高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式
一、基础知识
排序不等式：设12n a a a ≤≤
≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,
,n 的任意一个排列.
则
1
1
1
1
k n
n
n
k n k k j k k k k k a b
a b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
可简记为反序和≤乱序和≤同序和.
切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤
≤则1
1
1
()().n
n
n
i i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑
设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥
≥则1
1
1
()().
n n n
i i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑
当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
二、典型例题与基本方法
1.用排序不等式证明：设12,,
,n a a a 是正数,
1
,n
i
i a
n
=≤
∑当且仅当12n a a a ===取等.
2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则
1
1
,1
n
i
i n
i i
a
n
n
a
==≥
∑∑当且仅当12n a a a ===取等.
3.已知,,0a b c >,证明：888
333
111.a b c a b c a b c ++++≤
4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
5.设,,,0,a b c d >且2
2
2
2
4,a b c d +++=证明：
22224
+.3
a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++
6.设0(1,2,
,),i a i n >=且1
1.n
i i a ==∑
求1
2
2313121
111n
n
n
n a a a S a a a a a a a a a -=
+
++
+++
++++
++++
+的最小值.
7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111
1.111
a b c ++≤+++
8.设,,0,a b c >证明：
2
().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca
+++++++≤+++++
B4.练习 姓名：
1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,
则
1
n
i
i a
n
=≤
∑当且仅当12n a a a ===取等.
2.设,,0,x y z >求证：222222
0.z x x y y z x y y z z x
---++≥+++
3.设12,,
,(2)n x x x n ≥都是正数,且1
1,n i i x ==∑
求证：1
n
i =≥
A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答
一、基础知识
排序不等式：设12n a a a ≤≤
≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,
,n 的任意一个排列.
则
1
1
1
1
k n
n
n
k n k k j k k k k k a b
a b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
可简记为反序和≤乱序和≤同序和.
证明：
1
11
11
1
1
1
()()(())()k
k k i n
n
n
n
n k
k k
k
j k k j n k j i j k k k k k k k i a b a b
a b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑
11111
1
1
1
1
1
1
1
()()()()()0.k i i n n
n k k n k k
n k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑
111
1
1
1
1
1
()()(())()k
k k i n n
n n n k
k k
k
j k k j n k j i j k k k k k k k i a b a b
a b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.
于是
1
1
.k
n
n
k j k k k k a b
a b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
11
11111
1
1
1
1
1
()()(())()k k k i n
n n n n k
k n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a b
a b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑
11111111
1
1
1
1
1
1
1
()()()()()0.k i i n n n k k n k k
n n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑
于是
1
1
1
.k n
n
k n k k j k k a b
a b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤
≤则1
1
1
()().n n n
i i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑
设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥
≥则1
1
1
()().
n n n
i i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑
当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ===时取等.
证明：法1由排序不等式知道
1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤+++++
+≤++
+
于是1
2
1
1
1
1
.n
n
n
n
i
i
n i i i i i i i a b a b a b n a b ====++
+≤∑∑∑∑即1
1
1
()().n
n
n
i i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑
当且仅当12n a a a ==
=或12n b b b ==
=时取等.
法2 1
1
1
11
11
11
11
()()()().n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i i
i
i
i i
i j
i i
i j
i
i
j
i i i i j i j i j i j n
a b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
1
1
1
1
1
1
11
()()()()().n n n n n n n n
i i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑
于是1
1
1
11
11
11
2(()())()()()()0.n n n n n n n
n n
i i
i
i
i
i
j
j
j
i i j i j i i i i j i j i j n
a b a b a b b a b
b a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑
于是1
1
1
(
)().n
n
n
i
i
i i
i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当1
2n a
a a ===或12n
b b b ===时取等.
二、典型例题与基本方法
1.用排序不等式证明：设12,,
,n a a a 是正数,
1
,n
i
i a
n
=≤
∑当且仅当12n a a a ===取等.
证明：由排序不等式知道1
2121
112
11111
1
.n
n
n n n
x x x x x x n x x x x x x -+++≥
+++= 即
12
1
1
.n
n n x x x n x x x -+++
≥ 令G =
12112122,,,.n
n n
a a a a a a x x x G G
G
=
==
于是121
12
2121
1211.n
n n n n
n a a a a a a G
G G n a a a a a a a G G G
--++
+
≥即12.n
a a a n G G
G
+++
≥ 于是
1
.n
i
i a
nG =≤∑1
.n
i
i a
n
=∑当且仅当12n a a a ===取等.
2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则
1
1,1n
i
i n
i i
a
n n
a ==≥
∑∑当且仅当12n a a a ===取等.
