江苏省启东中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学试题 Word版含答案

江苏省启东中学2018-2019学年第一学期第二次月考
高二数学试卷
（考试时间：120分钟；总分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1．命题“0x ∀>， 20x x -≤”的否定是 .
2．已知命题2:,0p x R x x m ∀∈+-≥，命题:q 点()1,2A -在圆()()2
2
1x m y m -++=的
内部．若命题“p 或q ”为假命题，则实数m 的取值范围 . 3．设复数满足()3
3421i z i -=+，则
=z .
4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是 .
5．若直线02=--y x 被圆()42
2
=++a y x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为
______．
6．已知双曲线12222=-b
y a x 的一个焦点与抛物线x y 42
=的焦点重合，且双曲线的离心率
等于
5，则该双曲线的方程为 .
7．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线042=-+
y x 相切，则圆C 面积的最小值为 .
8．给出下列三个类比结论：
①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2
＝a 2
＋2ab ＋b
2
与2）（b a +类比，则有2
22
2b
b a a b a +⋅+=+）（
④(ab )c ＝a (bc )与
()⋅⋅类比，则有()()a ⋅=⋅⋅
其中结论正确的序号是 .
9．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60,70]的汽车大约有_________辆.
（第9题） （第10题）
10．根据如图所示伪代码，可知输出结果S ，I ＝ ， .
11．观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，
则1111a b +=_________.
12．已知正方形ABCD ，则以B A ,为焦点，且过D C ,两点的椭圆的离心率为__________． 13．已知圆()()2
2
1:231C x y ++-=，圆()()2
2
2:349C x y -+-=，A 、B 分别是圆1C 和圆
2C 上的动点，点P 是y 轴上的动点，则
PB PA -的最大值为 .
14．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 2
4
＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应携程文字说明、证明或演算步骤
15．已知复数z=1+mi （i 是虚数单位，m ∈R ），且
为纯虚数（是z 的共轭复数）．
（1）设复数，求|z 1|；
（2）设复数，且复数z 2所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b .
(1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；
(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2.
17．已知集合A 是函数
)820lg(2x x y -+=的定义域，集合B 是不等式
)0(012-22>≥-+a a x x 的解集，B x q A x p ∈∈:,:
（1）若φ=B A ，求a 的取值范围；
（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.
18．如图，在平面直角坐标系内，已知点A(1,0)，B(-1,0)，圆C 的方程为
0218622=+--+y x y x ，点p 为圆上的动点．
(1)求过点A 的圆C 的切线方程．
(2)求2
2
BP AP +的最大值及此时对应的点
p 的坐标．
19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆22
4
:5
O x y +=
与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为
12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.
20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: x 2m ＋y 2
8－m
＝1.
(1)若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； (2)若m ＝6，
①P 是椭圆C 上的动点， M 点的坐标为(1,0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；
②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB
的垂直平分线l交x轴于点N，证明：AB
FN是定值，并求出这个定值．
江苏省启东中学2018-2019学年第一学期第二次月考
高二数学试卷（加试题）
（考试时间：30分钟；总分40分）袁辉
本大题共4小题，每小题10分，共计40分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1．已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC.
（1）a+b的坐标;
（2）求a与b的夹角的余弦值
2．已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0.1）的距离与它到y轴的距离的差等于1．
（1）求动点P轨迹C的方程；
（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．求直线AB的斜率；
3．观察以下4个等式：
21<， 222
1
1<+
，
32
3
1211<++
， 1++<，
（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N ）；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N ）．
4．如图，三棱锥ABC P -中，⊥PC 平面ABC ，3=PC ，2
π
=∠ACB 。

E D ,分别为线
段BC AB , 上的点，且2=
=DE CD ，22==EB CE
（1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A —PD —C 的正弦值.
江苏省启东中学2018-2019学年第一学期第二次月考
高二数学试卷（加试题）答案
（考试时间：30分钟；总分40分）
本大题共4小题，每小题10分，共计40分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1、已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a =AB ,b =AC . (1) a +b 的坐标;(2) 求a 与b 的夹角的余弦值
1、【答案】.. 试题详细分析：(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2), a +b =(0,1,2) （2）由（1）得a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,
又
所以cos<a,b>=
a?b
|a||b|,
即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为. 2、已知平面内一动点P 在x 轴的上方，点P 到F （0.1）的距离与它到y 轴的距离的差
等于1．
（1）求动点P 轨迹C 的方程；
（2）设A ，B 为曲线C 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．求直线AB 的斜率； 2、【答案】 解：（I ）设动点P 的坐标为（x ，y ），由题意为
﹣|y|=1
因为y ＞0，化简得：x 2=4y ，
所以动点P 的轨迹C 的方程为 x 2=4y ，y ＞0， （2）①设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1≠x 2，x 12=4y 1，x 22=4y 2，又x 1+x 2=4， ∴直线AB 的斜率k=
==1，
3、观察以下4个等式：
21<，
222
1
1<+
， 3231211<++
， 42
131211<+++
，
（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N ）；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N ）．
3、【答案】（1）第n 个式子：1＋12＋13＋…＋1
n
＜2n (n ∈N *)．
（2）见解+析 试题详细分析：
(1) 对任意的n ∈N *，1＋12＋13＋…＋1
n
＜2n
(2) 证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边＜右边，所以不等式成立，
②假设n ＝k(k ∈N*)时，不等式成立，
即1＋
12
＋
1
3＋…＋1
k
＜2k. 那么当n ＝k ＋1时， 1＋
1
2＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＜2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1
k ＋1
＜
k ＋
＋＋1
k ＋1
＝
＋k ＋1
＝2k ＋1.
这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N*都成立．
4、如图，三棱锥ABC P -中，⊥PC 平面ABC ，3=PC ，2
π
=∠ACB 。

E D ,分别为
线段BC AB ,上的点，且2==DE CD ，22==EB CE
(1)证明：平面
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解+析；（2）
6
33
试题详细分析：（1）证明：由PC 平面ABC ，DE
平面ＡＢＣ，故PC
DE
由CE ＝２，CD=DE ＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD
DE
由PC
CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE 平面PCD
（2）解：由（１）知，CDE 为等腰直角三角形，DCE ＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF ＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１， 故FB ＝2.
由ACB ＝得DF AC ，，故AC ＝DF ＝．
以Ｃ为坐标原点，分别以
的方程为x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直
角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），
设平面的法向量，
由
，
，
得
.
由（1）可知DE
平面PCD ，故平面PCD 的法向量可取为
,即
.
从而法向量，的夹角的余弦值为，
故所求二面角A-PD-C 的正弦值为
6
33
.。