2018年高三最新 等价转化思想 精品

等价转化的思想
1．已知x ，y ∈R ，且满足方程0822222=+--+-y x y xy x 求下列各式的最小值：
（1）y x +；（2）xy ．
2．集合A ＝{x 019|22=-+-a ax x }，B ＝{ 1)85(log |22=+-x x x }，C ＝{ 082|2=-+x x x }，当a 取什么实数时，B A ≠φ且C A ＝φ同时成立．
3．解方程：83210321022=+--++x x x x ．
4．在△ABC 中，B A C C A sin 2
32cos sin 2cos sin 2=⋅+⋅，且最大角与最小角之差为90，求证它的三边之比为（17-）︰7︰（17+）．
5．如果a ，b ，c ∈R ，并满足044222=+-++b a b a ，04442
2=++-+d c d c ，求22)()(d b c a -+-=ω的最值．
6．设四面体的每组相对棱的长分别为a ，b ，c ，求此四面体的体积．
7．已知a ，b ，x ，y ∈R ，且042=++b a ，12=+y x ，求证：5)()(22≥+++y b x a ．
8．若2522=+y x ，求50685068),(++++-=x y x y y x f 的范围．
9．若△ABC 的三个内角，A ，B ，C 满足1sin cos 2=+A b A a ，1sin cos 2=+B b B a ，1sin cos 2=+C b C a ，求证：△ABC 是等腰三角形．
10．求同时满足下列两个条件的所有复数z ：
（1）∈+z z 10R ，且6101≤+<z
z ； （2）z 的实部和虚部都是整数．
11．5个不同的红球和2个不同的白球排在一个圆周上，使2个白球不相邻有几种排法？
12．已知1333222=++=++=++z y x z y x z y x ，求证x ，y ，z 中至少有一个等于0．
参考答案
1．（1）把原方程配方，得08)(2)(2=++--y x y x y x +⇔＝
24)(2
22+-y x ．∵ 0)(2≥-y x ，∴ 24≥+y x （2）原方程配方，得08)(24)(2=++--+y x xy y x ，
]8)(2)[(412++-+=y x y x xy 8
15)22(412+-+=y x ，由（1）知24≥+y x ．而xy 在［24，)∞+上为增函数，∴ xy 的最小值为88
15)2224(412=+- 2．∵ B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，要使φ=C A 成立，与－4都不是方程01922=-+-a ax x 的解；要使φ≠B A ，3是方程01922=-+-a ax x 的解，即019392=-+-a a ．∴ 5=a ，或2-=a ．当5=a 时，A ＝{2，3}，不满足φ=C A ，故5=a 舍去；当2-=a 时，A ＝{3，－5}，合题意，故2-=a 为所求
3．原方程可化为8)7()5()7()5(2
222=+--++x x ，此方程的解等价于双曲线19
42
22=-y x 的右支与直线72=y 的交点的横坐标，解得大于或等于4时的解为316=x ．故原方程解为3
16=x 4．已知等式B A C C A sin 2
32cos 1sin 2cos 1sin =+⋅++⋅⇔ C A sin sin +⇔)sin(C A ++＝B sin 3b c a B C A 2sin 2sin sin =+⇔=+⇔．设最小角为α，则三个内角的大小顺序为α，α290-︒，α+︒90．∵ a ︰b ︰c ＝αsin ︰)290sin(α-︒︰)90sin(α+︒＝αsin ︰α2cos ︰αcos （︒<<300α），由αααcos sin 2cos 2+=，得)s i n (c o s 222αα-＝ααcos sin +．∴ 21s i n c o s =
-αα．平方得83)sin (cos -=-⋅αα．因此，αcos ，αsin -是方程083212=--x x 的两根，解此方程得417sin -α，4
17cos +=α（∵ ααs i n c o s >）．∴ 4
72c o s =α．∴ αs i n ︰α2cos ︰αcos ＝)17(-︰7︰)17(+ 5．设P 的坐标为（a ，b ），则点P 满足方程1)2()1(22=-++y x ．设Q 的坐标为（c ，
d ），则点Q 满足4)2()2(22=++-b x ，2PQ =ω．若两圆的连心线分别交圆两圆于A ，B ，C ，D ，如图，PQ 的最大值为BD ，最小值为AC ，8215=++=BD ，2125=--=AC ．
6．如图，将四面体“装入”它的外接长方体内，使得长方体相邻的三个面的对角线长分别等于四面体各组棱长．设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，则222a y x =+……①，
222b z y =+……②，222c x z =+……③．由①、②、③解得)(2
12222c b a x +-=，)(212222c b a y -+=，)(212222c a b z +-=．∴ 2
21==xyz V 长方体)[(222c a b +- 21
222222)((c b a c b a -++-．∵ 长方体四面体V V 31=∴ 12
2=四面体V ． ))()((222222222c b a c b a c a b -++-+-
7．所证问题可转化为点（a ，b ）与（－x ，－y ）间的距离，已知点（a ，b ）在1l ：
042=++y x 上，点（－x ，－y ）在2l ：012=-+y x 上，且1l ∥2l ，因平行直线上任意两点间的距离
不小于这两平行线的距离，52221=+-=
B A c c d ，∴ 5)()(22≥+++y b x a 8．∵ 2522=+y x ，
∴ 25682568),(2222++++++-++=x y y x x y y x y x f ＝2222)4()3()4()3(++++++-y x y x ，),(y x f 可看做圆2522=+y x 上的动
点，P （x ，y ）到二定点A （－3，－4），B （3，－4）的距离之和，而A ，B 又在圆2522=+y x 上，因此，当P 与A 或B 重合时，6),(==AB y x f 为最小；当P 与点（0，5）重合时， 1062),(==AC y x f 为最大．),(y x f 的取值范围为［6，106］
9．从形上看三个条件具有同一模式1=+by ax ，可看成是P （A 2cos ，A sin ），Q
（B 2cos ，B sin ），R （C 2cos ，C sin ）三点同在一直线1=+by ax 上，同时，注意到
这三点的坐标也具有同一模式⎩⎨⎧==,
sin ,cos 2θθy x 这是抛物线的一段：12+-=x y （10≤≤x ）．这表明P ，Q ，R 是直线1=+by ax 与抛物线段12+-=x y （10≤≤x ）的三个公共点，但
实际上它们至多有两个公共点，所以这三点中至少有两点重合，从而A ，B ，C 中至少有两者相等，故△ABC 是等腰三角形．
10．∵ z z 10+为实数，且6101≤<<z z ，令u z z =+10，则∈u R ，且61≤<u ．于是0102=+-uz z ……（*）．∴ 方程（*）是关于z 的实系数方程，且0402<-=∆u （61≤<u ）． 从而解出i 2
4022
u u z -±=．∵ z 的实部与虚部均为整数，∴ u 只能取2，6两个
值．由此满足条件的复数有i 31±=z ，或i 3±=z
11．先转化为2个白球相邻时有多少种排法，然后求出不相邻时的排法总数480P P P 226677=-
12．原命题可转化为：已知1333222=++=++=++z y x z y x z y x ，求证：0=xyz ．∵ 1=++z y x ……①，1222=++z y x ……②1333=++z y x ③．①2－②，整理得0=++zx yz xy ……④．又xyz z y x 3333-++222)((z y x z y x ++++=xy - )zx yz --……⑤，将①、②、③、④代入⑤，得13333=-++xyz z y x ．∴ 0=xyz。