苏教版七年级数学上册 期末试卷测试卷(含答案解析)

苏教版七年级数学上册 期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．2020的相反数是（ ） A ．2020
B ．﹣2020
C ．
1
2020
D ．﹣
1
2020
2．按图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是（ ）
A ．289
B ．2
C ．1-
D ．2或1-
3．如图，已知AOB ∠是直角，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，则MON ∠的度数是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
4．下列运算正确的是( )
A ．332(2)-=-
B ．22(3)3-=-
C ．323233-⨯=-⨯
D ．2332-=-
5．将一个无盖正方体形状的盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是
( ) A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，给出下列说法:①∠B 和∠1是同位角;②∠1和∠3是对顶角;③ ∠2和∠4是内错角;④ ∠A 和∠BCD 是同旁内角. 其中说法正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．已知23a +与5互为相反数，那么a 的值是（ ） A ．1
B ．－3
C ．－4
D ．－1
8．如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A ．两点之间，线段最短
B ．经过一点，有无数条直线
C ．垂线段最短
D ．经过两点，有且只有一条直线
9．在 3.14、 22
7
、 0、π、1.6这 5个数中，无理数的个数有（ ） A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列平面图形不能够围成正方体的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．下列说法错误的是( ) A ．对顶角相等 B ．两点之间所有连线中，线段最短 C ．等角的补角相等
D ．不相交的两条直线叫做平行线
13．下列合并同类项正确的是（ ） A ．2x +3x ＝5x 2
B ．3a +2b ＝6ab
C ．5ac ﹣2ac ＝3
D ．x 2y ﹣yx 2＝0 14．若x 3=是方程3x a 0-=的解，则a 的值是( ) A ．9
B ．6
C ．9-
D ．6- 15．下列计算中正确的是( )
A ．()3
3a a -=
B ．235a b ab +=
C ．22243a a a -=
D ．332a a a +=
二、填空题
16．如图，已知∠AOB=75°，∠COD=35°，∠COD 在∠AOB 的内部绕着点O 旋转(OC 与OA 不重合，OD 与OB 不重合)，若OE 为∠AOC 的角平分线．则2∠BOE －∠BOD 的值为______．
17．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC CB ==，点,M N 分别是,AC BC 的中点，则线段MN =____．
18．已知3x =是方程35x x a -=+的解，则a 的值为__________． 19．若单项式2a m b 4与－3ab 2n 是同类项，则m －n ＝__． 20．下午3点30分时，钟面上时针与分针所成的角等于_____°．
21．如图，C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，且8,6DA DB ==，则
CD =__________．
22．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元。

该店为庆“元旦”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔卖出60支，卖得金额87元。

该文具店在这次活动中卖出铅笔___________支. 23． 若32x +与21x --互为相反数，则x =__.
24．如图，135AOD ∠=︒，75COD ∠=︒，OB 平分AOC ∠，则BOC ∠=________度.
25．有下列三个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上； ②把弯曲的公路改直能缩短路程；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线． 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有_____（填序号）．
三、解答题
26．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n p q =⨯（p ，q 是正整数，且p q ≤），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的完美分解．并规定：()p F n q
=
． 例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的
完美分解，所以F （18）＝
3162
=． （1）F （13）＝ ，F （24）＝ ；
（2）如果一个两位正整数t ，其个位数字是a ，十位数字为1b -，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；
（3）在（2）所得“和谐数”中，求F （t ）的最大值．
27．给出定义如下：若一对实数(,)a b 满足4a b ab -=+，则称它们为 一对“相关数”，
如：33
77488-
=⨯+，故3(7,)8
是一对“相关数”. （1）数对(1,1),(2,6),(0,4)---中是“相关数”的是___________；
（2）若数对(,3)x -是“相关数”，求x 的值；
（3）是否存在有理数数,m n ，使数对(,)m n 和(,)n m 都是“相关数”，若存在，求出一对,m n 的值，若不存在，说明理由.
28．如图，OC 是AOB ∠内的一条射线，OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠.
