第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

高中数学常见题型解法归纳及反谎检测第36讲;
【知识要点】
、数列的通项公式
如果数列 a n 的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列
的通项公式.即a n f （n ）.不是每一个数列都有通项公式
.不是每一个数列只有一个通项公式
二、数列的通项的常见求法：通项五法
1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明
5、构造法：（见下一讲）
(1)求 a 2
,a 3, a 4的值;
（2）猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明
【方法讲【例1】在数列｛a n ｝中，ai 6，且a n a n i
a n 与项数n 的关系，猜想数列
2、公式法：若在已知数列中存在：a n 1
a n d （常数）或也 a n
q ，（q 0）的关系，可采用求等差数列、
等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项; 若在已知数列中存在:
S n
f (a n )或S n f(n)的关系,
可以利用项和公式 a n
S 1
1)
n
S n S n1 (n 2)
，求数列的通项.
3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在:
a n a n 1 f (n)
（n 2）的关系，可用“累加法”求通项
4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在:
玉 g( n)(n
a
n 1
2）的关系，可用“累乘法”求通项
乩 n 1 (n N *,n 2)， n
【解析 1(1〉a； =12,a： =20',<74 =30
C2）猜测口相二（卄1）（打7）下用数学归纳法证明:
①当丹= 1=13=4时，显然成力
②假愎当柑=址@34卫eA创寸成立，即有检-仏十1）伏十2）,则当"上十1时，由
务—= —+ ^ + 1 得吗,=士乜％i +理+1 '
n rr
Jt-kl + 1 斤+ 丁
故叫“ =__£i^+jt+l + l = -^t^+lXJt+2)+A7+2
二（左+ 2）=+<fc+2> = （jt + 2X上十3）,故《=盘+1时等式成立;
由①②可知，4=y+lXM+耳的一切
【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明,
二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法
成等比数列，n 1,2,3,L .
（1 ）分别计算a3, a5和a4 , a6的值;
（2）求数列｛a n｝的通项公式（将a n用n表示）；
（3）设数列｛—｝的前n项和为S n，证明：Sn
a n n项，进而猜出数列的通项公式,
【反馈检测1】在单调递增数列｛a n｝中，a1 1 , a2 2 ,且a2n 1 , a2n , a2n 1 成等差数列，a2n , 82 1 1 , a2n 2
4n
n 2
公式法
t 解析】⑴由內=2及»4 = 3耳"亠+ 2为w = l 时6 = 了一
3£只+用十2及决=3£小+ &-厅+2 («>2)
得
= 3务+2曲-1,故3肝］+丹+ 1)=炎气+ fl)、
即殆=返(川“)，当心耐上式也成立, 故仇｝是決3前首项，3対公比的等比数列 11 丄1 尹_押 1八1、40 一十一十•…十一=-
2—
=—(1-——) > ——
ii 4 W f W 81
故勢沁1解得心4』最小正整数科的值弓
【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项 【反馈检测2】已知等比数列｛ a n ｝中，31 64,公比q 1, 82,33,34又分别是某等差数列的第 3项，第1项.
⑴求a n ； (2)设b n log 2a n ,求数列｛| g |｝的前n 项和T n .
【例3】数列｛ a n ｝的前n 项和为S n , 6=1, a n
1
2S n ( n € N ),求｛ a .｝的通项公式.
使用情景
已知数列是等差数列或等比数列或已知
S n f(a n )或S n f(n).
已知数列是等差数列或等比数列， 先求出等差(比)数列的基本量31,d(q)，再代入等 解题步骤
差(比)数列的通项公式；已知
S n f (a n )或S n f(n)的关系，可以利用项和公式
a n
S (n
D
，求数列的通项.学科*网
s n S n1 (n 2)
【例2】已知数列 a n , S n 是其前n 项的和，且满足a 1 2 ,对一切n N 都有S n 1 3S n
n 2 2
成立，设b n
a n n
(1 ) 求32 ； ( 2)求证：数列
b n 是等比数列;
求使——
b 1 b 2
1 b n
40
成立的最小正整数n 的值.
81
⑶由(2)得=—
7项，第
[Ml 由心 口产2$也当心2时口』;5厂阳二得鱼—3,因此4】是苜项対
- %
巳也 尸釦的等比数列.故6"灯小 怙2),而时1不满足该式『所臥应尸
【点评】(1 )已知S n f (a n )或S n f(n), —般利用和差法.如果已知& f (务1)或f (务1 )也可
以采用和差法.(2)利用此法求数列的通项时，一定要注意检验
n 1是否满足，能并则并，不并则分
【例4】已知函数f(x)
3x 2
6x ，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，点(n ,&)( n N )在曲线y f(x)
1
a ?
b 求数列｛a n ｝的通项公式；(n)若b n (―)n1
, C n 亠」，且T n 是数列｛ C n ｝的前n 项
2 6
问T n 是否存在最大值？若存在，请求出 T n 的最大值；若不存在，请说明理由
所以a n 9 6n .
