江苏省南京市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析

江苏省南京市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）
A．（2017，0）B．（2017，1
2
）
C．（2018，3）D．（2018，0）
2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A．60o B．65o C．70o D．75o
3．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（3，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（）
A．35 22
（，）B．33
2
，）C．
235
2
（，）D．
433
2
，）
4．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．一、单选题
二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结论有：
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）
A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D
7．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能
．．．是多边形的是（）
A．圆锥B．圆柱C．球D．正方体
8．一、单选题
如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）
A．B．C．D．
9．如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（）
A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°
C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC
10．下列哪一个是假命题（）
A．五边形外角和为360°
B．切线垂直于经过切点的半径
C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）
D．抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2
11．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q<16 B．q>16
C．q≤4D．q≥4
12．下列说法正确的是（）
A．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法
B．已知一组数据1，a，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6
C．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件
D．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是
中心对称图形，又是轴对称图形的概率是1 3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在平面直角坐标系中，点P(﹣1，a)在直线y＝2x+2与直线y＝2x+4之间，则a的取值范围是_____．
14．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，23=AB BC ，DE=6，则EF= ．
15．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ． 16．如图，将△AOB 以O 为位似中心，扩大得到△COD ，其中B （3，0），D （4，0），则△AOB 与△COD 的相似比为_____．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是»BF
的中点，连接AF 交过E 的切线于点D ，AB 的延长线交该切线于点C ，若∠C ＝30°，⊙O 的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_____．
18．计算（+1）（-1）的结果为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y =，我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的“和谐点”.
（1）已知点A 的坐标为()1,3，
①若点B 的坐标为()3,3，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标； ②点C 在直线x ＝5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.
（2）⊙O 的半径为r ，点()1,4D 为点()1,2E 、(),F m n 的“和谐点”，且DE ＝2，若使得DEF ∆与⊙O 有交点，画出示意图直接写出半径r 的取值范围.
20．（6分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．求y 关于x 的函数关系式；该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a （0＜a ＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
21．（6分）在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据（精确到1厘米）出示给大家，要求同学们各自独立绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图①所示，乙绘制的如图②所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确的，乙在数据整理与绘图过程中均有个别错误．写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误（写出一个即可）；
甲同学在数据整理后若用
扇形统计图表示，则159.5﹣164.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为 ；该班学生的身高数据的中位数是 ；假设身高在169.5﹣174.5范围的5名同学中，有2名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2名同学作为本班的正、副旗手，那么恰好选中一名男同学和一名女同学当正，副旗手的概率是多少？
22．（8分）（1）问题发现
如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，
AB AC =1，点P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B ，连接 CD ．
（1）①求PB CD
的值；②求∠ACD 的度数． （2）拓展探究
如图 2，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB AC =k ．点P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B ，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图 3，在△ABC 中，∠B=45°，AB=42，BC=12，P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），∠PAD=∠BAC ，∠APD=∠B ，连接CD ．若 PA=5，请直接写出CD 的长．
23．（8分）据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC 为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的
原因．（参考数据：sin14°
=0.24，cos14°=0.97，tan14°=0.25）
24．（10分）（1）计算：20(2)(3)12sin 60π︒
-+-+-； （2）化简：2121()a a a a a
--÷-． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 坐标为（4，6），点P 为线段OA 上一动点（与点O 、A 不重合），连接CP ，过点P 作PE ⊥CP 交AB 于点D ，且PE ＝PC ，过点P 作PF ⊥OP 且PF ＝PO （点F 在第一象限），连结FD 、BE 、BF ，设OP ＝t ．
（1）直接写出点E 的坐标（用含t 的代数式表示）： ；
（2）四边形BFDE 的面积记为S ，当t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值；
（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由．
26．（12分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是_____度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在_____等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
27．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝
5
13
，BD⊥AC，垂足为点D，E
是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．（1）求∠EAD的余切值；
（2）求BF
CF
的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
本题是规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转，正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；因
为2017÷6=336余1，点F滚动1次时的横坐标为2F滚动7次时的横坐标为8，纵坐
F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题．
【详解】
．解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2017÷6=336余1，
∴点F滚动1次时的横坐标为2，点F滚动7次时的横坐标为8，
∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，
∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018
∴点F滚动2107次时的坐标为（2018），
故选C．
【点睛】
本题考查坐标与图形的变化，规律型：点的坐标，解题关键是学会从特殊到一般的探究方法，是中考常考题型．
2．D
【解析】
【详解】
由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
3．B
【解析】
【分析】
连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.
