矩阵论-线性代数引论
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限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
此时称V在加法运算下构成一个加群，记为（V,+）
例如 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)在加法运算下; 2. (Q\{0}, ·) , (R\{0}, ·) , (C\{0}, ·)在乘法运算
x1
2 0 -2 1 y1
即
=(1
,
2
,
3
,
4
)
x x
2 3
=(1,
2
,
3
,
4
)
1 0
1 2
1 1
3
y2
,
1
y3
x4
1 2 2 2 y4
y1 2 0 -2 1 -1 x1 4 -6 -8 11 x1
于是
y2
=
1
1
1
3
x2
=
1
2
-3
9
-1
x2
y3
y4
0
1
2 2
1 2
1 2
x3
x4
13 -3
-1
-2 8
-7 2
8 -6
x3 x4
4x1-6x2 -8x3 +11x4
=
1
2x1-3x2 +9x3 -x4
13
-3x1
-2
x2
-7
x3
+8
x4
-x1+8x2 +2x3-6x4
1
1
1
1
1
=
1，
1
2
=
-11，3
=
-1，
1
4
=
-1 -1
下的坐标.
1
-1
-1
1
解
:
设
=(1,2,1,1)T
在基1，
2，3，
下的坐标是
4
k1，k2，k3，k4 ,故
=k11 +k22 +k33 +k44
即
1 1 1 1 1 k1+k2 +k3 +k4
2 1
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
n
n
任取x V,设x= i xi i yi ,故
i 1
i 1
x (x1,
1
xn
)
(
y1,
n
1
yn
)
A1
n
( y1,
1
yn
)
.
n
由唯一性知
1
1 1 1
A1
或者
=A
.
n
n
n n
例
:
在R
4中，求由基1，
2，
3，
4到1，2，3，
的过渡矩阵为
4
1 0 0 1
1
1
0
1
0 1 1 1
0
0
1
0
设
=(x1,x
2
,x
3
,x
4
)T
在1，
2，3，
下的坐标为y
4
1
,y2
,y3
,y4
,则
x1
y1
=(1
,
2
,
3
,
4
)
x2 x3
=(1
,
2
,3
,4
)
y2 y3
,
x4
y4
其中1,2 ,3,4为R 4中的标准基.
它的基.
1 0 2 1
例
:已知A=
-1
2
1
3
，试求A的核空间的两组基.
1 2 5 5
2
-2
1
-2
解 : A的核空间就是Ax=0的解空间，所以Ax=0的基础 解系就是核空间的基. 对A做初等行变换得：
1 0 2 1 1 0 2 1
A=
-1 1
2 2
1 5
3
5
0
0
1 0
3/2 0
2
矩阵理论
第一章 线性代数引论
线性空间 Jordan标准型
第一节 线性空间
一、定义
设V是一个非空集合，若V中有一种规则，称之为 加法运算“+”,使得任取u,v V,都有V中唯一的元 与之对应，称为u与v的和，记为u+v,且这种加法满 足以下性质：
1)交换律:u+v=v+u, 2)结合律:(u+v)+w = u+(v+w);
例如1：几何空间，令
V {x | x (x1, x2, , xn )T , xi R,i 1, 2, , n}.
2：设V为C上的所有m×n 矩阵构成的集合，即 V {(aij )mn | aij C}, 在矩阵加法和数乘矩阵运 算下，V构成C上的线性空间(m×n 阶复矩阵空 间)，记为Cm×n. 类似的可定义Rm×n .
解之得k1 =
5 4
,k2
=
1 4
,k3 =-
1 4
,k4
=-
1 4
.
k1-k2 -k3 +k4 =1
练习:
在R
22中求向量A=
1 1
2 0
在基
1 1
11，11
1
0
1
0
11，11
0 1
下的坐标.
答案是：(1,1,0,-1)T
三、基变换与坐标变换
设x1, , xn及y1, , yn是空间V的两个基，令
以下是刻画直和的几个等价条件：
定理 4 设W1，W2为V的两个子空间，则以下命题等价：
1)W1 W2是直和; 2)W1 W2中零元素表法唯一;
3)W1 W2 {};
4) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2.
例12 取V=Rnn ,W1={A V|AT =A}，W2 ={A V|AT =-A}.