（1）若80BOC ∠=︒，40AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数； （2）若BOC α∠=，50AOC ∠=︒，求DOE ∠的度数；
（3）若BOC α∠=，AOC β∠=，试猜想DOE ∠与α、β的数量关系并说明理由. 29．已知一个由正奇数排成的数阵．用如图所示的四边形框去框住四个数．
(1)若设框住四个数中左上角的数为n ，则这四个数的和为 (用n 的代数式表示)； (2)平行移动四边形框，若框住四个数的和为228，求出这4个数；
(3)平行移动四边形框，能否使框住四个数的和为508？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由．
30．如图所示方格纸中，点,,O A B 三点均在格点(格点指网格中水平线和竖直线的交点)上，直线,OB OA 交于格点O ，点C 是直线OB 上的格点，按要求画图并回答问题.
(1)过点C 画直线OB 的垂线，交直线OA 于点D ；过点C 画直线OA 的垂线，垂足为E ；在图中找一格点F ，画直线DF ，使得//DF OB
(2)线段CE 的长度是点C 到直线 的距离，线段CD 的长度是点 到直线OB 的距离. 31．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+…+100.小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子:
第1个等式: 211=;第2个等式: 2132+=;第3个等式: 21353++= 探索以上等式的规律，解决下列问题: (1) 13549++++=…( 2)； (2)完成第n 个等式的填空: 2135()n ++++=…；
(3)利用上述结论，计算51+53+55+…+109 .
32．运动场环形跑道周长400米，小红跑步的速度是爷爷的
5
3
倍，小红在爷爷前面20米，他们沿跑道的同一方向同时出发，5min 后小红第一次与爷爷相遇.小红和爷爷跑步的速度各是多少? 33．计算 （1）157
()362612
+
-⨯ （2）(
)
4
2
1723-+÷-
四、压轴题
34．点A 、B 在数轴上分别表示数,a b ，A 、B 两点之间的距离记为AB ．我们可以得到
AB a b =-：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和a 的两点之间的距离是 ．
（2）若点A 、B 在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C 对应的数为c ．
①求电子蚂蚁在点A的左侧运动时AC BC
的值，请用含c的代数式表示；
②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得1511
c c，c表示的数是多少？
③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索15
c c的最小值是．
35．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．
（1）当t=2时，求∠POQ的度数；
（2）当∠POQ=40°时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=1
2
∠AOQ？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由．
36．问题情境：
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1=x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|；
（应用）：
（1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为．
（2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD=2，则点D的坐标为．
（拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5．
解决下列问题：
（1）已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），求d（E，F）；
（2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）=3，求t的值；
（3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，求d（P，Q）．
37．如图，OC 是AOB ∠的角平分线，OD OB ⊥，OE 是BOD ∠的角平分线，
85AOE ∠=
（1）求COE ∠；
（2）COE ∠绕O 点以每秒5的速度逆时针方向旋转t 秒（013t <<），t 为何值时
AOC DOE ∠=∠；
（3）射线OC 绕O 点以每秒10的速度逆时针方向旋转，射线OE 绕O 点以每秒5的速度顺时针方向旋转，若射线OC OE 、同时开始旋转m 秒（024.5m <<）后得到
4
5
AOC EOB ∠=
∠，求m 的值． 38．如图，已知点A 、B 是数轴上两点，O 为原点，12AB =，点B 表示的数为4，点
P 、Q 分别从O 、B 同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P 速度为每秒1个单位．点
Q 速度为每秒2个单位，设运动时间为t ，当PQ 的长为5时，求t 的值及AP 的长．
39．如图，射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20OA cm =，60AB cm =，
BC 10cm =，点P 从点O 出发，沿OM 方向以1/cm s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发
在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q 运动到点O 时，点P 、Q 停止运动.
（1）若点Q 运动速度为2/cm s ，经过多长时间P 、Q 两点相遇？
（2）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点，求点Q 的运动速度; （3）设运动时间为xs ，当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，则2OC AP EF --=____________cm . 40．已知AOB ∠是锐角，2AOC BOD ∠=∠.
（1）如图，射线OC ，射线OD 在AOB ∠的内部（AOD AOC ∠>∠），AOB ∠与
COD ∠互余；
①若60AOB ︒∠=，求BOD ∠的度数； ②若OD 平分BOC ∠，求BOD ∠的度数.
（2）若射线OD 在AOB ∠的内部，射线OC 在AOB ∠的外部，AOB ∠与COD ∠互补.方方同学说BOD ∠的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下
BOD ∠的度数是确定的，另一种情况下BOD ∠的度数不确定.你认为谁的说法正确?为什么?
