三角形全等之倍长中线和截长补短讲义

A B
C
D
E
F
三角形全等之倍长中线（讲义）
一、知识点睛
1．辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．
2．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3．辅助线的作用：
①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形． 4．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． 5．“三角形全等”辅助线：
见中线要___________，_________之后________________． 6．倍长中线的作法：
A
B
C
D
D
C
B A
M
延长AD 到E ，使DE=AD , 延长MD 到E ，使DE=MD ，
连接BE 连接CE
二、精讲精练
1. 如图，AD 为△ABC 的中线．
求证：AB +AC >2AD ．
2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．
求证：AB =AC ．
B
A
D
C
A
B
C
延长FE 交BC 的延长线于点G
3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AC =AB ．
求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长
线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．
5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA
的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．
A F
E
B
D C
A
E
B D
C
G
E D A
F A F E
B
D
C
G
E
D
A
F
6. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，
GE ⊥EF ．
求证：GF =AG +BF ．
7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角
形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
D
G
A
E
B
F
C
A
F E
B
G
C
D
【知识点睛】
见中线要倍长，倍长之后证全等．
【精讲精练】
1．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）2．证明略（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD）3．证明略（提示：延长CD到点F，使DF=CD，连接BF，证明△BDF≌△ADC，△CBE≌△CBF）
4．证明略（提示：延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，证明△ADC≌△MDB）5．证明略（提示：延长EF到点M，使EM=EF，连接BM，证明△CFE≌△BME）6．证明略（提示：延长GE交CB延长线于点M，证明
△AEG≌△BEM）
7．证明略（提示：延长EG交CD延长线于点M，证明
△FGE≌△DGM，再证明三角形EGC是等腰直角三角形）
三角形全等之倍长中线每日一题
1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．
求证：AE⊥BE．
A
D
E
B
C 2.已知：如图，在△ABC中，D为BC边中点，∠BDA=∠BAD，E为BD中点，
连接AE．
求证：∠C=∠BAE．
A
E D C
3. 已知：如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，垂足分别为点A ，点D ，连接EC ，F 为EC 中点，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．
F
E
D C
A
4. 已知：如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C （不与点A ，B ，D 重合），分别以AC ，BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ，∠AEC =∠CFB =90°，连接DE ，DF ，EF ． 求证：△DEF 为等腰直角三角形．
A
B
C
D
E F
5. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．
E
D
C
B
A
【参考答案】
1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F .
F
A
D
E
C B
∵AD ∥BC
∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点 ∴DE =CE
在△ADE 和△FCE 中
=⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠ABE =∠FBE =90° 即AE ⊥BE
2. 证明：延长AE 到F ，使得EF =AE ，连接DF .
F
A
B C
D
E
∵E 为BD 中点 ∴BE =ED
在△ABE 和△FDE 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠BE DE BEA DEF AE FE ∴△ABE ≌△FDE （SAS ）
∴AB =FD ，∠BAF =∠F ，∠B =∠FDE ∵∠BDA =∠BAD ∴BD =AB ∵D 为BC 边中点 ∴CD =BD =AB =FD ∵∠BDA =∠BAD
∴∠ADF =∠BDA +∠FDE ，∠ADC =∠B +∠BAD 即∠ADF =∠ADC 在△FAD 和△CAD 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠FD CD FDA CDA AD AD ∴△FAD ≌△CAD （SAS ） ∴∠F =∠C ∴∠C =∠BAE
3. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下： 延长DF 交AC 于点P .
P A
D E F
C
∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =FC
在△EDF 和△CPF 中
DEF PCF EFD CFP EF CF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （AAS ） ∴DE =CP ，DF=PF
∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AB -DE=AC -CP 即AD =AP
在△DAF 和△PAF 中
DF PF AF AF AD AP =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△DAF ≌△PAF （SSS ）
∴∠DFA =∠PFA =90°，∠DAF =∠PAF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF
4. 证明：延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接BG ，FG
D
C
A
E F
B
∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD
在△EDA 和△GDB 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD
∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形
∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠FBG =∠FBD +∠GBD =90° 在△ECF 和△GBF 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠EC BG ECF GBF CF BF ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中，
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）
∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴ED =DF
∴△DEF 为等腰直角三角形
5. 解：AB =AF +CF ，理由如下： 延长AE 交DF 的延长线于点G .