,dimW2
=1+
故Rnn =W1 W2.
+(n-1)= n(n-1) , 2
的过渡矩阵，
4
其中：
1 2 3
=(1,2,-1,0)T =(1,-1,1,1)T =(-1,2,1,1)T
ห้องสมุดไป่ตู้
与
312===(((-202,,,111,,,021,,,122)))TTT
4 =(-1,-1,0,1)T
4 =(1,3,1,2)T
并求向量 =(x1,x2 ,x3,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标.
a1i
yi a1i x1
ani xn (x1,
xn
)
,
i
1,
,n
ani
引入矩阵表示：(y1, yn )=(x1, xn )A,其中A=(aij )nn ,
称A为由基x1, xn到基y1, yn的过渡矩阵(变换矩阵). 显然A可逆，且由基y1, yn到基x1, xn的过渡矩阵为A-1.
0
2
-2
1
-2
0
0
0
0
因此Ax=0的解为
x1 =-2
x2
=-
3 2
x3 x3
-x4 -2x4
,其中x3
,x4为自由变量.
基础解系可以取
12
=(-4,-3,2,0)T =(-1,-2,0,1)T
或
12
=(-4,-3,2,0) T =(-6,-7,2,2)T
.
例: 在R4中求向量 =(1,2,1,1)T 在基
=k1
1 1
+k2
1
-1
+k3
-1 1
+k4
-1 -1
=
1
1
-1
-1
1
k1 +k2 -k3 -k4 k1-k2 +k3 -k4 k1-k2 -k3 +k4
k1+k2 +k3 +k4 =1
于是有
k1+k2 -k3 -k4 =2 k1-k2 +k3 -k4 =1
显然，如果x1, , xr为V的一个基底，则
r
V={ i xi |i F}=span(x1, , xr ). i 1
定理1 设dim V<+∞, 则
dimV n V的任一基底的元素个数为n.
推论1 n维线性空间中任意n个线性无关的向量均 为V的一个基底，且任一线性无关组 x1, … , xr, 可扩充为一组基.
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
1)(u v) u v,数乘对加法分配律; 2)(+)u=u u,数乘对数的加法分配律; 3) (u)=( )u, 数乘的结合律;
4)1u=u. 其中， F，u, v V ,此时，称V是数域F上的
线性空间或者向量空间(V中元素称为向量， F中元素称为标量).
当F =R时，称V是实线性空间，当F=C时，称V是复线 性空间.
推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
解：将[1，2，3，4|1，2，3，4 ]做初等行变换得
1 1 -1 -1 2 0 -2 1 1 0 0 0 1 0 0 1
2
-1
-1 1
2 1
-1 1 00
1 2
1 1
3 1
0 0
1 0
0 1
01 00
1 1
0 1
1 1
0
1
1
11 2
2
2
0 0 0 1 0 0 1 0
由基1，
2，
3，
4到1，2，3，
不难验证W1，W2均是V的子空间. 任取A V，由于
A= A+AT + A-AT .
2
2
易见
A+AT 2
W1，A-2AT
W2 ,所以V=W1+W2.
. 任取B W1 W2，则BT =B，且BT =-B，故B=-B,即B=0.
所以W1 W2 ={0}.
不难算出
dimW1 =1+
+n=
n(n+1) 2
注：任一空间V有两个平凡子空间V和{}.
定理2 设V是F上的线性空间，W V，以下三个命题等价
命题1：W为V的子空间
命题2:1) F,x W,x W
2)x, y W, x y W.
命题3：， F，x, y W， x y W. 也即W关于V的线性运算封闭.
设W1，W2为V的两个子空间，则 交空间W1 W2 ={x V|x W1, x W2}, 和空间W1+W2 ={x+y V|x W1, y W2}. 交空间是包含于W1及W2的最大子空间，和空间是 包含W1及W2的最小子空间.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
此时称V在加法运算下构成一个加群，记为（V,+）
例如 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)在加法运算下; 2. (Q\{0}, ·) , (R\{0}, ·) , (C\{0}, ·)在乘法运算
x1
2 0 -2 1 y1
即
=(1
,
2
,
3
,
4
)
x x
2 3
=(1,
2
,
3
,
4
)
1 0
1 2
1 1
3
y2
,
1
y3
x4
1 2 2 2 y4
y1 2 0 -2 1 -1 x1 4 -6 -8 11 x1
于是
y2
=
1
1
1
3
x2
=
1
2
-3
9
-1
x2
y3
y4
0
1
2 2
1 2
1 2
x3
x4
13 -3
-1
-2 8
-7 2
8 -6
x3 x4
4x1-6x2 -8x3 +11x4
=
1
2x1-3x2 +9x3 -x4
13
-3x1
-2
x2
-7
x3
+8
x4
-x1+8x2 +2x3-6x4
1
1
1
1
1
=
1，
1
2
=
-11，3
=
-1，
1
4
=
-1 -1
下的坐标.
