2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试(一)数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年河南省天一大联考上学期高二阶段性测试
（一）数学（文）试题
一、单选题
1．已知22ac bc >，则下列不等式成立的是（ ） A ．220a b -> B ．a c b c +>+
C ．ac bc >
D ．lg lg a b >
【答案】B
【解析】转化条件得a b >，举出反例可判断A 、C 、D ，由不等式的性质可判断B ，即可得解. 【详解】
由22ac bc >可得，a b >,
A 中，当0a =，1b =-时，220110a b -=-=-<，所以A 错误；
B 中，由a b >可得a c b c +>+，所以B 正确；
C 中，当0c <时，ac bc <，C 错误；
D 中，当0a b >>或0a b >>时，对数没有意义，所以D 错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查了不等式与不等关系，属于基础题.
2．已知等差数列{}n a 中，320172a a +=，则数列{}n a 前2019项的和2019S 等于（ ） A ．2018 B ．2019
C ．2020
D ．2021
【答案】B
【解析】由等差数列的性质和前n 项和公式直接求解即可得解. 【详解】
因为320172a a +=， 所以()()
1201932017201920192019201922
a a a a S ++===．
故选：B. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式的应用，属于基础题.
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，将其斯所对应的石子个数称为三角形数，则第8个三角形数是（ ）
A ．24
B ．27
C ．36
D ．45
【答案】C
【解析】由题意找出规律：第n 个三角形数是123n +++⋅⋅⋅+，由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】
根据图示的规律可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是123+=， 第3个三角形数是1236++=，第4个三角形数是123410+++=，…， 则第n 个三角形数是()
11232
n n n ⨯++++⋅⋅⋅+=
． 所以第8个三角形数是()
881362
⨯+=． 故选：C. 【点睛】
本题考查了观察法求数列通项的应用，属于基础题.
4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知3c a =，30A =︒，则B =（ ） A ．90° B ．60°或120°
C ．30°
D ．90°或30°
【答案】D
【解析】由正弦定理求得sin C ，进而可求得C ，即可得解. 【详解】
由正弦定理得sin 3
sin c A C a =
=
， 因为c a >，所以C A >，所以60C =︒或120︒． 当60C =︒时，()18090B A C =︒-+=︒； 当120C =︒时，()180B A C =︒-+30=︒．
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形的应用，属于基础题.
5．函数()()22
11
x x x x f x -+=>-+的最小值等于（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】A
【解析】使用分离法可得()()4
131
f x x x =++-+，利用基本不等式即可得解. 【详解】
()()224
1311
x x f x x x x -+==++-++，
因为1x >-，所以10x +>，
所以()32231f x ≥=⨯-=， 当且仅当4
11
x x +=
+即1x =时，等号成立， 所以函数()f x 的最小值为1． 故选：A. 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.
6．在ABC V 中，若sin :sin :sin 1:2A B C =，则B =（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．120°
【答案】C
【解析】由正弦定理得::1:2a b c =，再由余弦定理即可得解. 【详解】
由sin :sin :sin 1:2A B C =及正弦定理得::2a b c =，
设a k =，0k >，则b =，2c k =．由余弦定理得222431cos 222
k k k B k k +-==⨯⨯，
又(
)0,180B ∈o o
，所以60B =o
．
故选：C.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.
7．设变量x ，y 满足约束条件0,0,2,x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．6
C ．2-
D ．6-
【答案】B
【解析】由题意画出可行域，转化目标函数2z x y =+为11
22
y x
z =-+，数形结合即可得解. 【详解】
由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．
对于目标函数2z x y =+，可化为11
22y x z =-
+， 要使z 取最大值，可知直线11
22
y x z =-+过B 点时取得．
由02x y x -=⎧⎨=⎩得2
2
x y =⎧⎨=⎩即()2,2B ， 所以max 2226z =+⨯=． 故选：B.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，属于基础题.
8．已知1a ，2a ，…，9a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（ ） A ．1946a a a a +>+ B ．1946a a a a +<+
C ．1946a a a a +=+
D ．19a a +与46a a +的关系无法确定
【答案】A
【解析】作差化简得()(
)()3
5
1946111a a a a a q q +-+=--，根据1q >、01q <<讨
论差的正负即可得解.