41．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解.例如：已知点A ，B ，C 在一条直线上，若AB =8，BC =3则AC 长为多少？
通过分析我们发现，满足题意的情况有两种：情况 当点C 在点B 的右侧时，如图1，此时，AC =11；
情况②当点C 在点B 的左侧时， 如图2此时，AC =5.
仿照上面的解题思路，完成下列问题:
问题（1）: 如图,数轴上点A 和点B 表示的数分别是-1和2，点C 是数轴上一点，且
BC =2AB ，则点C 表示的数是.
问题(2): 若2x =，3y =求x y +的值.
问题(3): 点O 是直线AB 上一点，以O 为端点作射线OC 、OD ，使060AOC ∠=，
OC OD ⊥，求BOD ∠的度数（画出图形，直接写出结果）.
42．已知点O 为直线AB 上的一点,∠EOF 为直角,OC 平分∠BOE ， (1)如图1,若∠AOE=45°,写出∠COF 等于多少度；
(2)如图1,若∠AOE=()090n n ︒＜＜，求∠COF 的度效(用含n 的代数式表示)； (3)如图2,若∠AOE=()90180n n ︒＜＜，OD 平分∠AOC,且∠AOD-∠BOF=45°,求n 的值．
43．一般地，n 个相同的因数a 相乘......a a a ⋅，记为n a ， 如322228⨯⨯==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8 (即2log 83=) ．一般地，若(0n
a b a =>且
1,0)a b ≠>， 则n 叫做以a 为底b 的对数， 记为log a b (即log a b n =) ．如4381=， 则
4叫做以3为底81的对数， 记为3log 81 (即3log 814=) ．
（1）计算下列各对数的值：2log 4= ；2log 16= ；2log 64= ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，222log 4,log 16,log 64之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
（4） 根据幂的运算法则：n m n m a a a +=以及对数的含义说明上述结论．
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一、选择题 1．B 解析：B
【解析】 【分析】
根据相反数的定义可直接得出结论． 【详解】
解：2020的相反数是−2020． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了相反数的定义，题目比较简单，掌握相反数的定义是解决本题的关键．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
设输入的数为x ，根据计算程序列出方程，求出方程的解即可得到x 的值． 【详解】
解：设输入的数为x ，输出为9， 根据计算程序中得：（2x-1）2=9， 开方得：2x-1=3或2x-1=-3， 解得：x=2或x=-1， 故选D. 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的计算方法．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由角平分线的定义可得，∠COM=12∠AOC ，∠NOC=1
2
∠BOC ，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC 解答即可. 【详解】
∵OM 平分AOC ，∴∠COM=1
2
∠AOC ， ∵ON 平分∠BOC ，∴∠NOC=1
2
∠BOC ， ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12 (∠AOC-∠BOC)=1
2
∠AOB=45°. 故选B. 【点睛】
本题考查角的相关计算，解题的关键是通过角平分线的定义将所求的角转化已知角.
4．A
【解析】
【分析】
根据幂的乘法运算法则判断即可.
【详解】
A. 332(2)-=-=-8,选项正确;
B. 22(3)9,39-=-=-,选项错误;
C. 323224,3327,-⨯=--⨯=-选项错误;
D. 2339,28,-=--=-选项错误;
故选A.
【点睛】
本题考查幂的乘方运算法则,关键在于熟练掌握运算方法.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
由四棱柱的四个侧面及底面可知，A 、B 、D 都可以拼成无盖的正方体，但C 拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．
所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是C ． 故选C ．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据同位角、对顶角、内错角以及同旁内角的定义进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：由图可知，
∠B 和∠1是同旁内角，故①、②错误；
∠2和∠4是内错角，故③正确；
∠A 和∠BCD 不是同旁内角，故④错误；
∴正确的只有1个；
故选：B.
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断.
7．C
解析：C
【分析】
由互为相反数的两个数和为0可得a的值.
【详解】
解：23
a+与5互为相反数
2350
a
∴++=
解得4
a=-.
故选：C
【点睛】
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题干图片可知，剪痕是一条线段，而被减掉的部分是两条有共同端点的线段，据此进行解答即可.
【详解】
解：剪痕是一条线段，而被减掉的部分是两条有共同端点的线段，根据两点之间线段最短可解释该现象，
故选择A.
【点睛】
本题考查了两点之间，线段最短概念的实际运用.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义确定即可.