1
-1
-1
1
解
:
设
=(1,2,1,1)T
在基1，
2，3，
下的坐标是
4
k1，k2，k3，k4 ,故
=k11 +k22 +k33 +k44
即
1 1 1 1 1 k1+k2 +k3 +k4
2 1
W1 W2不一定为子空间，例如两个坐标轴之并.
定理 3 设W1，W2为V的两个子空间，则
dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 dim(W1 W2 ).
直和：如果和空间W1 W2中的任一向量均可唯一的表成W1中 的一个向量和W2中的一个向量之和，则称W1 W2是W1与W2的 直和，记为W1 W（2 或W1 W2）.
n
n
任取x V,设x= i xi i yi ,故
i 1
i 1
x (x1,
1
xn
)
(
y1,
n
1
yn
)
A1
n
( y1,
1
yn
)
.
n
由唯一性知
1
1 1 1
A1
或者
=A
.
n
n
n n
例
:
在R
4中，求由基1，
2，
3，
4到1，2，3，
的过渡矩阵为
4
1 0 0 1
1
1
0
1
0 1 1 1
0
0
1
0
设
=(x1,x
2
,x
3
,x
4
)T
在1，
2，3，
下的坐标为y
4
1
,y2
,y3
,y4
,则
x1
y1
=(1
,
2
,
3
,
4
)
x2 x3
=(1
,
2
,3
,4
)
y2 y3
,
x4
y4
其中1,2 ,3,4为R 4中的标准基.
它的基.
1 0 2 1
例
:已知A=
-1
2
1
3
，试求A的核空间的两组基.
1 2 5 5
2
-2
1
-2
解 : A的核空间就是Ax=0的解空间，所以Ax=0的基础 解系就是核空间的基. 对A做初等行变换得：
1 0 2 1 1 0 2 1
A=
-1 1
2 2
1 5
3
5
0
0
1 0
3/2 0
2
矩阵理论
第一章 线性代数引论
线性空间 Jordan标准型
第一节 线性空间
一、定义
设V是一个非空集合，若V中有一种规则，称之为 加法运算“+”,使得任取u,v V,都有V中唯一的元 与之对应，称为u与v的和，记为u+v,且这种加法满 足以下性质：
1)交换律:u+v=v+u, 2)结合律:(u+v)+w = u+(v+w);
例如1：几何空间，令
V {x | x (x1, x2, , xn )T , xi R,i 1, 2, , n}.
2：设V为C上的所有m×n 矩阵构成的集合，即 V {(aij )mn | aij C}, 在矩阵加法和数乘矩阵运 算下，V构成C上的线性空间(m×n 阶复矩阵空 间)，记为Cm×n. 类似的可定义Rm×n .
解之得k1 =
5 4
,k2
=
1 4
,k3 =-
1 4
,k4
=-
1 4
.
k1-k2 -k3 +k4 =1
练习:
在R
22中求向量A=
1 1
2 0
在基
1 1
11，11
1
0
1
0
11，11
0 1
下的坐标.
答案是：(1,1,0,-1)T
三、基变换与坐标变换
设x1, , xn及y1, , yn是空间V的两个基，令
以下是刻画直和的几个等价条件：
定理 4 设W1，W2为V的两个子空间，则以下命题等价：
1)W1 W2是直和; 2)W1 W2中零元素表法唯一;
3)W1 W2 {};
4) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2.
例12 取V=Rnn ,W1={A V|AT =A}，W2 ={A V|AT =-A}.
,dimW2
=1+
故Rnn =W1 W2.
