初中数学《圆的有关概念和性质》复习课优质课件

形的外接 叫做三角形的外心．
圆
性质：三角形的外心到三角形的三个
顶点的距离相等．
核心点拨
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
圆内接四边形：如果一个四边形的
6．圆内
接四边形
的性质定
理
顶点都在同一个圆上
____________________，这个四边形
四边
叫做圆内接四边形，这个圆叫做_____
形的外接圆
)
思路分析
首先作出相关的辅助线，利用垂径定理和勾股定理求出各线段之间
的关系，得到一些特殊的三角形，再利用圆周角定理推出相关角的
度数即可．
变式训练
2－1
如 图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB ， CD 相 交 于 点 P. 若 ∠A ＝ 48° ，
∠APD＝80°，则∠B的度数为(
A
)
A．32°
B．42°
质．有时还需要添加
论
或等弧进行证明．
辅助线，构成直径所
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是
对的圆周角，以便转
弦
______，90°的圆周角所对的____是直
直角
化为直角三角形的问
径．
题去研究．
考点三：三角形的外接圆及圆内接四边形
定义：经过三角形各顶点的圆叫做三
5．三角 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心
对的____相等，所对的____相等．
(1)在同圆或等圆中，
弧
弦
定理2：在同圆或等圆中，________、____、
如果弧不相等，那
圆心角
弧
弦
么弧所对的弦、圆
____中如果有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等．
心角也不相等，且
3．圆心角、
注意：①在同圆或等圆中，如果弦不相等， 大弧对的圆心角较
___________．
互补
定理：圆内接四边形的对角______，
圆内接四边形的任何一个外角都等于
它的内角的对角．
核心点拨
已知四点在同一
个圆上时，常作
适当的辅助线，
构成圆的内接四
边形，运用圆内
接四边形的性质
确定圆中有关角
的数量关系．
知能精准突破
命题点1
垂径定理及推论
命题点2
圆周角定理及推论
命题点3
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE＝ ∠ABC＝35°.
2
෽
∵点A是 的中点，
∴AB＝AE.
∴∠AEB＝∠ABE＝35°.
变式训练
3－1
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°.若⊙O的半径
OC为2，则弦BC的长为( B
)
A．4
B．2 3
C．3
D． 3
3－2
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连
圆的有关概念和性质
（复习课）
复习重点：
1、垂径定理及推论；
2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周
角的相关性质；
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
4、与性质相关的综合计算
考点一：垂径定理及推论
(1)弦：连接圆上任意两点的______叫做弦．
线段
(2)直径：__________的弦叫做直径．在同一个圆中，直径是半
念
能够重合
(5)等圆：__________的两个圆叫做等圆．两个等圆能够重合．
(6)等弧：在____________中，能够重合的两条弧叫做等弧．等
同圆或等圆
弧只能存在于同圆或等圆中．
(7)劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做______；大于半圆的弧叫做
劣弧
______，优弧用三个字母表示．
优弧
核心点拨
D．6 cm
1－2
12 cm
半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦长为__________．
命题点2 圆周角定理及推论 基础点
例2
如图， A ， B ， C 是半径为 1 的⊙O 上的三个点．若 AB ＝ 2 ，
∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为(
C
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
三角形的外接圆及圆内接四边形
命题点1 垂径定理及推论 基础点
例1
“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问
题 ， 用 现 在 的 几 何 语 言 表 达 ： 如 图 ， CD 为 ⊙O 的 直 径 ， 弦
AB⊥CD，垂足为点E.若CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是
(
A．12寸
B．24寸
13°
命题点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 综合点
例3
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，A是
෽ 的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是(
劣弧
A．30°
B．35°
C．50°
D．55°
B)
思路分析
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴∠ABC＝180°－∠D＝70°.
注意：
(1)直径是弦，但弦不一定是直径．
(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆．
(3)一个圆有无数条直径和半径．
(4)等弧存在的前提条件是在同圆或等圆中，半径不相等的圆不存在
等弧．
考点一：垂径定理及推论
核心点拨
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧．
(2)垂径定理的推论
2．垂径
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，
C．48°
D．52°
解析：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°－48°＝32°.
෽ ，∴∠B＝∠C＝32°.
෽
∵＝
2－2
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C
෽
在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E两点．若B是的中点，则
∠ABE＝______．(填度数)
核心点拨
定理：一条弧所对的圆周角等于_________
它所对的 注意：在解答与圆的
_____________．
圆心角的一半
直径有关的问题时，
同弧或等弧
推论1：____________所对的圆周角相等．
常常利用直径所对的
4．圆周角 注意：在同圆或等圆中，要证明两个圆周
圆周角是直角这一性
定理及推 角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧
变式训练4－1来自如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD.若∠C＝
110°，则∠OBD＝(
B
)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
4－2
如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆．若AB＝3，则⊙O的
半径是(
C
)
3
A．
2
3
2
B．
C． 3
5
D．
2
再 见
C．13寸
D．26寸
D
)
思路分析
(1)连接OA构造直角三角形，根据垂径定理，求出AE的长；
(2)设圆的半径OA为x，根据勾股定理建立关于x的方程，即可求解．
变式训练
1－1
若P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长
为6 cm，则OP的长为(
B
)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
经过圆心
径的2倍，是圆中最长的弦．
(3)弧：圆上______________部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号
任意两点间的
“⌒”表示．
1．圆的 (4)半圆：圆的任意一条直径的____________________________
两个端点将圆分成两条等弧，每
有关概 __________叫做半圆．
一条弧都
弧、弦之
那么弦心距也就不相等，大弦的弦心距较小，大．
间的关系
小弦的弦心距较大；反之，弦心距较小时， (2)圆心角、弧和弦
则弦较大．②在同圆或等圆中，不能认为大 之间的等量关系必
弧所对的弦也较大．只有当弧是劣弧时，这 须在同圆或等圆中
一命题才成立；当弧为优弧时，弧越大，其 才成立．
所对的弦越短．
考点二：圆心角、圆周角定理及推论
接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．25°
C
)
解析：如图，连接IC，IB，OC.
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC.
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°.
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°.
∵OB＝OC，
定理及推
并且平分弦所对的两条弧．
论
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平
分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理和勾
股定理相结合，
构造直角三角
形，可解决计
算弦长、半径、
弦心距等问
题．
考点二：圆心角、圆周角定理及推论
核心点拨
定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所
1
∴∠OBC＝∠OCB＝ ×(180°－∠140°)＝20°.
2
故选C.
例4
(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点．若
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是(
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
A
)
根据圆内接四边形的性质得到∠B＝65°，再根据圆周角定理得到∠BCA
＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余得到∠BAC的度数．