【详解】
解：在 3.14、22
7
、 0、π、1.6这 5个数中，π为无理数，共1个.
故选：A.
【点睛】
本题考查实数的分类，无限不循环的小数为无理数. 10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据展开图推出几何体，再得出视图.
【详解】
根据展开图推出几何体是四棱柱，底面是四边形.
故选B
【点睛】
考核知识点：几何体的三视图.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用正方体的表面展开图特点判断即可．
【详解】
根据正方体展开图的特点可判断A属于“1、3、2”的格式，能围成正方体，D属于“1，4，1”格式，能围成正方体，C、属于“2，2，2”的格式也能围成正方体，B、不能围成正方体．
故选B．
【点睛】
本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据各项定义性质判断即可.
【详解】
D选项应该为:同一平面内不相交的两条直线叫平行线.
故选D.
【点睛】
本题考查基础的定义性质,关键在于熟记定义与性质.
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，结合选项即可得出答案.
【详解】
A、2x+3x＝5x，故原题计算错误；
B、3a和2b不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、5ac﹣2ac＝3ac，故原题计算错误；
D、x2y﹣yx2＝0，故原题计算正确；
【点睛】
此题考查了同类项的合并，属于基础题，掌握同类项的合并法则是关键.
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
把x =3代入方程3x ﹣a =0得到关于a 的一元一次方程，解之即可．
【详解】
把x =3代入方程3x ﹣a =0得：9﹣a =0，解得：a =9．
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
15．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据乘方的定义，合并同类项法则依次对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A ． ()3
3()()()a a a a a -=-⋅-⋅-=-，故本选项错误；
B ． 2a 和3b 不是同类项不能合并，故本选项错误；
C ． 22243a a a -=，故本选项正确；
D ． 3332a a a +=，故本选项错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查乘方的定义和合并同类项．在多项式中只有同类项才能合并，合并同类项法则为：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 二、填空题
16．110°
【解析】
【分析】
由角平分线的定义可知∠AOC=2∠AOE，由角的和差可知∠BOE=∠AOB -∠AOE，代入2∠BOE－∠BOD 整理即可.
【详解】
∵OE 为∠AOC 的角平分线，
∴∠A
【解析】
【分析】
由角平分线的定义可知∠AOC=2∠AOE，由角的和差可知∠BOE=∠AOB-∠AOE，代入
2∠BOE－∠BOD整理即可.
【详解】
∵OE为∠AOC的角平分线，
∴∠AOC=2∠AOE，
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE，
∴2∠BOE－∠BOD
=2(∠AOB-∠AOE) －∠BOD
=2∠AOB-2∠AOE －∠BOD
=2∠AOB-∠AOC －∠BOD
=2∠AOB-(∠AOC +∠BOD)
=2∠AOB-(∠AOB -∠COD)
=∠AOB+∠COD
=75°+35°
=110°.
故答案为：110°.
【点睛】
本题考查了角平分线的有关计算，以及角的和差，结合图形找出不同角之间的数量关系是解答本题的关键.
17．7
【解析】
【分析】
根据线段中点求出MC和NC，即可求出MN；
【详解】
解：∵M、N分别是AC、BC的中点，AC=8，BC=6，
∴MC=AC=4，CN=BC=3，
∴MN=MC+CN=4+3
解析：7
【解析】
【分析】
根据线段中点求出MC和NC，即可求出MN；
【详解】
解：∵M、N分别是AC、BC的中点，AC=8，BC=6，
∴MC=1
2
AC=4，CN=
1
2
BC=3，
∴MN=MC+CN=4+3=7,
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了两点间的距离，解题的关键是利用中点的定义求解．18．【解析】
【分析】
把x=3代入方程即可得到一个关于a的方程，解得a的值．【详解】
解：把x=3代入方程得：9-5=3+a，
解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查方程的解的定义，解
解析：1
【解析】
【分析】
把x=3代入方程即可得到一个关于a的方程，解得a的值．
【详解】
解：把x=3代入方程得：9-5=3+a，
解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查方程的解的定义，解题关键是理解定义．
19．﹣1
【解析】
【分析】
直接利用同类项的定义，得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】
∵2amb4与－3ab2n是同类项，
∴m=1，2n=4，
解得：m=1，n=2，
则m﹣n=1﹣2=﹣1.