【详解】
连接OO′，作O′H⊥OA于H，
在Rt △AOB 中，∵tan ∠BAO=
OB OA =3 ∴∠BAO=30°，
由翻折可知，∠BAO′=30°，
∴∠OAO′=60°，
∵AO=AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∵O′H ⊥OA ，
∴OH=32
， ∴332
， ∴O′（32，32）， 故选B ．
【点睛】
本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．
4．B
【解析】
【分析】
通过图象得到a 、b 、c 符号和抛物线对称轴，将方程24ax bx c ++=转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明()+x ax b a b ≤+.
【详解】
由图象可知，抛物线开口向下，则0a <，0c >，
Q 抛物线的顶点坐标是()1,4A ，
∴抛物线对称轴为直线12b x a
=-=，
∴2b a =-，
∴0b >，则①错误，②正确；
方程24ax bx c ++=的解，可以看做直线4y =与抛物线2
y ax bx c =++的交点的横坐标， 由图象可知，直线4y =经过抛物线顶点，则直线4y =与抛物线有且只有一个交点，
则方程24ax bx c ++=有两个相等的实数根，③正确；
由抛物线对称性，抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0-，则④错误；
不等式()x ax b a b +≤+可以化为2ax bx c a b c ++≤++， Q 抛物线顶点为()1,4，
∴当1x =时，y a b c =++最大，
∴2ax bx c a b c ++≤++故⑤正确.
故选：B .
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式.
5．B
【解析】
试题解析：①∵二次函数的图象的开口向下，
∴a<0，
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c>0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
12b a
，∴-= ∴2a+b=0，b>0 ∴abc<0，故正确；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->，
24b ac ∴>， 故正确；
③∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴抛物线上x=0时的点与当x=2时的点对称，
即当x=2时，y>0
∴4a+2b+c>0，
故错误；
④∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
12b a
，∴-=∴2a+b=0， 故正确．
综上所述，正确的结论有3个.
故选B.
6．C
【解析】
试题解析：A 、由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减少再增大．故选项A 错误；
B 、由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大，故选项B 错误；
C 、由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小，选项C 正确；
D 、由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小，选项D 错误．
故选C ．
7．C
【解析】
【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.
【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；
B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；
C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；
D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 8．D
【解析】
试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
9．A
【解析】
【分析】
根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE 是△ABC 的中位线，所以易得B 、D 答案正确，D 是
AB 中点，所以DB=DA ，故C 正确．
【详解】
根据题意可知DE 是三角形ABC 的中位线，所以DE ∥BC ；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD ，∴△DBA 是等腰三角形．故只有A 错，BA≠CA ．故选A ．
【点睛】
主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．
10．C
【解析】
分析：
根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.
详解：
A 选项中，“五边形的外角和为360°”是真命题，故不能选A ；
B 选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B ；
C 选项中，因为点（3，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（-3，-2），所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C ；
D 选项中，“抛物线y=x 2﹣4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.
故选C.
点睛：熟记：（1）凸多边形的外角和都是360°；（2）切线的性质；（3）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点为（-a ，b ）；（4）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线：2b x a
=-
等数学知识，是正确解答本题的关键.
11．A
【解析】
∵关于x 的一元二次方程x 2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
12．B
【解析】
【分析】
分别用方差、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的知识逐一进行判断即可得到答案．
【详解】
A. 某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误；
B. 根据平均数是4求得a 的值为2，则方差为
15 [(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(4−4)2+(9−4)2]=7.6，故本选项正确；
C. 12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；
D. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是
12，故本选项错误． 故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件，解题的关键是熟练的掌握概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．0a 2<<
【解析】
【分析】
计算出当P 在直线y 2x 2=+上时a 的值，再计算出当P 在直线y 2x 4=+上时a 的值，即可得答案．
【详解】
解：当P 在直线y 2x 2=+上时，()a 212220=⨯-+=-+=，
当P 在直线y 2x 4=+上时，()a 214242=⨯-+=-+=，
则0a 2<<．
故答案为0a 2<<
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 14．1．
【解析】
试题分析：∵AD ∥BE ∥CF ，∴
AB DE BC EF
=，即263EF =，∴EF=1．故答案为1． 考点：平行线分线段成比例．
15．4
【解析】
【分析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad ＝cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．
【详解】
已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad ＝cb ，
代入a ＝3，b ＝2，c ＝6，
解得：d ＝4，
则d ＝4cm ．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．
16．3：1．
【解析】
∵△AOB 与△COD 关于点O 成位似图形，
∴△AOB ∽△COD ，
则△AOB 与△COD 的相似比为OB ：OD=3：1，
故答案为3：1 (或34
)．
1723
π 【解析】
【分析】
首先根据切线的性质及圆周角定理得CE 的长以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出DE ，AD 的长，利用S △ADE ﹣S 扇形FOE ＝图中阴影部分的面积求出即可．
【详解】
解：连接OE ，OF 、EF ，
∵DE 是切线，
∴OE ⊥DE ，
∵∠C ＝30°，OB ＝OE ＝2，
∴∠EOC ＝60°，OC ＝2OE ＝4，
∴CE ＝OC×sin60°=4sin 60⨯=o
∵点E 是弧BF 的中点，
∴∠EAB ＝∠DAE ＝30°，
∴F ，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOF＝∠EOB＝∠AOF＝60°，∴OE∥AD，∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE＝AE＝23,
∴DE＝3，
∴AD＝DE×tan60°=333,
⨯=
∴S△ADE
1133
33
222
AD DE
=⋅=⨯⨯=
∵△FOE和△AEF同底等高，∴△FOE和△AEF面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ADE﹣S扇形FOE
2
3360π233
3
2
60
π.
