2016年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4} 2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）
A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1
C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤1
3．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）
A．B．C．9D．
4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）
A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1
5．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2 6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购
买的商品的标价可能为（）
A．179元B．199元C．219元D．239元
7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）
A．24B．16C．12D．8
8．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：
①任意x，y∈A有x*y＝y*x
②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））
③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）
④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，
如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2
C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值
范围为．
10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值
为．
11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．
12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的
人数是．
13．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心
和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．
14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n
（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程）
15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；
（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，
（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．
17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．
根据统计表的信息：
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；
（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．
19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短
轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．
20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．
（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；
（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；
（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．
2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4}
【考点】1E：交集及其运算．
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，
∴A∩B＝{1，2，3}，
故选：B．
2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）
A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1
C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤1
【考点】2J：命题的否定．
【解答】解：∵命题p：∃x∈R，sin x≥1，
则﹣p为：∀x∈R，sin x＜1，
故选：B．
3．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）
A．B．C．9D．
【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．
【解答】解：根据题意，多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影是几何体的正视图，
如图所示；
所以该投影面的面积为
3×3﹣×2×1.5﹣×1×1.5＝．
故选：A．
4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）
A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【考点】96：平行向量（共线）．
【解答】解：∵向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1），
∴3﹣＝（1，﹣1），
又3﹣与共线，
∴x•（﹣1）﹣1×1＝0，
解得x＝﹣1．
故选：D．
5．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【解答】解：设成等差数列的三个正数为a﹣d，a，a+d，
即有3a＝6，解得a＝2，
由题意可得2﹣d+3，2+6，2+d+13成等比数列，
即为5﹣d，8，15+d成等比数列，
即有（5﹣d）（15+d）＝64，
解得d＝1（﹣11舍去），
即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，
则数列{b n}的通项公式为b n＝b3•2n﹣3＝4•2n﹣3＝2n﹣1．
故选：A．
6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）
A．179元B．199元C．219元D．239元
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．
【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．
他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；
标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）
A．24B．16C．12D．8
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【解答】解：由f（x）＝，
由2+log23＜4，
可得f（2+log23）＝f（3+log23），
由3+log23＞4，
可得f（3+log23）＝＝23•2log23＝8•3＝24．
故选：A．
8．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：
①任意x，y∈A有x*y＝y*x
②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））
③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）
④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，
如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2
C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【解答】解：由题意，若x＝（2，﹣2），y＝（1，1），
A，x*y＝﹣2，y*x＝﹣7，不满足①；
B，x*y＝﹣5，y*x＝5，不满足①；
C，x*x＝﹣7，不满足④；
D中运算均适合．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值
范围为．．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【解答】解：∵复数＝＝+i
又∵z在复平面内所对应的点位于第一象限，
∴＞0且＞0
解得．
故答案为：．
10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值
为5．
【考点】7C：简单线性规划．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得A（3，﹣1），
由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（3，﹣1）时，z最大，
z的最大值是5，
故答案为：5．
11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，
2），则|AB|＝．
【考点】IR：两点间的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．
【解答】解：由，得4x+3y﹣10＝0，
由解得，即B（，0），
所以|AB|＝＝，
故答案为：．
12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为0.4；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是13．