解析：﹣1
【解析】
【分析】
直接利用同类项的定义，得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】
∵2a m b 4与－3ab 2n 是同类项，
∴m =1，2n =4，
解得：m =1，n =2，
则m ﹣n =1﹣2=﹣1.
故答案为：﹣1.
【点睛】
本题考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题的关键.
20．75
【解析】
试题解析：时针指向3和4的中间，分针指向6，
时针与分针之间的夹角为：
故答案为.
解析：75
【解析】
试题解析：时针指向3和4的中间，分针指向6，
时针与分针之间的夹角为：
302302156075.÷+⨯=+=
故答案为75.
21．1
【解析】
【分析】
根据可知AB 的长度，再根据为线段的中点，可知AC 的长度，从而可求答案.
【详解】
∵
∴AB=DA+DB=8+6=14
∵为线段的中点
∴
∴CD=DA-AC=8-7=1
故
解析：1
【解析】
【分析】
根据8,6DA DB ==可知AB 的长度，再根据C 为线段AB 的中点，可知AC 的长度，从而可求答案.
【详解】
∵8,6DA DB ==
∴AB=DA+DB=8+6=14
∵C 为线段AB 的中点 ∴1=72
AC BC AB == ∴CD=DA -AC=8-7=1
故答案为1.
【点睛】
本题考查的是线段中点的性质，熟知线段中点的性质是解题的关键.
22．【解析】
【分析】
设铅笔卖出x 支，圆珠笔卖出y 支，根据两种笔共卖出60支且卖得金额87元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设铅笔卖出x 支，圆珠笔卖出y 支，
依题
解析：25
【解析】
【分析】
设铅笔卖出x 支，圆珠笔卖出y 支，根据两种笔共卖出60支且卖得金额87元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设铅笔卖出x 支，圆珠笔卖出y 支，
依题意，得：
601.20.820.987x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩
＝＝， 解得：
2535x y ⎧⎨⎩
＝＝． ∴铅笔卖出25支，圆珠笔卖出35支．
故填：25.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．-1
【解析】
【分析】
由于与互为相反数，由此可以列出方程解决问题．
解：∵与互为相反数，
∴+（）=0，
解得：x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的解法
解析：-1
【解析】
【分析】
由于32x +与21x --互为相反数，由此可以列出方程解决问题．
【详解】
解：∵32x +与21x --互为相反数，
∴32x ++（21x --）=0，
解得：x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的解法，解题时首先正确理解同一，然后利用题目的数量关系列出方程解决问题．
24．【解析】
【分析】
先根据题意算出∠AOC,再由平分的条件算出∠BOC.
【详解】
∵，,
∴∠AOC=∠AOD -∠COD=135°-75°=60°,
∵OB 平分∠AOC,
∴∠BOC=.
故答案
解析：【解析】
【分析】
先根据题意算出∠AOC,再由平分的条件算出∠BOC.
【详解】
∵135AOD ∠=︒，75COD ∠=︒,
∴∠AOC=∠AOD-∠COD=135°-75°=60°,
∵OB 平分∠AOC,
∴∠BOC=1
302
AOC ∠=︒.
【点睛】
本题考查角度的计算,关键在于结合图形进行计算.
25．②．
【解析】
【分析】
本题分别根据两点确定一条直线；两点之间，线段最短进行解答即可．
【详解】
解：①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上，根据两点确定一条直线； ②把弯曲的公路改直能缩短路程，
解析：②．
【解析】
【分析】
本题分别根据两点确定一条直线；两点之间，线段最短进行解答即可．
【详解】
解：①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上，根据两点确定一条直线； ②把弯曲的公路改直能缩短路程，根据两点之间，线段最短；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线根据两点确定一条直线； 故答案为②．
考点：线段的性质：两点之间线段最短．
三、解答题
26．（1）
113，23（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F （t ）的最大值是34． 【解析】
【分析】
(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可.
(2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b 表示列出式子解出即可.
(3)根据(2)中计算的结果求出最大即可.
【详解】
解：（1）F （13）＝113，F （24）＝23
; （2）原两位数可表示为10(1)b a -+
新两位数可表示为101a b +-
∴10110(1)36a b b a +----=
∴101101036a b b a +--+-=
∴9927a b -=
∴3a b -=
∴3a b =+ （16b <≤且b 为正整数 ）
∴b =2,a =5; b =3,a =6, b =4,a =7,
b =5,a =8 b =6,a =9
所以和谐数为15，26，37，48，59
(3)所有“和谐数”中，F （t ）的最大值是
34． 【点睛】
本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题.
