2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】

4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】
1．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝3
4，则tan A＝()
A．5
6B．7
6
C．5
3D．7
3
2．在△ABC中，A＝π
6，AB＝3，AC＝4，则BC边上的高的长度为()
A．221
7
B．2
C．3D．21
3
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝π
3，则△ABC的面积为()
A．363B．27
C．203D．183
4．已知△ABC的面积为S＝1
4
(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为()
A．等边三角形
B．是直角三角形但不是等腰三角形
C．是等腰三角形但不是直角三角形
D．等腰直角三角形
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A ABC 面积为42，则sin C＝()
A．1
6B．1
3
C．6
9D．22
3
6．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是()
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B
D．若cos2A＋cos2B－cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形
7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是(
)
A ．a ＝2b
B ．cos A ＝
55
C ．sin B ＝
55
D ．△ABC 为钝角三角形
8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．
10．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为1
2(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以
解答．
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；
(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．
11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝1
8
，以下结论正确的是()
A ．A
B ＝8B ．
CD BD ＝18
C ．AB ＝6
D ．△ABD 的面积为
374
12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北
方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)(
)
A ．65．46km
B ．85．09km
C ．74．35km
D ．121．12km
13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)
14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a
＝cos B cos A ．(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．
16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是(
)
A ，
334B
C D ，
33
4
17．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－1
4
．(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．
4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】
1．在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝3
4，则tan A ＝(
)
A ．56
B ．76
C ．
53
D ．
73
解析：D
由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×3
4
＝4，所
以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝7
3
，故选D ．
2．在△ABC 中，A ＝π
6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为(
)
A ．
2217B ．2C ．3D ．
213
解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×1
2
＝3，由余弦定理得：
BC ＝
3＋16－2×4×3×
3
2＝7，BC 边上的高的长度为2×37
＝2217．故选A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π
3，则
△ABC 的面积为(
)
A ．363
B ．27
C ．203
D ．183
解析：D
在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )
＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C sin C ≠0，所以
cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝1
2ac ＝183，
故选D ．
4．已知△ABC 的面积为S ＝1
4(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为
(
)
A ．等边三角形
B ．是直角三角形但不是等腰三角形
C ．是等腰三角形但不是直角三角形
D ．等腰直角三角形解析：D
依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝1
4
(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b 2
＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π
2
ABC 是等腰直角三角形．故选D ．
5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ABC
面积为42，则sin C ＝(
)
A ．
16B ．
13
C ．
69
D ．
223
解析：B
因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝22
3，
因为A 所以cos A ＝1
3
，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223
＝2sin C ，所以sin C ＝13．故选B ．
6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是()
A ．若a cos A ＝b cos
B ，则△AB
C 为等腰三角形B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos B
D ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC
对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝
B 或A ＋B ＝90°，∴△AB
C 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×1
2＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC
是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π
2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞
cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．
7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是(
)
A ．a ＝2b
B ．cos A ＝
55
C ．sin B ＝5
5
D ．△ABC 为钝角三角形
解析：ACD
因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2
－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－5
5
，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝
25
5
，又因为a ＝2b ，所以
sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－5
5＜0可知A ABC
为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．
8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．
解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π
3，根据条件△AFC
与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－
2×AD ×BD ×cos ∠BDA ＝32＋12－2×1×313，所以AB ＝13．
答案：13
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．
解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3
4bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b ＋c
＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝1
2
×(6＋26)r ＝3，所以r ＝3－2．
答案：3－2
10．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC
的面积为1
2(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以
解答．
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；
(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2．
因为C ∈(0，π)，所以C ＝π
3
．
选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝1
2，
故C ＝π3
．
选择③，因为12ca sin B ＝1
2
c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，
所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝1
2，
又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π
3
．
(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．
在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ，即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ．因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝8．
由C ＝π
3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，
从而a 2＋b 2－2ab ＝0，所以a ＝b ＝2．
11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝1
8
，以下结论正确的是()
A ．A
B ＝8B ．
CD BD ＝18
C ．AB ＝6
D ．△ABD 的面积为
374
解析：BCD
如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB
＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝1
8
，且0＜α
＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝3
4，在Rt △ACB 中，AB ＝AC cos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，
故D 正确，故选B 、C 、D ．
12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)(
)
A ．65．46km
B ．85．09km
C ．74．35km
D ．121．12km
解析：A
如图所示，由题意可得AC ＝46km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝
132．57°，由正弦定理可得
BC sin A ＝AC
sin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°
，解得BC ＝46sin 31.15°
·sin 132．57°≈46
0.52×0．74≈65．46．故选A ．
13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________
时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)
解析：由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12
b ，若满足条件的△ABC 有两个，则1
2
b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2．答案：3
2
((1,2)内任一数即可)
14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．
解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝22
3．由△ABC
的面积为32，可得1
2ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余
弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝11
3
ab ＝33，∴a ＋b ＝33．
答案：9
33
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos B
cos A
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)已知
3b 2c －3a ＝cos B
cos A
，
则由正弦定理可得
3sin B 2sin C －3sin A ＝cos B
cos A
，
即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，
即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ，∵sin C ≠0，∴cos B ＝
32，又0＜B ＜π，则B ＝π6．(2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝a 2＋c 2－2ac cos
π6
，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，
当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤4
2－3＝4(2＋3)，
∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×1
2＝2＋3．
∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．
16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是(
)
A ，
334B
C
D ，
33
4
解析：A
由于a ＝3，b 2
＋c 2
－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc
＝1
2，且A ∈(0，π)，所以A
＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3
4·2R sin B ·2R
3sin B
B ＋1
2
sin ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32
－12cos 2＝
2B －1
2
cos 2＋34＝32sin B ＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B ＜π
2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜
5π6，12＜
B 1，故3
2
＜S △
ABC ≤
33
4
．故选A ．17．已知在△ABC 中，角A ，B
，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足
－1
4
．(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，
a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)因为
＝－
1
4
，
A －12cos －32sin A ＋1
2
cos ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －1
4cos 2A ＝－1
4
，所以
34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14
cos 2A ＝14
，所以可得A ＝12
，
因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6
∈
所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3
，所以b ＝233sin B ，c ＝233
sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233
sin B ＋sin
1＋
因为△
ABC 为锐角三角形，＜B ＜π2
，＜2π3－B ＜π2
，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π
3
，所以1＋
(1＋3，3]，
即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。