圆锥曲线的参数方程
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义也不同.
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二 圆锥曲线的参数方程
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HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
求圆锥曲线的参数方程
【例1】 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的一点到
两个焦点的距离之和是6,焦距是2 5, 求椭圆的参数方程. 分析:可先根据题目条件求出椭圆的普通方程,再将其化为参数
������.
联立
������2 + ������2 = 1,
5
������2 = 4 ������,
5
消去y,得 x2+4x-5=0⇒x=1 或 x=-5(舍去).因为 0≤y≤1,所以它们的
交点坐标为
1,
2
5 5
.
答案:
1,
25 5
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二 圆锥曲线的参数方程
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二 圆锥曲线的参数方程
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典例透析
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1.理解椭圆的参数方程,会用椭圆的参数方程解决简单问题. 2.理解双曲线的参数方程,会用双曲线的参数方程解决简单问题. 3.理解抛物线的参数方程,了解参数的意义,会用抛物线的参数方 程解决简单问题. 4.通过具体问题,体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表 示更方便,感受参数方程的优越性.
2.圆锥曲线的参数方程不是唯一的
剖析同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的.例如,椭圆
������ 2 ������ 2
+
������ 2 ������ 2
=
1(������
>
0,
������
>
0,
������≠b)的参数方程可以是
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
它们的交点坐标为
.
解析:方程
������ = 5cos������, 表示椭圆 ������2 + ������2 = 1(−
������ = sin������
5
5 < ������ ≤
5,
且0≤y≤1),方程
������ ������
= =
5 4
������
������2,
表示抛物线y2=
4 5
2 2
.
= 1 ������ > ������ > 0 通常规定参数������
的取值范围为������∈[0,2π).
名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数
方������������程==的������������形++式������������sci.如ons���������(���������,-���������(2������)���2为+参(���������-数������2���)2).= 1(������ > ������ > 0)可表示为
(������为参数)
的形式,也可以是
������ ������
= =
������sin������, ������cos������
(������为参数)的形式,二者只是形式上不
同而已,实质上都表示同一个椭圆.同样对于双曲线、抛物线也可以
用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意
解析:由题意知2p=14,且抛物线的焦点在x轴正半轴,所以参数方
程为
������ ������
= =
14������2 14������
,
(������为参数).
答案:B
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【变式训练 2】 已知两条曲线的参数方程分别为
������ ������
= =
5cos������, sin������
(0≤θ<π,θ
为参数)和
������
=
5 4
������ 2 ,
(������为参数),
������ = ������
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典例透析IANLITOUXI Nhomakorabea圆锥曲线的参数方程的应用
【例3】 已知M为抛物线y2=2x上的动点,定点M0(-1,0),点P为线 段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.
分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解 题方法.
(������是参数).因此,参数
φ
的几何意义是椭圆上任意一点
M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角),而
不是 OM 的旋转角,如图所示.
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������
>
0),
则 a= 5, ������ = 2 3, 所以b= 7.
故双曲线的普通方程为 ������2 − ������2 = 1,
57
化为参数方程是 ������ = 5sec������, (������为参数). ������ = 7tan������
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的参数方程
������' ������'
= =
cos������, sin������
(������是参数),可以得到椭圆
������ 2 ������ 2
+
������ 2 ������ 2
=
1
的参数方程
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
1.椭圆的参数方程中参数φ的几何意义
剖析从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令
������' ������'
= =
1
������ 1
������
������, ������,
椭圆
������ 2 ������ 2
+
������ 2 ������ 2
=
1
可以变成圆x'2+y'2=1,利用圆
x'2+y'2=1
(������为参数)B.
������ ������
= =
14������2, 14������
(������为参数)
C.
������ = 7������2, ������ = 7������
������为参数
D.
������ ������
= =
28������, 28������2
(������为参数)
解析:根据椭圆的参数方程知只有选项D符合题意.
答案:D
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2.双曲线的参数方程
中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线
的参数方程是
������ = ������sec������, ������ = ������tan������
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【变式训练 1】 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线
上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2 5, 焦距是 4 3,
求双曲线的参数方程.
解:由题意可设双曲线的方程为
������ 2 ������ 2
−
������ 2 ������ 2
=
1(������
>
0,
方程.
解:由题意可设椭圆的方程为
������ ������
2 2
+
������ 2 ������ 2
=
1
������
>
������
>
0
,
则a=3,c= 5, 所以b=2.
故椭圆的普通方程为 ������2
32
+
������ 2 22
=
1,
化为参数方程是
������ ������
= =
3cos������, 2sin������
(������为参数).
反思求参数方程的关键是选定参数,有时可选的参数并不唯一,这
时要选择一个恰当的.另外求参数方程比较困难时,也可以先求出
它的普通方程,再化为参数方程. -9-
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������ ������
= =
2������������ 2 , 2������������
(������为参数).
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线
的斜率的倒数.
【做一做3】 抛物线y2=14x的参数方程是( )
A.
������ ������
= =
14������, 14������2
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圆锥曲线的普通方程与参数方程的互化
【例 2】
已知曲线 C1:
������ = -4 + cos������, ������ = 3 + sin������
������为参数
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1.椭圆的参数方程
中心在原点,焦点在
的一个参数方程是
������ ������
==x 轴������������cs上ions的������������,椭���圆���为������������参22 +数������������
=
1,
������1
为圆心是(-4,3),半径是
1
的圆,C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴,长半轴长是 8,短半轴长是 3
的椭圆.
反思有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型,这时需要
把它化为普通方程后再研究.
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B.
������ ������
= =
2cos������, ������
(������为参数)
C.
������ ������
= =
������tan������, ������sin������
(������为参数)
D.
������ ������
= =
cos������, 2-5sin������
(������为参数)
【做一做 1-1】
已知椭圆
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
(������
>
������
>
0,
������为参数),
若������
∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的 θ 为( )
A.πB.
π 2
C.
2πD.
3π 2
答案:A
-3-
2
,
(������为参数).
如图,设动点M(2t2,2t),点P的坐标为(x,y),由定点M0(-1,0)及中点坐 标公式得
������ = 1 (-1 + 2������2),
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【做一做1-2】 在下面的参数方程中,表示的曲线是椭圆的为
()
A.
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
(������为参数)
,
������2:
������ ������
= =
8cos������, 3sin������
(������为参数).
化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.
分析:先消去参数化为普通方程再判断.
解:C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:
������ 2 64
+
������ 2 9
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解:令 y=2t,则 x= ������2 = 2������2, 得抛物线的参数方程为
2
������ ������
= =
2������ 2������
������为参数
,
������ 2 ������ 2
−
������ 2 ������ 2
=
1
������
>
0, ������
>
通常规定参数������的取值
0
范围为������∈[0,2π),且
φ≠π2
,
������
≠
3π.
2
【做一做 2】 双曲线 ������2 − ������2 = 1 的参数方程为
3
(������为参数).
答案:
������ ������
= =
3sec������, tan������
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3.抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为