+(n-1)= n(n-1) , 2
的过渡矩阵，
4
其中：
1 2 3
=(1,2,-1,0)T =(1,-1,1,1)T =(-1,2,1,1)T
ห้องสมุดไป่ตู้
与
312===(((-202,,,111,,,021,,,122)))TTT
4 =(-1,-1,0,1)T
4 =(1,3,1,2)T
并求向量 =(x1,x2 ,x3,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标.
a1i
yi a1i x1
ani xn (x1,
xn
)
,
i
1,
,n
ani
引入矩阵表示：(y1, yn )=(x1, xn )A,其中A=(aij )nn ,
称A为由基x1, xn到基y1, yn的过渡矩阵(变换矩阵). 显然A可逆，且由基y1, yn到基x1, xn的过渡矩阵为A-1.
0
2
-2
1
-2
0
0
0
0
因此Ax=0的解为
x1 =-2
x2
=-
3 2
x3 x3
-x4 -2x4
,其中x3
,x4为自由变量.
基础解系可以取
12
=(-4,-3,2,0)T =(-1,-2,0,1)T
或
12
=(-4,-3,2,0) T =(-6,-7,2,2)T
.
例: 在R4中求向量 =(1,2,1,1)T 在基
=k1
1 1
+k2
1
-1
+k3
-1 1
+k4
-1 -1
=
1
1
-1
-1
1
k1 +k2 -k3 -k4 k1-k2 +k3 -k4 k1-k2 -k3 +k4
k1+k2 +k3 +k4 =1
于是有
k1+k2 -k3 -k4 =2 k1-k2 +k3 -k4 =1
显然，如果x1, , xr为V的一个基底，则
r
V={ i xi |i F}=span(x1, , xr ). i 1
定理1 设dim V<+∞, 则
dimV n V的任一基底的元素个数为n.
推论1 n维线性空间中任意n个线性无关的向量均 为V的一个基底，且任一线性无关组 x1, … , xr, 可扩充为一组基.
2 0 -2 1
注：实际上即
1
0
1 2
1 1
3 1
是标准基(1
,
2
,
3
,
4
)到
1
2
2
2
(1,2,3,4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
四、子空间和维数定理
子空间：设V是数域F上的线性空间，W V，W非空， 若W中向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的线性 空间，则称W为V的子空间.
1)(u v) u v,数乘对加法分配律; 2)(+)u=u u,数乘对数的加法分配律; 3) (u)=( )u, 数乘的结合律;
4)1u=u. 其中， F，u, v V ,此时，称V是数域F上的
线性空间或者向量空间(V中元素称为向量， F中元素称为标量).
当F =R时，称V是实线性空间，当F=C时，称V是复线 性空间.
推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
n
设 dim V=n, x1, , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称 i 1
有序数组(a1, , an )T 为y在基x1, , xn下的坐标，它由 y与基x1, , xn唯一确定.
n
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为 i0
解：将[1，2，3，4|1，2，3，4 ]做初等行变换得
1 1 -1 -1 2 0 -2 1 1 0 0 0 1 0 0 1
2
-1
-1 1
2 1
-1 1 00
1 2
1 1
3 1
0 0
1 0
0 1
01 00
1 1
0 1
1 1
0
1
1
11 2
2
2
0 0 0 1 0 0 1 0
由基1，
2，
3，
4到1，2，3，
不难验证W1，W2均是V的子空间. 任取A V，由于
A= A+AT + A-AT .
2
2
易见
A+AT 2
W1，A-2AT
W2 ,所以V=W1+W2.
. 任取B W1 W2，则BT =B，且BT =-B，故B=-B,即B=0.
所以W1 W2 ={0}.
不难算出
dimW1 =1+
+n=
n(n+1) 2
注：任一空间V有两个平凡子空间V和{}.
定理2 设V是F上的线性空间，W V，以下三个命题等价
命题1：W为V的子空间
命题2:1) F,x W,x W
2)x, y W, x y W.
命题3：， F，x, y W， x y W. 也即W关于V的线性运算封闭.
设W1，W2为V的两个子空间，则 交空间W1 W2 ={x V|x W1, x W2}, 和空间W1+W2 ={x+y V|x W1, y W2}. 交空间是包含于W1及W2的最大子空间，和空间是 包含W1及W2的最小子空间.