2018年12月上海市徐汇区高三数学一模卷参考答案

参考答案
一、 填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1. 2
2. (],0-∞
3. 1- 5. 22
1520
x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. []310,0,lg2x y x =-∈ 10. 43
π 11. (]()1,34,+∞U 12. 8 二、 选择题：(共20分，每题5分)
13. A 14. C 15. B 16. D
三、 解答题
17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分
(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点，
所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，
所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分
由于'''','''90A B B C A B C =∠
=
于是'''45A C B ∠=， ………………13分
所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45. ………….14分
18、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a x x x -+≤-⇔≤++
……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)
0,-∞-+∞； ……………….4分 当1a =-时，不等式解集为(,2)
(2,)-∞--+∞； ……………….5分 当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分
（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)
a x x x x +-++……….9分 120x x <<12120,20,20,
x x x x ∴-<+>+> ……………….11分 所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分
故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分
19、解：（1）100AB =（海里）
,3AOB π
∠= 则
100120AO BO OC OD ====（海里），（海里） ……………….2分
2211220012010023233
ABCD S πππ=⋅⋅-⋅⋅=（平方海里） ……………….5分 所以，海域ABCD 的面积为22003
π平方海里. ……………….6分 （2）100AB =
（海里）40
,AP BP ==（海里）
22240100cos 240100PAB +-∴∠=⨯⨯12=
……………….8分 3PAB π
∴∠=，23PAO π∠=
……………….10分
PO ∴=……………….12分 ∴这艘不明船只没有进入海域ABCD . ……………….14分
20、解：（1
）
2a =
a ∴= ……………….1分
又1a c +=，1,c ∴= ……………….2分 1b ∴= ……………….3分
故椭圆Γ方程为2
212x y += ……………….4分
（2）y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=
22221(12)4012
y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k --∴++，则22
21(,)1212k M k k -++ ……………….6分 6ON OM
=,
∴22(,)122(12)
N k k -++,代入椭圆Γ方程， ……………….8分 得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12
k =± ……………….10分 （3）原点O 到直线l 的距离为1
，2211m k =⇒=+ ……………….12分
设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+=
联立22222(12)4220(*)12
y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩
由(*)式知，2121222
422,1212km m x x x x k k --+=⋅=++ 222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
……14分
1OAB S ∆∴==……………….15分 令2213512,,,223t k t k t -⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦
65AOB S ∆∴==⎢⎣⎦
……………….16分 21、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6n a 是Ω数列，取数列{}n a 中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s t a a s t ≠，使得12s t a a +=+，故数列{}n a 不是Ω数列；……….4分
(2)若13d ≤，对于1,2p q ==，若存在2s t <<，满足p q s t a a a a +=+，
因为2s t <<，于是3,4s t ≥≥，
所以2s a a ≥，1t a a >，从而21s t a a a a +>+，矛盾，
所以14d ≥，同理34
d ≥ .……………….8分 下面证明22d ≥：
若21d =，即2出现了1次，不妨设2k a =，1k s t a a a a +=+，
等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾， 于是12d ≥ .……………….10分
(3)设1出现1d 次，2出现2d 次，…，2019出现2019d 次，其中*122019,,,d d d N ∈…
由(2)可知，120194,4d d ≥≥，且22d ≥，同理20182d ≥， ……………….12分
又因为*342017,,,d d d N ∈…，所以项数01220192027n d d d =+++≥… .……….14分
下面证明项数0n 的最小值是2027：
取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列
{}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….
若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；
若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；
若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求， 同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；
若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.
从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分。