专转本第七章多元函数微积分76共34页文档
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区域的面 积 i)上 也任 记取 (作 i,一 i)则 , 点
(i,i)i (i1,2,..n.)
可看i作 个第 小块的质。 量通 的过 近求 似n和 值 个， 小再
区域的直径中 (记 的作 )最 ，大 取值 和的极限 地，便
得出薄片的质M量，即
y
n
Ml i0m(i,i)i. i1 o
(i,i )
D
也就是说，在直角坐标系下，有
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及 到的所有二元函 假数 定均 在被 区 D上域可积。
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，
即 k (fx,y)dkf(x,y)d(k•为常 ) 数
D
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重
它的z 顶 f(x,是 y)这 , 曲 f(x 里 ,y)面 0 且 D 上 在连续
种立体叫做曲 现顶 在柱 要体 计。 算上 体述 的曲 体 V。 顶 积柱 由于曲顶柱f体 (x,y的 )是高 变量，它的直 体接 积用 不能
体积公式来计算，但可采用这样的思想方法
（1）分割 用一组 D 分 曲 n个 成 线 小 网 闭 1, 把 2区 , n,域
中，若用平的 行直 于线 坐网 标 D， 来 轴那 划么 分除了
边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭
区域。任取一小区域 ，则它的边 x和 长 y的 为矩形，
面积 为 xy,因此，二重元 积d 素 分 也 的 常 面 记 积 作
d dxd,y相应的二重积分也作 可记
f (x, y)dxdy
•
i
x
上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。 在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下 述二重积分的定义。
定义 设f(x,y)是有界闭D 区上域的有界函数，域将闭
D任意分n成 个小闭区域1 ， 2 ， , i， n
D
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
其D 中 为积分 f(x,区 y)叫域 做， 被f(积 x,y)d 函 叫数 做，
被积表 d叫 达做 式面 ， x与 积 y叫 元 做 素 积 ， D 叫 分做 变
积分区域。
最后附带指出，在二重积分的定义
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
f(x,y)d (x,y)d
D
D
特殊地，由于 f(x ,y)f(x ,y)f(x ,y)
又有不等式
f(x,y)df(x,y)d
D
D
性质6 设M,m分别f是 (x,y)在闭区D域 上的最大值和最小
是D的面积，则有
mf(x,y)dM
D
性质7（二重积分的中值定理）设函f数 (x,y)在闭
区D 域 上连 是 续 D 的 ， 面积 D 上 ，至 则少 在存 ， ） 在， 一
使得下式成立
f(x,y)df(,)
D
二重积分的计算 按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的
它在 x,y） 点处 （的 (x,面 y)这 , 密 (里 x,y)度 0 且 为 D 上 在
连续，现在要计算片 该的 薄质量 M。
由于面(密 x,y)是 度变量，薄片 能的 直质 接量 用不 密
公式 M （ S）来计算 (x,y)。 是但 连续的，思 利想 用， 积
薄片分成许只 多要 小小 快快 后所 ， 域 占 i的 的直 小径 闭 很小，这些 近 小 似 快 地 就 看 可 作 以 在 均 i(在 匀小 薄闭 片
一点 i, （ i） ,第 i个小曲顶柱就 体可 的近 体似 积看 ，
f（i,i）为高而 底 i的为 平顶柱体的体积
z
f(i,i)i
(i1,2,..n.)
o
xD
即
Vi f(xi,yi)i
zf(x,y)
•
i
y
(i ,i )
(3)求和 把这些小曲积 顶的 柱近 体 f(i似 ,的 i)值 体 i加起来
二重积分的概念 在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性
质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积 分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1.曲顶柱体的体积 设有一立体，它x的 O平 底 y 面 是的闭区 D，域 它的侧D 面 的是 边以 界曲线线 为平 准z行 线 轴于 而 的母 柱
积分的和（或差）
f ( x ,y ) g ( x ,y ) d f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
性质3 如果闭D区 被域 有限条曲线个 分闭 为区 有域 限，
在 D上的二重积闭 分区 等域 于上 在的 各和 二。 重D 例 积如 分
分为两个闭D1区 与D域 2，则
f(x ,y)d f(x ,y)d f(x ,y)d
D
D 1
D 2
此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。
性质4 如果 D上 在 f， (x,y)1,为 D的面积，则
1dd
D
D
此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在
数值上就等于柱体的底面积。
性质5 如果 D上 在 f， (x,y)(x,y)则 , 有不等式
且 以 i表示 i个 第 小区域的， 面该 积曲 。顶 这柱 样体
地n 个 分小 成 V 1 ,曲 V 2 , V 顶 n ,并 V i 柱 表 以 i个 体 示小 第
柱体的体积，则
n
V Vi i 1
（2）近似 由于 f(x,y)是连续的，在分细割的相情当况下
可以把小曲 看顶 作柱 平体 顶近 柱 每 似 体 个 i上 ，任 因取 此
就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，
即
n
n
V Vi f(xi,yi)i
i1
i1
（4）取极限 当把区D域 无限细分时，即小当区所域有最大
直径 趋于零时，限 则就 和是 式所 的求 极 的 的体 曲积 顶
即
n
Vlim 0 i1
f(i,i)i.
2.平面薄板的质量 设有一平面薄x片 O面 占 y 上 有的闭D 区 ，域
其 中 i表示 i个第 小闭区域 的， 面也 积表 。 i上 示 在 任 它 每
取(一 i,i)作 点 , f乘 (i,i) 积 i (i1,2,..n.)
n
并作和f(i,i)i. பைடு நூலகம்1
如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，
则称此极限f(为 x,y)函 在数 闭区 D上 域的二重积分，
f(x,y)d,即
(i,i)i (i1,2,..n.)
