵y=x﹣2与x轴交于点B的坐标为（2，0），而点A的坐标是（3，1），
∴三角形的面积S=×2×1=1．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是求出点A的坐标，利用三角形的面积即可求出△AOB的面积，本题难度一般．
25．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）单价上涨x（元），由单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件得到销售量为（300﹣10x）件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为（80﹣60+x），因此每月销售该商品的利润y等于月销售量×每件的利润；
（2）把（1）得到的函数关系式进行配方得到y=﹣10（x﹣5）2+6250，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大．
【解答】解：（1）y=（80﹣60+x）（300﹣10x）
=﹣10x2+100x+6000（0≤x≤30）；
（2）y=﹣10x2+100x+6000
=﹣10（x﹣5）2+6250
∵a=﹣10＜0，
∴当x=5时，y有最大值，其最大值为6250，
即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元．
【点评】本题考查了利用二次函数的最值问题解决实际问题中的最大或最小值问题：先根据题意得到二次函数关系式，然后配成顶点式，根据二次函数的性质求出最值．也考查了利润的概念．
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