3
⋅⨯
=-=-
故答案为332
3
π
-
【点睛】
此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△FOE和△AEF面积相等是解题关键．
18．1
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=（）2﹣1
=2﹣1
=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）①点C 坐标为()1,5C 或()3,5C '；②y ＝x ＋2或y ＝－x ＋3；（2）217r ≤≤或517r ≤≤
【解析】
【分析】
（1）①根据“和谐点”的定义即可解决问题；
②首先求出点C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形画出图形即可解决问题．
【详解】
（1）①如图1．
观察图象可知满足条件的点C 坐标为C （1，5）或C'（3，5）；
②如图2．
由图可知，B （5，3）．
∵A （1，3），∴AB=3．
∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BC=3，∴C 1（5，7）或C 2（5，﹣1）．
设直线AC 的表达式为y=kx+b （k≠0），当C 1（5，7）时，357k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴12k b =⎧⎨=⎩
，∴y=x+2，当C 2（5，﹣1）时，351k b k b +=⎧⎨+=-⎩，∴14
k b =-⎧⎨=⎩，∴y=﹣x+3．
综上所述：直线AC 的表达式是y=x+2或y=﹣x+3．
（2）分两种情况讨论：
①当点F 在点E 左侧时：
连接OD ．则OD=221417+=，∴217r ≤≤．
②当点F 在点E 右侧时：
连接OE ，OD ．
∵E （1，2），D （1，3），∴22125+221417+=517r ≤≤
综上所述：217r ≤≤517r ≤≤
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
20． (1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A 型34台、B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×
A 电脑数量+
B 型电脑每台利润×B 电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x 的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥100
3
，
∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，
331
3
≤x≤60，
①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进A型电脑数量满足331
3
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.
21．(1) 乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5﹣﹣174.5内；（答案不唯一）；（2）120°；（3）160或
1；（4）3 5 .
【解析】
【分析】
（1）对比图①与图②，找出图②中与图①不相同的地方；（2）则159.5﹣164.5这一部分的人数占全班人数的比乘以360°；（3）身高排序为第30和第31的两名同学的身高的平均数；（4）用树状图法求概率. 【详解】
解：（1）对比甲乙的直方图可得：乙在整理数据时漏了一个数据，它在169.5﹣﹣174.5内；（答案不唯一）（2）根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数；
将甲的数据相加可得10+15+20+10+5=60；
由题意可知159.5﹣164.5这一部分所对应的人数为20人，
所以这一部分所对应的扇形圆心角的度数为20÷60×360=120°，
故答案为120°；
（3）根据中位数的求法，将甲的数据从小到大依次排列，
可得第30与31名的数据在第3组，由乙的数据知小于162的数据有36个，则这两个只能是160或1． 故答案为160或1；
（4）列树状图得：
P （一男一女）=1220=35
． 22．（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B ，
PB AB CD AC = =k ；（3710. 【解析】
【分析】
（1）根据已知条件推出△ABP ≌△ACD ，根据全等三角形的性质得到PB=CD ，∠ACD=∠B=45°，于是得到 1;PB CD
= ()2根据已知条件得到△ABC ∽△APD ，由相似三角形的性质得到AB AP k AC AD =
=，得到 ABP ∽△CAD ，根据相似三角形的性质得到结论；
()3过A 作AH ⊥BC 于 H ，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根据勾股定理得到222245,3,AC AH CH PH PA AH =+==-=根据相似三角形的性质得到 AB AP AC AD =，推出△ABP ∽△CAD ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵∠A=90°，
1,AB AC
= ∴AB=AC ，
∴∠B=45°，
∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°， ∴AP=AD ，
∴∠BAP=∠CAD ，
在△ABP 与△ACD 中，
AB=AC, ∠BAP=∠CAD ，AP=AD, ∴△ABP ≌△ACD ，
∴PB=CD ，∠ACD=∠B=45°， ∴PB CD =1， （2）,PB AB ACD B k CD AC ，
∠=∠== ∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD ， ∴△ABC ∽△APD ，
AB AP k AC AD
==Q ∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， ∴∠BAP=∠CAD ，
∴△ABP ∽△CAD ，
∴∠ACD=∠B ，
,PB AB k CD AC
== （3）过 A 作 AH ⊥BC 于 H ，
∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴2245,AC AH CH =+=
∴PH=22PA AH -=3，
∴PB=1，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD ，
∴△ABC ∽△APD ，
∴AB AP AC AD
=, ∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD ，
∴∠BAP=∠CAD ，
∴△ABP ∽△CAD ，
∴,AB PB AC CD =即421,45
CD = ∴102CD =
． 过 A 作 AH ⊥BC 于 H ，
∵∠B=45°，
∴△ABH 是等腰直角三角形，
∵BC=12，
