2016届长春市高三质量监测(一)理科数学答案

① − ②， −Tn = 2 + 22 + "+ 2n − n ⋅ 2n+1 ，整理得 Tn = 2 + (n −1) ⋅ 2n+1 . （12 分）
18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，
同时考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解：(1)
17. (本小题满分 12 分)
【命题意图】本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法，其中涉及错位相减
法在数列求和问题中的应用.
【试题解析】 (1) 证明：由条件可知， Sn+1 − Sn = Sn + 2n+1 ，即 Sn+1 − 2Sn = 2n+1 ，
整理得 Sn+1 2n+1
− Sn 2n
9. 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算.
【试题解析】B 由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形，高为 3 的三
棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为 6 + 6 .
故选 B.
10. 【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法.
数”的既不充分也不必要条件；选项 B 中，若 p ：∃x0 ∈ R ，x02 − x0 −1 > 0 ，则 ¬p ： ∀x ∈ R ， x2 − x −1≤ 0 ；选项 C 中，若 p ∧ q 为假命题，只能判定 p, q 中至少有
一个为假命题；选项 D 的说法正确，故选 D.
y
6. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.
1 )3 x
=
−160 .
14. 【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布 N (μ,σ 2 ) 中各个量的
意义.
【试题解析】由正态分布的性质可知， m = −3 + 4 = 1 . 22
15. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了
S
长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题.
长春市普通高中 2016 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. A
2. C
3. D
4. D
5. D
6. B
7. A
8. C
9. B
10. A
11. B
12. A
简答与提示：
1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质.
F(3,4)
【试题解析】B 图为可行域，而目标函数 z = 2x − y 可化为
y = 2x − z ，即 −z 为该直线在 y 轴上的截距，当直线过 (0,1) 时，
截距取得最大值，此时 z 取得最小值为 −1，故选 B.
1
7. 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序
O 1
x
框图也对数列中的裂项求和进行考查.
14 ，从而其表面积为14π .
2
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 6 页）
16. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生
的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题.
【试题解析】设双曲线的标准方程为 x2 − y2 = 1 (a > 0, b > 0) ， a2 b2
=
1
，所以数列
{
Sn 2n
}
是以
1
为首项，1
为公差的等差数列.
（6 分）
(2)
由(1)可知，
Sn 2n
= 1+ n −1 = n ，即 Sn
= n ⋅ 2n ，令 Tn
= S1 + S2
+"+ Sn
Tn = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 22 + "+ n ⋅ 2n
①
2Tn =
1⋅ 22 +" + (n −1) ⋅ 2n + n ⋅ 2n+1 ②
3. 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查.
【试题解析】D 由题意，抛物线 y2 = −4x 的准线为 x = 1 ，故选 D.
4.
【【命试题题意解图析】】本D 题aG主=要(对aG +向bG量) +的(基aG −本bG运) =算(进4,行−2考) 查，.bG
=
G (a
（4 分）
(2) 不妨先证明 0 < g(x) < x (x > 0) ，即 0 < ln(ex −1) − ln x < x ，
以 f (x) > 0 ，综上可得到 f (x) > 0 . 故选 A.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. −160
简答与提示：
14. 1 2
15. 14π
16. 7
13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.
【试题解析】常数项为 T4
=
C63 (2x)3 (−
【试题解析】A 由程序框图，当 k = 2015 时，还应该进入循环，而当 k = 2016 时，
不再进入循环，故应填 k ≤ 2015 ，故选 A.
8. 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关
系式.
【试题解析】C 由题意，设 CD = BD = x ，根据余弦定理可得，
【试题解析】解：(1) f (x) = ex − ax −1 ， f ′(x) = ex − a ，
当 a ≤ 0 时， f ′(x) > 0 ，则 f (x) 在 R 上单调递增；
当 a > 0 时，令 f ′(x) = ex − a = 0 ，得 x = ln a ，
则 f (x) 在 (−∞, ln a] 上单调递减，在 (ln a, +∞) 上单调递增.
B
【试题解析】由条件，可将三棱锥 S − ABC 放入如图所示的长
方体中，设其长宽高分别为 a, b, c ，有 a2 + b2 = SC2 = 13, c2 + b2 = SB2 = 10, a2 + c2 = SA2 = 5 ，得到 a2 + b2 + c2 = 14 ， A
C ac
b
所以长方体的体对角线长为 14 ，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为
= − 1 ，即 4
y ⋅ y = − 1 ，因此点 P 的轨迹方程为 x2 + y2 = 1 (x ≠ ±2) .
x+2 x−2 4
4
（5 分）
(2) 由题意知 OD ⊥ EF ，设 EF : y = kx (k < 0) ， OD : y = − 1 x k
设 E(x1, y1), F (−x1, − y1), D(x2 , y2 ),
x > 0 时单调递增，即 x2 f (x) > 02 ⋅ f (0) = 0 ，所以 f (x) > 0 ；当 x < 0 时，将
2 f (x) + xf ′(x) > x2 的两侧同时乘以 x 可得 2xf (x) + x2 f ′(x) < x3 ，即
[x2 f (x)]′ < x3 < 0 ，则 x2 f (x) 在 x < 0 时单调递减，即 x2 f (x) > 02 ⋅ f (0) = 0 ，所
设平G面JPJJBG1C1 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，
有
⎧⎪ ⎨
Gn
⎪⎩n
⋅ ⋅
JPJBJJG1 PC1
= =
0
，得
0G
⎧2 ⎩⎨2
x y
+ +
z z
= =
0 0
，
C
A
By
xJG
令 z =JG−2G ，得 n = (1,1, −2) ，同理可得平面 PBC 的一个法向量为 m = (1,1,1) ，
【试题解析】A 题意可知，集合 B = {z | z = x + y, x ∈ A, y ∈ A} = {0,1, 2,3, 4} ，
故选 A.