27．（1）(0,4)-；（2）14x =
；（3）不存在，证明详见解析. 【解析】
【分析】
(1)根据“相关数”的定义和公式进行计算，左右相等的即为答案；（2）代入新定义公式得到方程，解方程即可解答；（3）先假设存在，分别代入新定义公式，假设相等得：m n n m -=-，只有0的相反数仍等于它本身等于0，所以得到,4m n mn =+的值不为0，即m-n≠mn+4，从而得解.
【详解】
（1）∵数对（1,1）：左边：a-b=1-1=0，右边：ab+4=1×1+4=5，左边≠右边，∴（1,1）不是；
数对（-2，-6）：左边：a-b=-2-（-6）=4，右边：ab+4=（-2）×（-6）+4=16，左边≠右边，∴（-2,-6）不是；
数对（0，-4）：左边：a-b=0-（-4）=4，右边：ab+4=0×（-4）+4=4，左边=右边，∴（0,-4）是；
即数对(1,1),(2,6),(0,4)---中是“相关数”的是(0,4)-；
（2）由题意得：(3)34x x --=-+
解：334x x +=-+
343x x +=-
41x =
14
x = 答：14x =
（3）不存在.
理由：假设存在(,)m n 满足4m n mn -=+，(,)n m 满足4n m nm -=+，
且两个等式右边相同
m n n m ∴-=-
若满足m n n m -=-，则m n n m -=-=0
,4m n mn ∴=+的值不为0
m n -和4mn +的结果不同，
4m n mn ∴-≠+
4n m nm -≠+
综上所述，n m -和4nm +的结果不同 ，不存在有理数,m n ，使数对(,)m n 和(,)n m 都是“相关数”，
【点睛】
本题考查有理数的计算和解方程，解题关键是理解和运用新定义公式.
28．（1）40︒；（2）
2α；（3）2DOE α∠=，与β无关 【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得,AOD AOE ∠∠的度数，相减即得DOE ∠的度数；
（2）由角平分线的定义可用含α的代数式表示AOD ∠的度数，求出AOE ∠相减即得DOE ∠的度数；
（3）由角平分线的定义可分别用含α、β的代数式表示,AOD AOE ∠∠，相减即得DOE ∠与α、β的数量关系.
【详解】
解：（1）80BOC ∠=︒，40AOC ∠=︒
120AOB BOC AOC ︒∴∠=∠+∠= OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠
1160,2022
AOD AOB AOE AOC ︒︒∴∠=∠=∠=∠= 40DOE AOD AOE ︒∴∠=∠-∠=
所以DOE ∠的度数40︒.
（2）BOC α∠=，50AOC ∠=︒
50AOB BOC AOC α︒∴∠=∠+∠=+ OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠
150125,252222
AOD AOB AOE AOC αα︒︒︒+∴∠=∠==+∠=∠= 2DOE AOD AOE α∴∠=∠-∠=
所以DOE ∠的度数
2α. （3）BOC α∠=，AOC β∠=
AOB BOC AOC αβ∴∠=∠+∠=+ OD 、OE 分别平分AOB ∠、AOC ∠
11,222222
AOD AOB AOE AOC αβαββ+∴∠=∠==+∠=∠= 2DOE AOD AOE α∴∠=∠-∠=
所以2DOE α∠=
，与β无关.
【点睛】 本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键.
29．（1）4n ＋32；（2）49、51、63、65；（3）不能框住这样的四个数，使四个数的和为508．
【解析】
【分析】
（1）设框住四个数中左上角的数为n ，则右上角的数为n+2，左下角的数为n+14，右下角的数为n+2+14，求它们的和即可；
（2）框住四个数的和为228列方程求解即可；
（3）假设能使框住四个数的和为508，则可得n ＝119，这样左上角的数119在第10行第6列，所以不能框住.
