苏教版高中数学选修1-1知识讲解_圆锥曲线的共同性质(文)

圆锥曲线的共同性质（文）
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【学习目标】
1.了解圆锥曲线的统一定义；
2.掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法. 【要点梳理】
要点一：圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线．
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 要点诠释：
根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲
线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22
,a a x x c c
=-=． 要点二：关于椭圆的第二定义 焦点与准线的对应关系
对于方程)0(122
22>>=+b a b y a x ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为c a x 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的
准线为c a x 2=；对于方程)0(12222>>=+b a b x a y ，上焦点),0(1c F 对应的准线c
a y 2
=，下焦点)
,0(2c F -对应的准线为c
a y 2
-=。

椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则
0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。

要点三：关于双曲线的第二定义 焦点与准线的对应关系
左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，对应焦点)0,(1c F -的
准线方程c a x 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程c
a x 2
=。

双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。

焦半径公式：对于方程)0,0(122
22>>=-b a b
y a x
若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=； 若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。

即|||,|1211ex a PF ex a PF -=+=
对于方程)0,0(122
22>>=-b a b
x a y
若),(11y x P 在下支上，1211,ey a PF ey a PF -=--=； 若),(11y x P 在上支上，1211,ey a PF ey a PF +-=+=； 即|||,|1211ey a PF ey a PF -=+=。

【典型例题】
类型一：圆锥曲线统一定义在解题中的应用
例1．中心在原点，一焦点在(0,3)，一条渐近线为2
3
y x =
的双曲线方程为____. 【思路点拨】双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的渐近线也可以写作22220x y a b
-=.
【解析】由已知，这是处于标准位置上的双曲线图形，关于坐标轴对称.因一条渐近线为2
3
y x =
，所以另一条渐近线是2
3
y x =-，以这两直线为渐近线的双曲线系的方程为: 2222
1(3)(2)x y k k -=±， 又 ∵ 一焦点(0,3)在y 轴上， ∴ 方程应为2222
194x y k k
-+=，∴ a 2=4k 2, b 2=9k 2
. 由 a 2
+b 2
=c 2
得 4k 2
+9k 2
=9, 2
913k =
, ∴ 双曲线方程为22
131318136
x y -+=. 【总结升华】本题中，由于两渐近线23y x =±已知，也就是032
x y
±=，所以在解法中运用了“共渐
近线的双曲线系”，直接写出了双曲线系的方程，再用另一个条件就定出了参数k, 这种方法对解已知两渐近线的问题是常用的.
举一反三：
【变式1】双曲线2mx 2
-my 2
=2有一条准线y=1则m 的值为_____. 【解析】因为一条准线是y=1.把方程改写成第二种标准方程.
22112x y m m
-+=--，其中2221,m a b m =-=-， ∴
c =
= 由2
1a c =
2
1-
=解得 43m =-. 【变式2】双曲线
22
148
x y -=的两条渐近线所夹角的正切为______.
【解析】设渐近线y =
的倾角为
2
α
，则tan 2α=，
∴
2
2tan
2tan 1tan 2
α
αα
=
=
=-- 由α
为钝角，从而tan tan()tan θπαα=-=-=
夹角正切为例2．设F 1、F 2为椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的3个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求
|
||
|21PF PF 的值。

【思路点拨】△PF 2F 1是一个直接三角形，但是没有给出哪个角是直角，需要分类讨论. 【解析】|PF 1|+|PF 2|=6，|F 1F 2|52=。

若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2
=|PF 2|2
+|F 1F 2|2
，由此可得3
4||,314||21==
PF PF ； 若∠F 1PF 2为直角，则|PF 1|2
+|PF 2|2
=|F 1F 2|2
，由此可得|PF 1|=4，|PF 2|=2。

所以
12||7||2PF PF =或12||
2||
PF PF =. 【总结升华】类似于△PF 2F 1这样的三角形一般叫做焦点三角形，在圆锥曲线问题中经常考查. 举一反三：
【变式】与点A(1,0), B(3, 0)及直线l: x=-1距离都相等的点是否存在？若有，则求其坐标；若无，则说明理由。

【答案】存在，)22,2(±
例3．已知直线y=-x+1与椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线l : x-2y=0
上。