()()()()()35335194614961111111a a a a a a a a a q a q q a q q +-+=-+-=-+-=--．
因为0a >，0q >，1q ≠，
所以若1q >，则310q -<，5
10q -<，所以(
)()3
51110a q
q -->，
所以1946a a a a +>+；
若01q <<，则310q ->，5
10q ->，所以(
)()3
5
1110a q
q -->，
所以1946a a a a +>+. 所以恒有1946a a a a +>+． 故选：A. 【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.
9．在数列{}n a 中，已知11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的前10项和10S 等于（ ）
A ．9
23⨯ B ．9
231⨯-
C ．93212
-
D ．10311-
【答案】D
【解析】由题意构造新数列可得数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，进
而可得1
231n n a -=⨯-，利用分组求和法即可得解.
【详解】
由132n n a a +=+可得()1131n n a a ++=+，112a +=， 所以数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1123n n a -+=⨯，所以1
231n n a -=⨯-．
所以()11323113
n n n S n n ⨯-=⨯-=---，10
10311S =-．
故选：D. 【点睛】
本题考查了构造新数列求数列通项的方法和分组求和法的应用，属于中档题. 10．设0a >，0b >．若4是2a 与2b 的等比中项，则
11
a b
+的最小值为（ ）
A ．
34
B ．1
C ．
54
D ．2
【答案】B
【解析】由题意结合等比中项的性质可得4a b +=，再利用基本不等式即可得解. 【详解】
因为4是2a 与2b 的等比中项，所以2422a b =⋅，即422a b +=，所以4a b +=． 此时
()11111111111442422
a b a b b a a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯+=+⨯+≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b ==取等号. 故选：B. 【点睛】
本题考查了等比中项性质的应用，考查了利用基本不等式求条件最值，属于中档题. 11．一艘海轮从A 处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在B 处观察，灯塔在其正东方向，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．102海里 B ．103海里
C ．202海里
D ．203海里
【答案】C
【解析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解. 【详解】
如图所示，易知，在ABC V 中，20AB =海里，45CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒， 根据正弦定理得sin 45sin 30BC AB
=︒︒
，解得202BC =（海里）．
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题. 12．已知()11
30,0x y x y x y
+=++>>，则x y +的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】由题意结合基本不等式可得
2
3
2x y x y x y ++≥
++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，化简后解一元二次不等式
即可得解. 【详解】
因为1133x y x y x y xy ++=++=+，而2
2x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，当且仅当y x =时等号成立， 所以
2
3
2x y x y x y ++≥
++⎛⎫ ⎪⎝⎭
即()()2
340x y x y +-+-≥，
所以1x y +≤-（舍去）或4x y +≥． 故选：D. 【点睛】
本题考查了基本不等式和一元二次不等式的综合问题，属于中档题.
二、填空题
13．关于x 的一元二次不等式()
()2
2
3
10x a a x a a a R -++++≤∈的解集为
__________．
【答案】{
}
2
1x a x a ≤≤+
【解析】转化条件得()()
2
10x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡，由一元二次不等式的解法可直接得解.
【详解】
不等式()
223
10x a a x a a -++++≤可化为()()
210x a x a --+⎤⎣⎦≤⎡，
易得21a a +>，所以该不等式的解集为{
}
2
1x a x a ≤≤+． 故答案为：{
}
2
1x a x a ≤≤+. 【点睛】
本题考查了含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_______．
【解析】由题意可得351n a n =+，令2019n a ≤，求出n 的最大值即可得解. 【详解】
被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故351n a n =+．
由3512019n a n =+≤可得n 可取的最大整数为57，故此数列最后一项的项数为57． 故答案为：57. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的应用，属于基础题.
15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC V 的面积为_______． 【答案】
3
2
【解析】由正弦定理得sin A =32
bc =，再利用面积公式1
sin 2
S bc A =即可得解. 【详解】
由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，
易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =
， 又2
2
2
6b c a +-=，所以2223
cos 2b c a A bc bc
+-==，
所以cos 0A >，所以cos A ，即3bc =，bc =，
所以ABC V 的面积113
sin 2222
S bc A ==⨯=． 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
16．在正项等比数列{}n a 中，若123123a a a a a a =++，则2a 的取值范围是______．
【答案】)
+∞
【解析】设公比为()0q q >，2a x =，由题意结合等比数列的性质可得2
1
1x q q
=
++，由基本不等式即可得解. 【详解】
在等比数列{}n a 中，123123a a a a a a =++，设公比为()0q q >，2a x =，则0x >，
依题意得3
11x x q q ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
，所以2
11213x q q =++≥+=，所以x ≥
当且仅当1q =时取等号．
所以2a 的取值范围是)
+∞．
故答案为：)
+∞ 【点睛】
本题考查了等比数列性质的应用和基本不等式的应用，属于中档题.