1
(n=l)
2x3*-(w>2>
上.(I
【解析】(I)因为点 (n,S n )在曲线 2 2
y f(x)上，又 f(x)
3x 2 6x ，所以 S n 3n
6n .
当n 1时，a i S 3.
当 n 1 时，a n S n
S
n 1
(3n 2
6n) [ 3(n
1)2
6(n 1)] 9 6n (-)n
1 1
2 . 3
-(1)(；) ( 3)(；) L ” 2 2 2
1 2 1 3 1 4
-T n ㈡(1) (；) ( 3)(;) L (3
2 2 2 2
11 1 1
②-③得-T n 1
( 2)(-)2
( 2)(-
)3
2 2 2 2
1 (2)2[1 (-)n1
]
2 ( 2)丄 ---------
1—
(3 (n)因为b n 1 ,c 6a n b
n
T n 6 1 n (3 2n)(H , 2 -、/ 1 \ n
1
2n
)(
2)，
①所以
1 (3
叫)
n1
1 1
2
1 整理得 T n
(2n 1)(-)n
1，
2
方法一利用差值比较法
2n)(扩
由④式得 T n 1 (2n 3)(-
)n 1
2
1，所以
1
n (9 n
(3
由®式得+
1 2 12^
=尹茄2尹而r
+ + 即7；" a 所以T,>T.>T,>->T,>T^, >-所以人存在最大值1\=2・
方法三利用放缩法
【反馈检测3】已知数列｛a n｝的前n项和S n 4
—
an
3
2(n 1,2,3, 4 )，求｛a n｝的通项
公
3
T n1 T n (2n 3)(2)n 1 2
[n I (2n 1)](2)n
(2n 1)(》
n)(2)".
(1
因为n
1
1，所以丄n
2
0 ,所以T n 1 T n 0所以T n
所以T1T2 T3 T n T n1 方法二禾n商值比较法[(2n 3)(1) (2n 呢)
T n，
所以T n存在最大值T1 -
2
因嘟-腐s0+0+2
1
由①式得c n 1[3 2(n 1)](-)n 1
(1
2呢)n10，又因为T n是数列｛C n｝的前n项和, 所以T n 1 T n C n1 T n •所以「T? T3 T n T n 1
累加法
数列的通项.(2)使用累加法时，注意等式的个数，是
n 1个，不是n 个.
在已知数列中相邻两项存在：
a n a n 1 f(n) (n 2)的关系
先给递推式a n a n 1 f (n) (n 2)中的n 从2开始赋值，一直到n ，—共得到n 1个
式子，再把这n 1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项
为数列S n 的前n 项和.
亍(百—计一1)■尹匸1
几 =$1十禺十十乞-亍(一十尹十…十歹)=--亍(1-亦)
【点评】(1)本题a n a n 1 n 1，符合累加法的使用情景 a . a . 1 f(n)(n 2)，所以用累加法求
【反馈检测4】已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n
1，印3，求数列｛a n ｝的通项公式.
方法四 累乘法
使用情景 解题步骤
【例4】已知数列a n ，b n ，01
1，a n
C
i 1
.
a
n 1
a
n 1 2
，
b
n
a
n a
n 1
1
-，S n 为数列 b n 的前n 项和，T n
(1)求数列 a n 的通项公式；(2)求数列
b n 的前n 项和S n ；( 3)求证：T n -
2
【解析】 (1)法一:
a n
O n 1 .n 1
2
a n
(a n 011)(011 a n2)
(£2 a 1)a n ，
2n1
2n2
1
2n 」2n
1 2
法二
曰以—壬为苜项, 以2为公比的等比数列一
g+l
■-jrz-1 ■
一丄
(2«
- (2总卧】一1) ■ 2"升1 27
又今二数列
a
9
1)-(2-1)]]
【例5】已知数列a n满足a1 -,a n 1 —an,求务
3n 1
【解折】由条件加二丄〒分别令H =1224……血一1),代入上武得"1个等武累乘，即孔 /r+1
n
又“珥
a n
【点评】(1 )由已知得已」——,符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项
a n n 1
(2)使用累乘法求数列的通项时，只要写出n 1个等式就可以了，不必写n个等式.
【反馈检测5】已知数列｛a n｝满足a n 1 2(n 1)5n a., a i 3，求数列｛a n｝的通项公式.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 36讲:
【良愦检测1佯细K 析】（1）由已知, / 9 得疗：=3』（2- = 6 J 偽二一」白w = S
F _2_1X 2 6 2x3 {2) a ，= — = ------- , iJq =—= ------------
1 2 2 2 2
F ¥ 军
a-,=——n 口4 = 一，业=一 -2 斗 2 、 2
弩2»冒""
以下用数学®邨去证明之•
n 1 n 1
--------- 1 2 2
(n 1)(n 3) 8
(n 2)2
8
2
数列通项的求法一（归纳法、 定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案
【反馈检测1答案】a 3
3, a 5 6 ,
9 a
a 4
— ,
a
6
8
.