【详解】
(1) n +n+2+n+14+n+2+14=4n ＋32；
(2) 根据题意可得，4n ＋32＝228 ，
解得，n ＝49，
∴这四个数分别是49、51、63、65；
(3)不能框住这样的四个数，使四个数的和为508，
理由：假设能框住这样的四个数，
则4n ＋32＝508，解得n ＝119
而119＝9×12＋11＝(10－1) ×12＋11，
这样左上角的数119在第10行第6列，
所以不能框住这样的四个数，使四个数的和为508．
【点睛】
本题主要考查的是一元一次方程的应用，找出图中四个数的规律是解题的关键． 30．(1)详见解析;(2)OA,D.
【解析】
【分析】
(1)根据题意画出图象即可.
(2)由图象即可得出结论.
【详解】
(1)由题意画图如下:
(2)由图可以看出:
线段CE 的长度是点C 到直线OA 的距离，线段CD 的长度是点D 到直线OB 的距离.
【点睛】
本题考查作图能力,关键在于掌握平行垂直等作图技巧.
31．(1)25;(2)2n -1;(3)2400.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的规律,写出答案即可.
(2)根据题目中的规律,反推答案即可.
(3)利用规律通式,代入计算即可.
【详解】
(1) 由题意规律可以得,连续奇数的和为中间相的平方,
所以13549++++=…22149252+⎛⎫= ⎪⎝⎭
. (2)设最后一项为x ,由题意可推出: 12
x n +=,x =2n-1. (3)根据上述结论, 51+53+55+…+109=(1+3+5+···+109)-( 1+3+5+···+49)=552-252=2400.
【点睛】
本题为找规律题型,关键在于通过题意找到规律.
32．小红速度为190 米/分,爷爷速度为114米/分.
【解析】
【分析】
由题意得第一次与爷爷相遇,必定小红比爷爷多跑一圈,所以小红的路程=爷爷的路程+400-20,由该等式列成方程解出即可.
【详解】
解:设爷爷的速度为x 米/分,小红的速度为53
x 米/分.
5·53
x =5x +400-20 251538033
x x -=
103803
x = x =114
53x =190 米/分. 答: 小红速度为190 米/分,爷爷速度为114米/分.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用,关键在于读题列出方程.
33．（1）27；（2）-2.
【解析】
【分析】
（1）原式利用乘法分配律计算即可得；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除，最后算加减即可得.
【详解】 解：1
57()362612
+-⨯ 157=3636362612
⨯+⨯-⨯ =183021+-
=27；
（2）()
421723-+÷- ()=1729-+÷-
()=177-+÷-
()=11-+-
=2-.
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则和运算步骤，选用合理的运算律是解答此题的关键.
四、压轴题
34．（1）3，3，1a -；（2）①42c -；②72-或152
；③6 【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得AC 与BC 的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A 左侧、在点A 、B 之间和在点B 右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案； ③代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
于是可确定当15c -≤≤时，代数式15c c 取得最小值，据此解答即可． 【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是523-=；
数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是()()253---=； 数轴上表示1和a 的两点之间的距离是1a -； 故答案为：3，3，1a -；
（2）①∵电子蚂蚁在点A 的左侧，
∴11AC c c =--=--，55BC c c =-=-，
∴1542AC BC c c c +=--+-=-；
②若电子蚂蚁在点A 左侧，即1c <-，则10c +<，50c -<，
∵1511c c ，
∴()()1511c c -+--=，解得：72c =-
； 若电子蚂蚁在点A 、B 之间，即15c -≤≤，则10c +>，50c -<， ∵1511c c ，
∴15611c c ++-=≠，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B 右侧，即5c >，则10c +>，50c ->， ∵1511c c ，
∴()()1511c c ++-=，解得：152c =
； 综上，c 表示的数是72-或152； ③∵代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
∴当15c -≤≤时，代数式15c c 的最小值是()516--=， 即代数式15c c 的最小值是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
35．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或
180 11或
180
7
，使得∠POQ=
1
2
∠AOQ．
【解析】
【分析】
当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；
（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．
【详解】
解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；
当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；
当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；
（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，
∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.
（2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10；
当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20；
当20＜t≤30时，2t=6t-120+40， t=20（舍去）；
答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.
（3）当0≤t≤15时，120-8t=1
2
(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；
当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=1
2
(120 -6t），t=
180
11
.
当20＜t≤30时，2t–(6t -120）=1
2
(6t -120），t=
180
7
.
答：存在t=12或180
11
或
180
7
，使得∠POQ=
1
2
∠AOQ.
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
36．【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）5；（2）t=±2；（3）d（P，Q）的值为4或8．
【解析】。