C
F
E
B
A
D
∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC
∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC = GF +FC ∴AB =AF +CF
三角形全等之倍长中线（随堂测试）
1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是____________________．
2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．
F
E
C A
【参考答案】
1．3<AB<13
2．证明略（提示：延长AE 到点M ，使EM =AE ，连接DM ， 证明△DME ≌△CAE ）
三角形全等之倍长中线（作业）
3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是________________．
A
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD =2.7，BE =AE =5，求CE 的长．
A B C D E
F
5. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．
E
A
F
C
B
6. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．
A
C D
E
F
G
7. 如图，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．
B
E A
F
G
C D
8. 已知：如图，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ． 求证：△BCF ≌△CAE ．
B
C D E
F
9. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．
【参考答案】
1．1＜AD ＜4
2．2.3（提示：延长AF 交BC 于点G ，导角证明AE =EG ）
3．证明略（提示：延长AD 到点P ，使得AD =PD ，连接CP ，证明△ABD ≌△PCD ，△EAF ≌△PCA ）
4．证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，导角）
5．证明略（提示：延长EG 交AD 于点P ，连接CE ，CP ） 6．证明略
7．5；-1，-9x 2，-6x ，6x ，814
x 4
三角形全等之截长补短（讲义）
一、知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是__________________________________
__________________________________________________．
二、精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．
求证：AC =AB +BD ．
2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，
∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．
3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求
证：AC =AE +CD ．
F E
A B D
C
2
1D C
A A E
B
D C
O
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD
的延长线于点E ．求证：CE =
2
1
BD ．
5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，
∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1．证明略 提示：
方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，然后再证明CE =BD ；
A
C
D
E
B
F
C
E
D
A
方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC
2．证明略
提示：延长FB到G，使BG=DE，连接AG，证明
△ABG≌△ADE，再证明△AFG≌△AFE）
3．证明略
提示：在AC上截取AF=AE，连接OF，证明△AEO≌△AFO，∠AOC=120°，再证明△COF≌△COD）
4．证明略
提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明△BEF≌△BEC，得EC=EF，再证明△ACF≌△ABD，得CF=BD）
5．证明略
提示：
方法一：延长BA交CD的延长线交于点H，证明
△BDH≌△CDF，得DH=DF，BH=CF，再证明
△ADH≌△ADF，得AH=AF；
方法二：在CF上截取CH=AB，连接DH，证明
△DHC≌△DAB，得DH=DA，CH=BA，∠HDF=∠ADF=45°，再证明△ADF≌△HDF，得AF=HF）
三角形全等之截长补短（每日一题） 姓名_________
1. 在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ．求证：CD =AB +BD ．
D
C
B
A
2. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：
AB -AC >PB -PC ．
P
D A 21
3. 已知：如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠A +∠C =180°．
求证：BD =AB +CD ．
1
2
A D P
N
4. 在正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，点F 在DC 延长线上，∠EAF =45°
． 求证：DF =EF +BE ．
A B
C
D
E
F
5. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，AF 平分∠DAE ．求证：
AE =BE +DF ．
F
E
D
C
B
A
【参考答案】
1. 证明：如图，在线段DC 上截取DE ，使DE =BD ，连接AE ．
∵AD ⊥BC
∴∠ADB =∠ADE =90° 在△ABD 和△AED 中
AD AD
ADB ADE DB DE =⎧⎪
∠=∠⎨
⎪=⎩ ∴△ABD ≌△AED （SAS ） ∴∠B =∠1，AB =AE ∵∠B =2∠C ∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC 的一个外角 ∴∠1=∠C +∠2 ∴∠C =∠2 ∴AE =CE
∵CD =CE +ED ∴CD =AE +BD ∴CD =AB +BD
（如果延长DB 到点F ，使BF =AB ，连接AF 也可进行证明）
2. 证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ．