三、解答题
17．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知11a =，
12b =，228a b +=．
（Ⅰ）若3315a b +=，求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若314T ≤且n b N *
∈，求10S ．
【答案】（Ⅰ）32n a n =-，2n
n b =；（Ⅱ）10235S =或10145S =
【解析】（Ⅰ）转化条件得27d q +=，2
7d q +=，联立方程组求出公差d 、公比q 即
可得解；
（Ⅱ）由题意得2
60q q +-≤，解不等式后结合n b N *∈即可得1q =或2q =，分别
求出公差d 后利用等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．由228a b +=，得27d q +=．①．
（Ⅰ）由3315a b +=得2
7d q +=．②，联立①和②解得0,7q d =⎧⎨
=⎩（舍去）或2,
3.q d =⎧⎨
=⎩
因此{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n
n b =．
（Ⅱ）由12b =，314T ≤得260q q +-≤．解得32q -≤≤，
又因为12b =，n b N *
∈，
所以1q =或2q =．
当1q =时，由①得5d =，则101109
102352S a d ⨯=+=， 当2q =时，由①得3d =，则101109
101452
S a d ⨯=+=． 综上：10235S =或10145S = 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列基本量的计算，考查了等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
18．已知函数()2
f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()2,3．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若对于任意[]3,3x ∈-，不等式()2
10f x t -+≤恒成立，求t 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()2
56f x x x -=+；（Ⅱ）(][),56,-∞-+∞U
【解析】（Ⅰ）由题意2和3是方程20x bx c ++=的两个根，由根与系数的关系即可得解；
（Ⅱ）转化条件得()2
f x t t ≤-对于任意[]3,3x ∈-恒成立，求出()f x 的最大值即可
得230t t -≥，解一元二次不等式即可得解. 【详解】
（Ⅰ）由不等式()0f x <的解集是()2,3知2和3是方程20x bx c ++=的两个根．
由根与系数的关系得23,23,b c -=+⎧⎨
=⨯⎩即5,
6.
b c =-⎧⎨=⎩，
所以()2
56f x x x -=+．
（Ⅱ）不等式()2
0f x t t -+≤对于任意[]3,3x ∈-恒成立，
即()2
f x t t ≤-对于任意[]3,3x ∈-恒成立．
由于()2
56f x x x -=+的对称轴是52
x =
， 由二次函数()f x 的图象易得，当3x =-时()f x 取最大值()()max 330f x f =-=，
所以只需230t t -≥，即2300t t --≥．解得5t ≤-或6t ≥． 故t 的取值范围为(][),56,-∞-+∞U ． 【点睛】
本题考查了一元二次不等式和一元二次方程的关系，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
19．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力及每天资源限额（最大供应量）如表所示：
若生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲，乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？
【答案】每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润
【解析】由题意设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，
写出约束条件84320,34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪
≥⎪⎩
后，画出可行域，转化目标函数58z x y =+为
51
88
y x z =-+，数形结合即可得解.