【考点】B8：频率分布直方图．
【解答】解：由直方图可知：生产该产品数量在[55，65）的频率＝1﹣（0.005+0.0100+0.020+0.025）×10＝0.4
∴生产该产品数量在[55，75）的人数＝20×（0.04+0.025）×10＝13，
故答案为：0.4 13
13．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（1，
+]．
【考点】KC：双曲线的性质．
【解答】解：∵点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中
心和左焦点，
∴c＝，则c2＝a2+1＝2，则a2＝1，
即双曲线方程为x2﹣y2＝1，
设P（x，y），则x≥1，
则＝＝＝＝1++•（）2，
则x≥1，∴1++•（）2＞1，
又1++•（）2＝•（+）2，
∵x≥1，∴0＜≤1，
即当＝1时，1++•（）2＝•（+）2取得最大值为•（1+）2＝+，故的取值范围为（1，+]，
故答案为：（1，+]，
14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是
①②④
①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n
（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【解答】解：∵函数f n（x）＝（n∈N*），
∴①f n（x+2π）＝f n（x）（n∈N*），f n（x）为周期函数，正确；
②f n（﹣x）＝＝，f n（x）＝（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）
＝（n∈N*）有对称轴，正确；
③n为偶数时，f n（）＝＝0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称
中心，不正确；
④∵|sin nx|≤|n sin x|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程）
15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx），所以，
又f（x）的最小正周期为，所以＝，即＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
因为，所以．
由正弦函数的性质可知，当，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（）＝3；
当时，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（）＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；
（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，
（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．
【解答】证明：（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，E，F分别为AC，BC的中点，
所以EF⊥AE，EF⊥C'E．
又因为AE∩C'E＝E，所以EF⊥平面AEC'．
由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分
解：（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，
由于GD为△ABC'中位线，以及EF为△ABC中位线，
所以四边形DEFG为平行四边形．
直线GF与AC'所成角就是DE与AC'所成角．
所以四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值时，C'E垂直于底面ABFE．
此时△AEC'为等腰直角三角形，
ED为中线，所以直线ED⊥AC'．
又因为ED∥GF，所以直线GF与AC'所成角为．10分
（ii）因为四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值，
分别以EA、EF、EC'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．
设平面C'BF的一个法向量为＝（x，y，z），
由得，取y＝1，得＝（﹣1，1，1）．
平面C'AE
的一个法向量＝（0，1，0）．
所以cos ＜＞＝＝，
故平面C'AE与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为．14分
17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．
根据统计表的信息：
（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【解答】解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，
甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，
甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是．
在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是．3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，
乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2．
则P（A）＝P（B1）+P（B2）＝＝．7分
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
X的分布列如下表：
∵X～B（3，），∴EX＝3×＝．
18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；
（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ），
当f′（x）＞0 时，所以x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，
当f′（x）＜0时，解得，
所以f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．
令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．
H′（x）＝，
令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．
∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．
∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，
∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．
（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，
即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．
∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），
即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），
h′（x）＝，
当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），
可知t（x）与h′（x）符号相同，
当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，
综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．
19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短
轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形，
所以b＝c，a2＝2b2，则椭圆C的方程为．
又因为椭圆C：过点A（，1），
所以，
故a＝2，b＝.
所以椭圆的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
（Ⅱ）|MP|2＝（x﹣p）2+y2．
因为M（x，y）是椭圆C上的动点，
所以，
故．
所以．
因为M（x，y）是椭圆C上的动点，
所以|x|≤2．
（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，
则当x＝2p时，|MP|取最小值，
此时M．
（2）若p＞1，则当x＝2 时，|MP|取最小值|p﹣2|，此时M（2，0）．
（3）若p＜﹣1，则当x＝﹣2 时，|MP|取最小值|p+2|，此时M（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．
（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；
（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；
（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．
【考点】8H：数列递推式．
【解答】解：（Ⅰ）∵a n＝d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），
∴a n+2﹣2a n+1＝0（n≥1）；
又∵a1＝1，a2＝2，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故数列{a n}的通项公式为；
（Ⅱ）证明：∵d n≥1，
∴a n+2+a n﹣2a n+1≥1，
令c n＝a n+1﹣a n，则
c n+1﹣c n≥1，
叠加得，c n≥n﹣4；
即a n+1﹣a n≥n﹣4，
叠加可得，≥﹣5．
（Ⅲ）由于|d n|＝1，a1＝1，a2＝1，
若d1＝1，则可得a3＝2，
若d1＝﹣1可得a3＝0；
同理，若d2＝1可得a4＝4或a4＝2，
若d2＝﹣1可得a4＝0或a4＝﹣2；
具体如下表所示，
1，1，；
所以{a n}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…
此时相应的{d n}为1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．。