∴CH=8，
∴AC ==
∴，
∴PB=7，
∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD ，
∴△ABC ∽△APD ， ∴AB AP AC AD
=， ∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD ，
∴∠BAP=∠CAD ，
∴△ABP ∽△CAD ，
∴,AB PB
AC CD =7,CD
=
∴2CD =
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．客车不能通过限高杆，理由见解析
【解析】
【分析】
根据DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，得到∠EDF=∠ABC=14°．在Rt △EDF 中，根据cos ∠EDF=
DF DE
，求出DF 的值，即可判断.
【详解】
∵DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，
∴∠EDF=∠ABC=14°．
在Rt △EDF 中，∠DFE=90°，
∵cos ∠EDF=DF DE
， ∴DF=DE•cos ∠EDF=2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.1．
∵限高杆顶端到桥面的距离DF 为2.1米，小于客车高2.5米，
∴客车不能通过限高杆．
【点睛】
考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.
24．（1）3（2）
11a a +-. 【解析】 【分析】
（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；
（3）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】
（1）())0223π12sin60︒-+-+-
=4+1+|1﹣2×3=4+1+|133 1
3
（2）2a 12a 1a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭
=()()2a 1a 1a 2a 1a a
+--+÷ =()()()
2a 1a 1a ·a a 1+--
=a1 a1 +
-
．
【点睛】
本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
25．(1)、（t+6，t）；(2)、当t=2时，S有最小值是16；(3)、理由见解析．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）如图所示，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠COP=∠PGE=90°，
由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，
∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，
又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，
在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），
∴CO=PG=6、OP=EG=t，则OG=OP+PG=6+t，则点E的坐标为（t+6，t），
（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴AD PA
GE PG
=，∴
4
6
AD t
t
-
=，
∴AD=1
6
t（4﹣t），
∴BD=AB﹣AD=6﹣1
6
t（4﹣t）=
1
6
t2﹣
2
3
t+6，
∵EG⊥x轴、FP⊥x轴，且EG=FP，
∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，
∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE=1
2
×BD×EF=
1
2
×（
1
6
t2﹣
2
3
t+6）×6=
1
2
（t﹣2）2+16，
∴当t=2时，S有最小值是16；
（3）①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上，
∵PF=OP＜AB，
∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角；
②假设∠FDB为直角，则点D在EF上，
∵点D在矩形的对角线PE上，
∴点D不可能在EF上，即∠FDB不可能为直角；
③假设∠BFD为直角且FB=FD，则∠FBD=∠FDB=45°，如图2，作FH⊥BD于点H，
则FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程无解，
∴假设不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．
26．（1）117；（2）答案见图；（3）B；（4）30.
【解析】
【分析】
（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．
【详解】
（1）∵总人数为18÷45%=40人，
∴C等级人数为40﹣（4+18+5）=13人，
则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°，
故答案为：117；
（2）补全条形图如下：
（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，
故答案为：B．
（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
27．（1）∠EAD的余切值为5
6
；（2）
BF
CF
=
5
8
.
【解析】【分析】
（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=
5
13
，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可
求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED，可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.
【详解】
（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°，
Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=
5 13
，
∴AD=5，由勾股定理得：BD=12，∵E是BD的中点，
∴ED=6，
∴∠EAD的余切==5
6
；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，∵AC=8，AD=5，∴CD=3，
∵DG∥AF，
∴=3
5
，
设CD=3x，AD=5x，∵EF∥DG，BE=ED，∴BF=FG=5x，
∴==5 8 .
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.。