中考数学探索性问题答题策略——以江苏省部分地市中考试题为例

２０２４年４月下半月㊀学习指导
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中考数学探索性问题答题策略
以江苏省部分地市中考试题为例
◉江苏省仪征市实验中学东区校㊀王小琪
◉江苏省仪征市月塘中学㊀雷业红
㊀㊀摘要:数学探索是一种重要的研究问题㊁解决问题的方法,也是人们探索和发现新知识的重要手段,有利于培养和发展创造思维能力．探索性问题已成为近年来中考数学的热点题型,本文中结合中考真题,对常见的几种探索性问题进行了归类㊁整合与解析,帮助学生熟悉探索性问题的答题策略,掌握解答的方法与技巧．
关键词:规律探索型;条件探索型;结论探索型;存在性探索型;尝试性解答
㊀㊀初中数学课程标准要求教师 引导学生通过实践㊁思考㊁探索㊁交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习 ,探索性题型正是为了适应加强对学生综合能力考查的新形势,在近年来中考数学试题中出现的一种新颖的题型．探索性问题的解答过程本身就是一个探索㊁发现的过程,这一类问题对培养学生的创造性思维㊁想象能力㊁实践能力㊁探索创新能力有很大的帮助．
１规律探索型
解答规律探索类问题的策略是:运用化归思想,根据题目的设问方式,采用 提出问题－分析问题－解决问题－深度思考 逐步深入的模式分步解答;要善于从所提供的数字或图形信息中,寻求其内在的共同之处,找到这个存在于特殊之中的共性,也就找到了规律．
例１㊀(２０２２年江苏省盐城市中考试题第２７题)
ʌ发现问题ɔ小明在练习簿的横线上取点O为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图１所示,他发现这些点的位置有一定的规律．
ʌ提出问题ɔ小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上．
ʌ分析问题ɔ小明利用已学知识和经验,以圆心O 为原点,过点O的横线所在直线为x轴,过点O且垂直于横线的直线为y轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图２所示．当所描的点在半径为５的同心圆上时,其坐标为．
ʌ解决问题ɔ请帮助小明验证他的猜想是否成立．
ʌ深度思考ɔ小明继续思考:设点P(０,m),m为正整数,以O P为直径画☉M,是否存在所描的点在☉M上?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．
图１
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图２
解析:对于 分析问题 ,根据题意可知,所描的点在半径为５的同心圆上时,其纵坐标为y＝５－１＝４,横坐标x＝ʃ５２－４２＝ʃ３,所以点的坐标为(－３,４)或(３,４)．
对于 解决问题 ,设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为(n－１),横坐标为ʃn２－(n－１)２＝ʃ２n－１,所以该点的坐标为(－２n－１,n－１)或(２n－１,n－１)．
因为(ʃ２n－１)２＝２n－１,又n－１＝２n－１－１
２,所以该点在二次函数y＝
１
２(x２－１),即y＝
１
２x２－１
２的图象上．故小明的猜想正确．
对于 深度思考 ,假设该点在第二象限,坐标为(－２n－１,n－１),☉M的圆心坐标为(０,１２m),所以由(ʃ２n－１－０)２＋(n－１－１２m)２＝１２m解得m＝
n２
n－１＝
(n－１＋１)２
n－１＝
(n－１)２＋２(n－１)＋１
n－１＝n－１＋２＋
１
n－１．又因为m
,n均为正整数,所以n－１＝１,于是m＝１＋２＋１＝４．
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故存在所描的点在☉M 上,m 的值为４．思路与方法:本题考查了勾股定理㊁二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系等知识．在 分析问题 中,根据题意可得知该点的纵坐标为４,再利用勾股定理,即可求出该点的横坐标;在 解决问题 这一步中,设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上,即可推知该点的纵坐标为(n －１),利用勾股定理又可得出该点的坐标为(－２n －１,n －１)
或(２n －１,n －１),利用点横㊁纵坐标间的关系,可得出该点在二次函数y ＝１２x ２－１
２
的图象上,进而即可验