2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念.
【试题解析】C 1+ i = (1+ i)2 = 2i = i ，虚部为 1，故选 C. 1− i (1− i)(1+ i) 2
由
⎪⎧ ⎨
x2 4
+
y2
= 1 ，消去
y
得 (1+
4k 2 )x2
=
4
，所以 |
EF
|=
⎪⎩ y = kx
1+
k2
|
2 x1
|=
4 1+ k2 1+ 4k 2
同理可得 x2 =
2 ，| OD |=
1+
4 k2
1+
1 k2
⋅
2 = 2 1+ k2
1
+
4 k2
4 + k2
所以 SΔDEF
=
1 2
| OD ||
可得 m ⋅ n = 0 ，所以平面 PBC 与平面 PB1C1 所成角为直二面角，大小为 90° .
（12 分）
20. (本小题满分 12 分)
【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最
值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】(1)
设点 P 的坐标为 (x, y) ，由题意可知 kPA ⋅ kPB
6
62
3
故选 B.
12. 【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数
的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等.
【试题解析】A 当 x = 0 时，可得 f (x) > 0 ；当 x > 0 时，将 2 f (x) + xf ′(x) > x2
的两侧同时乘以 x 可得 2xf (x) + x2 f ′(x) > x3 ，即[x2 f (x)]′ > x3 > 0 ，则 x2 f (x) 在
【试题解析】A
函数
y
=
x3 e|x|
为奇函数，且
y′ |x=0 =
0
，可推出在原点处切线的斜率
为 0，故选 A.
11. 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及 y = Asin(ωx + ϕ) 中各个量对函数图像
的影响.
【试题解析】B 由题 f (x) = sin(x + π ) cos(x + π ) = 1 sin(2x + π ) ，可知①④正确，
+
G b)
−
G (a
−
G b)
=
(1,
−8)
，
GG 则 a,b 的夹角余弦值为 cosθ
2 =
GG Ga ⋅bG
=
20
2
=2
13
.
故选 D.
| a | ⋅ | b | 20 ⋅ 65 13
5. 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解.
【试题解析】D 选项 A 中，由奇函数定义可知，“ f (0) = 0 ”是“函数 f (x) 是奇函
cos C = 9 + x2 − 4 = 9 + 4x2 − 4 ，可得 x = 10 且 cos C = 10 ， sin C = 6 ，故
2⋅3⋅ x 2⋅3⋅2x
2
4
4
S+ ABC
=
1 2
AC ⋅ BC ⋅sin C
=
3
15 4
，故选
C.
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 6 页）
EF
|=
4
=
4
+9 1+ k2
−
9 (1+ k 2 )2
4
−9( 1
1 +k
2−1)2Fra bibliotek2+
25 4
当1 1+ k2
=
1 ，即 k 2 2
= 1, k
=
−1 时，S ΔDEF
取最小值，此时 D( 2 5 5
,2 5). 5
（12
分）
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21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数 来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.
A(−c, 0),C( c 2
,
y0 )
，由
JJJG AE
=
2 3
JJJG EC
，得
E(−
2c 5
,
2 y0 5
)
，从而满足
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
c2 − y02 = 1 4a2 b2 4c2 − 4 y02 = 25a2 25b2
1
，
消去 y02 ，解得 c2 = 7 ，离心率为
b2
a2
7.
三、解答题
设所求事件概率为
P
，则
P
=
C112C82 C230
=
28
.
95
(2)
睡眠少于 7 小时 睡眠不少于 7 小时 合计
男生
12
8
20
（6 分）
女生
14
6
20
合计
26
14
40
k = 20(12× 6 −14×8)2 = 40 ≈ 0.440 < 2.706 20× 26×14× 20 91
所以没有 90% 的把握认为“睡眠时间与性别有关”
（12 分）
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 6 页）
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计， 考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解：（1）由题意 PC = PB = 2 2 ，在三棱柱中，由 AA1 ⊥ 平面 ABC
且 AB = AC = 2 可得， PA = 2 ，故点 P 的位置为 AA1 的三等分点，且靠近 A1 处.
（4 分）
（2）以 A 为坐标原点，CA 方向为 x 轴，AB 方向为 y 轴，AA1
C1
方向为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有
z
A1
B1
P(0, 0, 2), B(0, 2, 0),C(−2, 0, 0G), B1(0, 2,3),C1(−2, 0,3)