【详解】
设此工厂每天分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元，
依题意可得约束条件84320,
34150,48280,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪
≥⎪⎩
作出可行域，如图阴影部分所示．
利润目标函数58z x y =+． 由几何意义知，当直线51
88
y x z =-
+经过可行域上的点M 时，58z x y =+取最大值．
解方程组34150,48280x y x y +=⎧⎨+=⎩得10,
30,x y =⎧⎨=⎩
即()10,30M ．
所以每天生产甲种产品10吨，乙种产品30吨时，该厂获得最大利润． 【点睛】
本题考查了利用简单线性规划解决实际问题，考查了转化化归思想，属于中档题. 20．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23
A π
= 3cos B C =，求C ；
（Ⅱ）若7a =，5b =，求()sin A B -的值． 【答案】（Ⅰ）6
C π
=
；（Ⅱ）
43
7
【解析】（Ⅰ）由题意3
B C π
+=
3cos 3C C ⎛⎫
⎪⎝=⎭
π-，利用两角差的正弦公式化简后即可直接得解； （Ⅱ）由正弦定理得53
sin B =11cos 14B =，再用两角差的正弦
公式即可得解. 【详解】 （Ⅰ）因为23
A π=，所以3
B
C π
+=，
3cos 3C C ⎛⎫
⎪⎝=⎭π-，即33cos cos 2C C C -=， 即
13
cos 22
C C =，得3tan C ．又()0,C π∈，所以6C π=．
（Ⅱ）由正弦定理，得75
2sin 3
sin B =π
，所以sin 14
B =． 又因0,
3B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以11cos 14
B ==
. 所以(
)111sin sin cos cos sin 142A B A B A B -=-=+． 【点睛】
本题考查了两角差正弦公式的应用和正弦定理的应用，属于中档题. 21．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()
2
2sin sin sin sin sin A C B A C -=-，8c =．
（Ⅰ）求BC 边上的高；
（Ⅱ）若ABC V 为锐角三角形，求ABC V 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ
）（Ⅱ
）(
【解析】（Ⅰ）由题意结合正弦定理得222a c b ac +-=，再由余弦定理得1
cos 2
B =，求出3
B π
=
后利用sin
3
h c π
=即可得解； （Ⅱ）
由题意得ABC S =△，
利用正弦定理和两角差的正弦公式可得4a =+，根据条件确定6
2
C π
π
<<
，即可得解.
【详解】
（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A C B A C -=-及正弦定理，得222a c b ac +-=．
由余弦定理得2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===．
又()0,B π∈，所以3
B π
=
．
所以BC
边上的高sin
3
h c π
== （Ⅱ）由题设及（Ⅰ
）知，1=8sin 23
ABC S a π
⨯⨯=△．
由正弦定理得28sin sin 34sin sin C c A a C C π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭==
=．
由于ABC V 为锐角三角形，故02
A π
<<
，02
C <<
π
．
由（Ⅰ）知，23A C π+=
，所以62C ππ<<,tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭
,
所以416a <<．所以ABC S <<△
所以，ABC V 面积的取值范围是(． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了两角差正弦公式的应用，属于中档题.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为2
2n S n n =-，．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n
n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()()1
2242410n n T n n λ+≤⋅⋅-⋅++对任意()
*3n n ≥∈N 恒成立，求λ的取值范围．
【答案】（Ⅰ）23n a n =-；（Ⅱ）()110225n n T n +=+⨯-；（Ⅲ）1,16⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【解析】（Ⅰ）利用n a 与n S 之间的关系直接求解即可； （Ⅱ）由()223n
n b n =⋅-，利用错位相减法即可直接得解；
（Ⅲ）转化条件得()()
252424n n n λ-≥
-+对任意()3n n N *
≥∈恒成立，设
()251n t t -=≥，则()()()
()2119109
t
t
g t t t t t t ==
≥++++，利用基本不等式求出
()g t 的最大值即可得解.
【详解】
（Ⅰ）已知2
2n S n n =-．
当2n ≥时，()()2
2
1212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
；
当1n =时，2
111211a S ==-⨯=-，也适合上式．
所以23n a n =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()223n
n b n =⋅-，
所以()()()2
3
4
1
212123252
25223n n n T n n -=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-，①
()()()23451221212325225223n n n T n n +=⨯-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-．②
②-①可得
()()231(222)22223n n n T n +=+-⨯++⋅⋅⋅++⨯-()()()2-112122222312
n n n +-=+-⨯
+⨯--()1
10225n n +=+⨯-．
（Ⅲ）要使()()1
2242410n n T n n λ+≤⋅⋅-++对任意()3n n N *≥∈恒成立，
只需()()
252424n n n λ-≥
-+对任意()3n n N *
≥∈恒成立，
设()251n t t -=≥，则()()()
()2
119109
t
t
g t t t t t t =
=
≥++++． 则只需()g t λ≥在1t ≥恒成立即可．
(
)211
91091610t g t t t t t =
=≤=
++++， 当且仅当9
t t
=
即3t =时（此时4n =）取等号， 所以116λ≥．故λ的取值范围为1,16⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】
本题考查了利用n a 与n S 之间的关系求数列通项、错位相减法求数列前n 项和的应用，考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题的解决办法，属于中档题.。