证小明的猜想正确;在 深度思考 中,先假设该点的坐标为(－２n －１,n －１),再根据☉M 的圆心坐标,结合勾股定理,用含n 的代数式表示出m 的值,最后结合m 与n 均为正整数,即可求出m ,n 的值．２条件探索型
解答条件探索类问题的策略是:从结论出发,逆向追索,补充使结论成立的条件,当然很可能满足结论的条件不唯一．这也正是开放性探索问题的一大特点．具体的解题方法因题而异,具有多样性,值得我们不断探索．
例２㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题
第２７题)(１)ʌ问题提出ɔ苏科版«数学»九年级(上册)习题２．１有这样一道练习题:如图３①,B D ,C E 是әA B C 的高,M 是B C 的中点,点B ,C ,D ,E 是否在
以点M 为圆心的同一个圆上?为什么?在解决此题时,若想要说明 点B ,C ,D ,E 在以点M 为圆心的同
一个圆上 ,在连接MD ,M E 的基础上,只需证明
．
图３
(２)ʌ初步思考ɔ如图３②,B D ,C E 是锐角三角形
A B C 的高,连接D E ,求证øA D E ＝øA B C ．
小敏在解答此题时,利用了 圆的内接四边形的对角互补 进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．
)(３)ʌ推广运用ɔ如图３③,B D ,C E ,A F 是锐角三角形A B C 的高,三条高的交点G 叫做әA B C 的垂
心,连接D E ,E F ,F D ,求证:点G 是әD E F 的内心．
解析:(１)根据圆的定义可知,当点B ,C ,D ,E 到
点M 点距离相等时,则它们在圆M 上,所以只需证明
M E ＝MD ＝M B ＝M C ．
图４
(２)如图４,取B C 的中点M ,连接M E ,MD ．
由B D ,C E 是锐角三角形A B C
的高,可知øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ．
在R t әB D C 中,
因为M 是B C 的中点,
所以MD ＝M B ＝M C ．同理,可得M E ＝M B ＝M C ．
所以M B ＝M C ＝MD ＝M E ．故四边形B C D E 是☉M 的内接四边形．因此øE B C ＋øE D C ＝１８０ʎ．
又øA D E ＋øE D C ＝１８０ʎ,所以øA D E ＝
øE B C ,即øA D E ＝øA B C ．(３)证明:在圆M 的内接四边形B C D E 中,
可知øC B D ＝øC E D ．
在圆的内接四边形E F C A 中,øC A F ＝øC E F ．
因为øC B D ＋øA C B ＝９０ʎ,øC A F ＋øA C B ＝
９０ʎ,所以øC B D ＝øC A F ,则øC E D ＝øC E F ,即E G 平分øD E F ．
同理,可知D G 平分øE D F ．
所以点G 是әD E F 的内心．
思路与方法:本题主要考查了有关三角形㊁圆的综合问题,熟练掌握三角形㊁圆的相关知识及证明方法是解题的关键．第(１)
问根据圆的定义即可求解．第(２)问根据题意作图４,取B C 的中点M ,
再连接M E ,MD ;首先求出øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ,然后得出MD ＝M B ＝M C ＝M E ,即可证明四边形B C D E 是
☉M 的内接四边形,进而求证即可．第(３)问,首先在圆的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ,在圆的内接四边形E F C A 中,可知øC A F ＝øC E F ,然后求出øC B D ＝øC A F ,即可得出øC E D ＝øC E F ,
进而得出E G 平分øD E F ,同理D G 平分øE D F ,即可得证．
３结论探索型
解答结论探索类问题的策略是:采用 执因索果
的思路,从找原因开始,一步步顺推前进．由于解题思路和推导的角度不同,使得答案具有不确定性．
图５例３㊀(２０２２年江苏省扬州市中考试题第２８题)
如图５,在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝
６０ʎ,点D 在B C 边上由点C 向
点B 运动(不与点B ,C 重合)
,过点D 作D E ʅA D ,交射线A B 于点E ．(１)分别探索以下两种特殊情形时线段A E 与
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B E 的数量关系,
并说明理由:①点E 在线段A B 的延长线上且B E ＝B D ;②点E 在线段A B 上且E B ＝E D ．(２)若A B ＝６．
①当D E A D ＝３