则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中
12AE AC AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
21A
B
C
E
12A B
C
D
P
∴△AEP ≌△ACP （SAS ） ∴PE =PC
在△PEB 中，PB -PE <EB ∴PB -PC <AB -AC 即AB -AC >PB -PC
（延长AC 到点F ，使AF =AB ，连接PF ，也可证明结论）
3. 证明：如图，在BC 上截取BE =BA ，连接PE ．
在△ABP 和△EBP 中
12BA BE BP BP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△EBP （SAS ） ∴∠A =∠3
∵∠A +∠C =180°，∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD ⊥BC
∴∠PDE =∠PDC =90° 在△PDE 和△PDC 中
4C
PDE PDC PD PD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PDE ≌△PDC （AAS ） ∴DE =DC ∴BD =BE +ED
∴BD =AB +CD （过点P 作PF ⊥BA 于F ，也可进行证明）
4. 证明：如图，在DF 上截取DG =BE ，连接AG ．
∵四边形ABCD 为正方形
∴∠D =∠BAD =∠ABC =90°，AB =AD ∴∠ABE =∠D =90° 在△ABE 和△ADG 中
AB AD ABE D BE DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△ADG （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2 ∵∠EAF =45°，
4
3E
N
P D C
B A 2
14
321
G
F
E
D C
B
A
∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° ∴∠GAF =45°=∠EAF 在△EAF 和△GAF 中
4AE AG EAF AF AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF ∵DF =GF +DG ∴DF =EF +BE
5. 证明：如图，延长EB 到点G ，使BG =DF ，连接AG ．
543
21
G
A B
C D
E
F
∵四边形ABCD 为正方形
∴AB =AD ，∠D =∠ABC =∠BAD =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADF 中
AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABG ≌△ADF （SAS ） ∴∠1=∠2，∠5=∠G
∵AF 平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90°
∴∠3+∠G=90°
∵∠1+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠4=∠G
∴AE=EG=BE+BG
∴AE =BE+DF
三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________
6.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线AE交CD于E，
连接BE，且BE平分∠ABC．
求证：AB=AD+BC．
【参考答案】
证明略
提示
方法一：在AB上截取AF=AD，连接EF，证明△ADE≌△AFE，再证明△BFE ≌△BCE；
方法二：延长AE交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△FBE，再证明△ADE ≌△FCE）
三角形全等之截长补短（作业）
1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：
AC=AB+BD．
2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°．
求证：AE=AD+BE．E
D
C
B
A
C
A
D
C
3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD
至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE ．
4. 如图，在等边三角形ABC 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，∠EDF =60°，DB =DC ，
∠BDC =120°．求证：EF =BE +CF ．
5. 多项式16x 2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平
方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．
6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE =ED =DC ，∠1=∠2，
则：①AD 是△ABC 的边_________上的高，也是________的边BD 上的高，还是△ABE 的边___________上的高；
②AD 既是_________的边_______上的中线，又是_______
边上的高，还是_________的角平分线．
7. 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°．
求∠EFG 的度数．
C
D
A
E
B F
C
E D
A
B
A
E
B
D
C
F
E D C
A 2
1
8. 计算下列各式：
（1）-(3a 3b -2ab 3)÷(-ab )-(-a -2b )(-a +2b )-(-2a )2；
（2）0
1122022111()3(3)3()()(3)233
----⨯π---⨯+-÷---．
【参考答案】
1．证明略 提示：
方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =BD ； 方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，证明△ADE ≌△ADC 2．证明略
提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CFA ，再证明BE =FE 3．证明略
提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ，再证明△DFC ≌△DEC 4．证明略
提示：延长FC 到G ，使CG =BE ，证明△BED ≌△CGD ，得ED =GD ，∠BDE =∠CDG ，再证明△EFD ≌△GFD ，得EF =GF 5．5；
16x 4， ±16x ，-4，-16x 2；
6．①BC ，△ABD ，BE ； ②△AEC ，EC ，EC ，∠EAC
7．略；
8．（1。