可看i作 个第 小块的质。 量通 的过 近求 似n和 值 个， 小再
区域的直径中 (记 的作 )最 ，大 取值 和的极限 地，便
得出薄片的质M量，即
y
n
Ml i0m(i,i)i. i1 o
(i,i )
D
也就是说，在直角坐标系下，有
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及 到的所有二元函 假数 定均 在被 区 D上域可积。
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，
即 k (fx,y)dkf(x,y)d(k•为常 ) 数
D
D
性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重
它的z 顶 f(x,是 y)这 , 曲 f(x 里 ,y)面 0 且 D 上 在连续
种立体叫做曲 现顶 在柱 要体 计。 算上 体述 的曲 体 V。 顶 积柱 由于曲顶柱f体 (x,y的 )是高 变量，它的直 体接 积用 不能
体积公式来计算，但可采用这样的思想方法
（1）分割 用一组 D 分 曲 n个 成 线 小 网 闭 1, 把 2区 , n,域
中，若用平的 行直 于线 坐网 标 D， 来 轴那 划么 分除了
边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭
区域。任取一小区域 ，则它的边 x和 长 y的 为矩形，
面积 为 xy,因此，二重元 积d 素 分 也 的 常 面 记 积 作
d dxd,y相应的二重积分也作 可记
f (x, y)dxdy
•
i
x
上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。 在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的 和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下 述二重积分的定义。
定义 设f(x,y)是有界闭D 区上域的有界函数，域将闭
D任意分n成 个小闭区域1 ， 2 ， , i， n
D
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
其D 中 为积分 f(x,区 y)叫域 做， 被f(积 x,y)d 函 叫数 做，
被积表 d叫 达做 式面 ， x与 积 y叫 元 做 素 积 ， D 叫 分做 变
积分区域。
最后附带指出，在二重积分的定义
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
f(x,y)d (x,y)d
D
D
特殊地，由于 f(x ,y)f(x ,y)f(x ,y)
又有不等式
f(x,y)df(x,y)d
D
D
性质6 设M,m分别f是 (x,y)在闭区D域 上的最大值和最小
是D的面积，则有
mf(x,y)dM
D
性质7（二重积分的中值定理）设函f数 (x,y)在闭
区D 域 上连 是 续 D 的 ， 面积 D 上 ，至 则少 在存 ， ） 在， 一
使得下式成立
f(x,y)df(,)
D
二重积分的计算 按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的
它在 x,y） 点处 （的 (x,面 y)这 , 密 (里 x,y)度 0 且 为 D 上 在
连续，现在要计算片 该的 薄质量 M。
由于面(密 x,y)是 度变量，薄片 能的 直质 接量 用不 密
公式 M （ S）来计算 (x,y)。 是但 连续的，思 利想 用， 积
薄片分成许只 多要 小小 快快 后所 ， 域 占 i的 的直 小径 闭 很小，这些 近 小 似 快 地 就 看 可 作 以 在 均 i(在 匀小 薄闭 片
一点 i, （ i） ,第 i个小曲顶柱就 体可 的近 体似 积看 ，
f（i,i）为高而 底 i的为 平顶柱体的体积
z
f(i,i)i
(i1,2,..n.)
o
xD
即
Vi f(xi,yi)i
zf(x,y)
•
i
y
(i ,i )
(3)求和 把这些小曲积 顶的 柱近 体 f(i似 ,的 i)值 体 i加起来
二重积分的概念 在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性
质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积 分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1.曲顶柱体的体积 设有一立体，它x的 O平 底 y 面 是的闭区 D，域 它的侧D 面 的是 边以 界曲线线 为平 准z行 线 轴于 而 的母 柱
积分的和（或差）
f ( x ,y ) g ( x ,y ) d f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
性质3 如果闭D区 被域 有限条曲线个 分闭 为区 有域 限，
在 D上的二重积闭 分区 等域 于上 在的 各和 二。 重D 例 积如 分
分为两个闭D1区 与D域 2，则
f(x ,y)d f(x ,y)d f(x ,y)d
D
D 1
D 2
此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。
性质4 如果 D上 在 f， (x,y)1,为 D的面积，则
1dd
D
D
此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在
数值上就等于柱体的底面积。
性质5 如果 D上 在 f， (x,y)(x,y)则 , 有不等式
且 以 i表示 i个 第 小区域的， 面该 积曲 。顶 这柱 样体
地n 个 分小 成 V 1 ,曲 V 2 , V 顶 n ,并 V i 柱 表 以 i个 体 示小 第
柱体的体积，则
n
V Vi i 1
（2）近似 由于 f(x,y)是连续的，在分细割的相情当况下
可以把小曲 看顶 作柱 平体 顶近 柱 每 似 体 个 i上 ，任 因取 此
就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，
即
n
n
V Vi f(xi,yi)i
i1
i1
（4）取极限 当把区D域 无限细分时，即小当区所域有最大
直径 趋于零时，限 则就 和是 式所 的求 极 的 的体 曲积 顶
即
n
Vlim 0 i1
f(i,i)i.
2.平面薄板的质量 设有一平面薄x片 O面 占 y 上 有的闭D 区 ，域
其 中 i表示 i个第 小闭区域 的， 面也 积表 。 i上 示 在 任 它 每
取(一 i,i)作 点 , f乘 (i,i) 积 i (i1,2,..n.)
n
并作和f(i,i)i. பைடு நூலகம்1
如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，
则称此极限f(为 x,y)函 在数 闭区 D上 域的二重积分，
f(x,y)d,即