２
时,求A E 的长;
②直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值．
解析:(１)①如图５,因为在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ
,øC ＝６０ʎ,所以øA B C ＝３０ʎ．又B E ＝B D ,所以øB D E ＝
１
２
øA B C ＝１５ʎ．所以øB D A ＝９０ʎ－øB D E ＝９０ʎ－１５ʎ＝７５ʎ．
在әA B D 中,øB A D ＝１８０ʎ－øA B D －øB D A ＝
１８０ʎ－３０ʎ－７５ʎ＝７５ʎ,则øB A D ＝øB D A ＝７５ʎ
,所以A B ＝B D ＝B E ．故A E ＝２B E ．图６
②如图６,因为B E ＝D E ,所以øE B D ＝øE D B ＝３０ʎ,则øA E D ＝６０ʎ．所以在R tәA D E
中,øE A D ＝３０ʎ,于是A E ＝
２E D ．故A E ＝２B E ．
图７
(２)①如图７,分别过点A ,E
作B C 的垂线,垂足分别为G ,H ,易知әE G D ʐәD H A (一线三垂直)．
设D E ＝３a ,A D ＝２a ,
则有A E ＝D E ２＋A D ２＝７a ,B E ＝６－７a ．
在R t әA B C 中,øA B C ＝３０ʎ,A B ＝６,则A C ＝A B ３
＝２３,B C ＝２A C ＝４３．
在R t әB E G 中,øE B G ＝３０ʎ,B E ＝６－７a ,
则E G ＝B E ２＝３－７
２a ．在R t әAH C 中,øC ＝６０ʎ,A C ＝
２３,则AH ＝３A C
２
＝３,DH ＝A D ２－AH ２＝
４a ２
－９．
由әE G D ʐәDHA ,得E D A D ＝E G DH ,于是有３
２＝
３－
７
２
a ４a ２－９
,解得a １＝３７
５,a ２＝－３７(舍)．故A E ＝７a ＝２１５
．
②当øE A D ＝３０ʎ时,A E 最小,
且最小值为４．思路与方法:本题考查几何综合问题,涉及到特
殊直角三角形㊁相似㊁等腰三角形等知识,有一定的难度;解题的思路与方法主要体现在,能够根据题意作出图７,通过添加辅助线构造 一线三垂直 ,运用三角形的相似性质来解决问题．
４存在性探索型
解答存在性探索类问题的策略是:先假设所探索
的对象成立(即存在),再结合题设和已学过的知识进行计算㊁推理与判断．如果推出的结果符合题目要求,
就肯定了存在性;如果推出的结果与题目条件或有关结论矛盾,这样就否定了存在性．
图８
例４㊀(２０２２年江苏省苏
州市中考试题第２７题)
如图８,在әA B C 中,øA C B ＝２øB ,
C D 平分øA C B ,交A B 于点
D ,D
E ʊA C ,交B C 于点E ．(１)若D E ＝１,B D ＝３
２
,
求B C 的长;
(２)试探究A B A D －
B E
D E
是否为定值．如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由．
解析:(１)因为C D 平分øA C B ,所以øA C D ＝øD C B ＝１
２øA C B ．
又øA C B ＝２øB ,所以øA C D ＝øD C B ＝øB ．
所以C D ＝B D ＝３
２
．又D E ʊA C ,则øA C D ＝øE D C ,
所以øE D C ＝øD C B ＝øB ．
所以C E ＝D E ＝１,әC E D ʐәC D B ．
所以C E C D ＝C D C B ,则B C ＝９
４
．
(２)因为D E ʊA C ,所以A B A D ＝B C
C E ．
由(１)可得C E ＝D E ,于是A B A D ＝B C
D E
．
所以A B A D －B E D E ＝B C D E －B E D E ＝C E D E ＝１．
故A B A D －B E D E 是定值,且定值为１．思路与方法:本题考查了相似三角形的性质与判定．第(１)问,先证明әC E D ʐәC D B ,再根据相似三角形的性质即可求解;第(２)问,由D E ʊA C ,可得A B
A D
＝
B C D E ,由第(１)问可得C E ＝D E ,通过计算A B A D －B E
D E ＝１可得证．
由上述几类探索性问题的解答可知,解答探索性问题的思路与策略是:首先认真审题,在深刻理解题意的基础上,针对不同的题型,从不同的侧面㊁不同的角度,理清条件和结论之间㊁图形特征与数式特征之间的关系,然后运用观察㊁比较㊁类比㊁联想㊁猜想㊁证明㊁计算㊁推断等多种具体方法,进行尝试性解答．Z
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