2 ①当n
1
时，a
2 1 1 a
1
1
,
a 21
—
2，猜想成立;
2
②假设
k (k 1,k N*）时，猜想成立，即 a
2k 1
k(k 1) a
------ ,a 2k
2
'那么
a
2
1)
a
2k 1
2a
2k a
2k 1 2
(k 1)2
2
k(k 1
) (k 1) (k 1) 1 a
2
1)
a
2k 2
2
a
2k 1
a
2k
(k 1)(k 2 (k 1)2
2
2
2) (k 1
时,
2)2
2
(k 1) 1 2
2
猜想也成立.由①②，根据数学归纳法原理, 对任意的
n N*，猜想成立.
当n 为偶数时，a n
(n 2)2
8
U 3x4
&==——= -----
“ 2 2
(n 1)(n 3)
•••当n 为奇数时，a n
即数列｛a n ｝的通项公式为a n
n 为偶数
8
S
k 1 S
k
a
k 1
4k
2 8
2
(k 3) 4(k 1) k 3
2 (k 3)2
4(k 1) k 3
(k 2)(k 3)2
4(k 1) (k 1) 2
岂”酣偶数也 厂乔希r 而詁 Y 冷-余
综上'占-士
茫
1
1 1
■■- 乂二一+—+-+ —
< S(— — — + —■ — ■+ (4)
2 3 3 4 =8(--——
2 tt+2 二；73
那么，当k 为奇数时,
当k 为偶数时,
（方法2）由（2）得
a n
(n 1)(n 8 (n 2)
2 ，
8
—,n 为奇数
3)
n 为偶数
以下用数学归纳法证明 S
4n 2
①当n
1 时，S i
a 1
②假设 2 时，S 2
a 2
n k （k 2）时，不等式成立，即
S k
4k k 2
••• n 1,2时，不等式成立.
【反馈检测3答案】a n 4
n
2n
【反馈检测2詳细解析J (I)依題S 有业—刃=買內-亦, 艮卩2a 气一丸■? +应；二0, 2口I 扌 -3珂可'+口二0,
艮卩 2g* 一 +1 = 0 2- "”" q ± 1，二 g = — 故碍=*(铲.
⑵乞二 gg ；［64 X G)i ］二烛2 2 F = 7 -叭
［7 =冲 M <7,
弃5寸，人二号2
心7臥
丁 =兀十依一7X 祁一0_2［十 Or -7X^-6)
疏13 — w)
Oi-M 二叭门
S
k 1 S
k
1 4k
a
k 1 k
2 (k 2)(k
4) 4(k 1) k 3 2 k 1
(k 2)(k 4)
4(k 1) k 3
(k 8
2)(k 3)(k 4)
4(k 1)
(k 1) 2 ••• n
k 1时，不等式也成立.
综上所述：S1 4n n 2
n(13 【反馈检测2答案】
门)a n 64 G)" ； (2) T n =
(n nl
2
7)(n 6)
2
(n 7), 21 (n 7).
故?;二
1
1 ,
2 4 1
■*
【反馈检测3譯细解析】由- -X 2^^ -H 亍趴3 ）八迪得的=S 产〒口1 一尹4 +才
4 1 r
所汉坷n 再S 曰飞仏1丐心”+2 （"2J …）②
A 1
将®和②相减得：町=X 产-（码-3）- — — 2 J
3 J
整理得w +严=4（%1 +厂1） Cn=2.的）因而数列g+于｝是首顼门严2 = 47 = 4 的等比数列•即碣+
八"4対=斗'\因而口严¥ —
【反馈检测 4答案】a n
3n n 1.学科*网
【反馈检测
4详细解析】
由a n
1
a
n
2 3 1
得 a
n 1
a
n
2 3n 1 则
a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) (a 3 a 2)
(a 2 a i ) a i
J 1 (2 3 1) (2 3n 2
1) (2 32
1)
(2 31 1)
3 2(3n
1 J
2 .
-2 -1、 .
3 L 3 3) (n
1) 3
2
3(1 3n1
) 1 3 (n 1) 3n 3n
所以a n
3n n 1.
【反馈检测
5答案】 a n 2n1
n(n 5
1)
2_
n!.
【反馈检测
5详细解析】 因为 a n 1 2(n 1)5n a 1
所以a n
则旦^
2(n 1)5n ，
a n
a
n 1 L a n 1 a n 2 西鱼a 1
a 2 a 1
[2( n
1
1)5n1][2( n 2 1)5n 2
] L [2(2 2 1
1) 5 ][2(1 1) 5] 3
2n 1[n(n 1) L 3 2] 5( n 1) (n 2) L
3 2n 1
n(n 1)
5^ n!
所以数列｛a n ｝的通项公式为a n 3 2n
__ 1 5 2
n!
.
n(n 5
1 所以T n存在最大值T1 -
2。