（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2
+y 2
=4上，求此椭圆的方程。

【解析】（1）设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),
由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1
,
122
22b y a
x x y ，得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0, 则222212b a a x x +=+，2
22
212122)(b a b x x y y +=++-=+，
线段AB 的中点坐标为),(2
22
22
2b
a b b a a ++。

由已知得022
22
22
2=+-+b a b b a a ， ∴ a 2=2b 2=2(a 2-c 2),∴2
2,22
2==e c a .
（2）由（1）知b=c ，∴右焦点坐标F(b,0).
设F(b,0)关于直线l : x-2y=0的对称点为(x 0,y 0)，
则121000-=⋅--b x y 且02
2200=⨯-+y
b x ， 解得b x 530=且b y 540=。

故由已知得：42
020=+y x ，
∴ 4)54()53(2
2=+b b ，
∴b 2
=4, a 2
=8. ∴椭圆方程为14
82
2=+y x 。

【总结升华】对称是几何图形的一个很重要的性质，尤其是点关于直线对称问题在解析几何中也是考
查的重点.
举一反三：
【变式】直线l 过抛物线y 2
=2px(p ≠0)的焦点，且与抛物线交于A(x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点。

（1）求证：4x 1x 2=p 2
;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线。

【解析】（1）易知抛物线的焦点)0,2
(
p
F ，若l ⊥x 轴， 则l 的方程为2
p
x =，且4221p x x =；
若l 不垂直于x 轴，可设)2
(p
x k y -=，
代入抛物线方程整理得：04)21(2
22
=++-p x k
p p x ， 则4221p x x =，即4x 1x 2=p 2
.
（2）设22
(,),(,)22c d C c D d p p
且c ≠d ， 则CD 的垂直平分线l ＇ 的方程为22
()224c d c d c d y x p p +++-=--。

假设l ＇过F ，则22
0()2224c d c d p c d p p
+++-=--， 即(c+d)(2p 2
+c 2
+d 2
)=0, ∵p ≠0, ∴ 2p 2
+c 2
+d 2
≠0, ∴c+d=0。

这时l ＇的方程为y=0，从而l ＇与抛物线y 2
=2px 只相交于原点，而l 与抛物线有两个不同的交点， 因此l ＇与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线。

类型二：圆锥曲线综合题
例4．双曲线12222=-b
y a x (a, b>0)一焦点到相应准线的距离为21
，过点A(0, -b)和B(a,0)的直线与
原点距离为2
3。

（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+m(k, m ≠0)与双曲线交于相异两点C 、D ，当C 、D 两点都在以A 点为圆心的同一个圆上时，求m 的范围。

【解析】（1）由一焦点到相应准线的距离为2
1
，得212=c b ，即2b 2=c. 由原点到直线AB 距离为2
3，得3a 2+3b 2=4a 2b 2
,
又 a 2+b 2=c 2, ∴c=2, b 2=1, a 2
=3, ∴ 双曲线方程为13
22=-y x 。

（2）将y=kx+m(k, m ≠0)代入双曲线方程可得(1-3k 2
)x 2
-6kmx-3m 2
-3=0.
显然1-3k 2
≠0，①
且Δ>0，即m 2+1>3k 2
, ②
又|AC|=|AD|，得3k 2
=4m+1 ③ 由①②③得04
1
<<-
m 或m>4. 注意：本题易误答为m<0或m>4。

【总结升华】求参数的取值范围问题，考虑的关键点是如何根据题目条件建立一个不等式，本题是根据有两个交点来建立的.
举一反三：
【变式1】定长为3的线段AB ，其两端点在抛物线y 2
=x 上移动，设AB 中点为M ，求M 点到y 轴的最短距离，并求此时M 点的坐标.
【解析】作准线l :x=-4
1
，过A 、B 分别作AA ＇⊥l , BB ＇⊥l ,,垂足A ＇、B ＇,连AF 、BF. 取AB 中点M ，过M 作MM ＇⊥l ,垂足M ＇，且交y 轴于N. |MN|=|MM ＇|-
41=21(|AA ＇|+|BB ＇|)-41=21(|AF|+|BF|)-41≥21|AB|-41=4
5
.
∴ 当线段AB 过焦点时，|MN|
min =
45，此时x M =4
5. 此时作AB 倾角为α，则
α
2sin 1
=3,易求得tan α=±22.
∴ k AB =
4
145-=--M F
M F M y x x y y =±
22.∴ y M =±22
. ∴ M 到y 轴最短距离为45.此时M(4
5
,±22).。