证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则
12
11
1.n
a a a ≤≤≤
由切比雪夫不等式知2
11111()().n
n n
i i i i i i i
n n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1
n
i i n
i i
a n n a ==≥
∑∑当且仅当12n a a a ===取等.
3.已知,,0a b c >,证明：888
333
111.a b c a b c a b c
++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则5
5
5
333333
111
,,
a b c bc ca ab b c c a a b
≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222
333
333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b
++=++≥++=++
又2
2
2
333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111
.a b c a b c c a b a b c a b c
++≥++=++
所以888
333
111.a b c a b c a b c
++++≤
4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
证明：等价于证明333222222
.a b b c c a a b b c c a ++≥++
再等价于222.a b c ab bc ca
c a b c a b
++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则
111
.a b c
≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即2
2
.a bc b ac +≥+
因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22
.b ac c ab +≥+
所以222
.a bc b ac c ab +≥+≥+
由排序不等式知
222222.a bc b ac c ab a bc b ac c ab
a b c c a b
++++++++≤++ 即
222
.bc ac ab a b c a b c c a b
++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
5.设,,,0,a b c d >且2
2
2
2
4,a b c d +++=证明：
22224
+.3
a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则
22221111
,.a b c d b c d c d a d a b a b c
≥≥≥≥≥≥++++++++
先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得
2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c
++≥+++++++++++++++++++++
211114(1111)64
4(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=
++++++++++++++
16.3
≥=
于是
22224
+.3
a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++
6.设0(1,2,
,),i a i n >=且1
1.n
i i a ==∑
求1
2
2313121
111n
n
n
n a a a S a a a a a a a a a -=
+
++
+++
++++++++
+的最小值.
解：1212
222n
n
a a a
S a a a =
+++
---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则
12
11
1
0.222n
a a a ≥≥≥
>--- 使用切比雪夫不等式有
1212
12
1
11
11111
()(
)().222222n n n
S a a a n
a a a n a a a ≥++
++++
=+++
------ 在使用柯西不等式得212
12111
11(111)()().22222221
n n n S n a a a n a a a n +++≥++
+≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====
等号成立.所以S 的最小值为
.21
n
n -
7.设,,1,a b c >且满足
222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111
a b c ++≤+++ 证明：因为2222
222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111
a b c a b c ++=---
又2222
2222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以222222444
0.111
a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是
222222
,.111111
a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -=
=-++在(1,)+∞单调递增,23
()111
x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得2222
224441222222
0()().1113111111
a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以
222
0.111
a b c a b c +++++>--- 于是
222
0.111
a b c a b c ---++≥+++ 因为
222131313111
33()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以111
1.111
a b c ++≤+++
8.设,,0,a b c >证明：
2
().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca
+++++++≤+++++ 证明：即证2(
)()().a b b c c a
ab bc ca a b c b c c a a b
+++++++≤+++++ 因为
()()().a b a b bc
ab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理
()()().b c b c ca
ab bc ca b b c c a c a
++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b
++++=++++ 于是()()()(
)()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a ab
ab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b
++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a ab
a b c ab bc ca b c c a a b
+++=++++++
+++++
于是只须证明
()()().a b bc b c ca c a ab
ab bc ca b c c a a b
+++++≤+++++(*)
不妨设,a b c ≥≥于是
111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc
+++≤≤ 所以
.ab ca bc
a b c a b c
≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得
()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bc
a b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c
+++++≤+++++=++++++++
于是(*)得证.从而
2
().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca
+++++++≤+++++
B4.练习 姓名：
1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,
则
1
n
i
i a
n
=≤
∑当且仅当12n a a a ===取等.
证明：不妨设120.n a a a ≥≥
≥>
由切比雪夫不等式知221
1
1
1
1
()()().n
n
n
n
n
i
i i i i i i i i i i n
a
n a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑
所以
1
n
i
i a
n
=≤
∑当且仅当12n a a a ===取等.
2.设,,0,x y z >求证：222222
0.z x x y y z x y y z z x
---++≥+++
证明：所证不等式等价于222222
.z x y x y z x y y z x z x y y z z x
++≥++++++++(*)
不妨设,x y z ≤≤则222
111
,
.x y z x y x z y z
≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).
所以原不等式成立.
3.设12,,
,(2)n x x x n ≥都是正数,且1
1,n
i i x ==∑
求证：1
n
i =≥
证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥
1
x ≥≥≥
-
使用切比雪夫不等式得
1
11
1()(n
n
n n
i i i i x n ===
≥=∑
使用柯西不等式得
1
n
i n
=
≤
=
=
于是
1
n
n
i =≥
≥。